¿Cómo encontrar las ecuaciones del movimiento de un sistema? Si bien esto puede hacerse aplicando sin más las ecuaciones de Newton, hay otras maneras de resolver el problema, más aficaces cuando la complejidad del problema aumenta. Estos formalismos matemáticos, como son, básicamente, el de Lagrange y el de Hamilton, son más sofisticados desde el punto de vista matemático, pero constituyen la base para tratar no sólo problemas de la mecánica clásica y de termodinámica sino que también son fundamentales para estudiar los problemas de la física cuántica, y de las teorías de campos (en física de partículas). Aquí trataremos del formalismo lagrangiano.
Coordenadas generalizadas
Al considerar un sistema de $N$ partículas, tendremos $N$ vectores de posición $\vec{r}_\nu=x_{\nu}\hat{i}+y_{\nu}\hat{j}+z_{\nu}\hat{k}$ (que, en general, dependen del tiempo), y por tanto, $3N$ coordenadas de posición, $\{x_{\nu}, y_{\nu}, z_{\nu}\}$, $\nu=1,2,\ldots,N$ en un espacio de 3 dimensiones; ahora bien, la libertad de las partículas suele estar restringida por un cierto conjunto de ligaduras, lo cual conduce a describir el sistema en función de $n$ coordenas efectivas, con $n\lt N$, a las que denominamos coordenadas generalizadas y representamos por $\{q_1,q_2,\ldots,q_n\}$. Utilizaremos el subíndice $\alpha$ para designar estas coordenadas generalizadas; así, escribiremos $q_\alpha$, $\alpha=1,2,\ldots,n$. El número, $n$, de coordenadas generalizadas representa el número de grados de libertad del sistema.
Así, podremos escribir las coordenadas de posición en función de las coordenadas generalizadas de la forma $\vec{r}_{\nu}=\vec{r}_{\nu}(q_1,q_2,\ldots,q_n,t)$ para $\nu=1,2,\ldots,N$ que, en la forma escalar, se expresa mediante el sistema de ecuaciones (las funciones del segundo miembro se suponen continuas y derivadas continuas): $$\left\{\begin{matrix}x_{\nu}=x_{\nu}(q_1,q_2,\ldots,q_n,t)\\y_{\nu}=y_{\nu}(q_1,q_2,\ldots,q_n,t)\\ z_{\nu}=z_{\nu}(q_1,q_2,\ldots,q_n,t)\end{matrix}\right.\;\text{para}\;\nu=1,2,\ldots,N$$
Sistema holónomos
Si las ligaduras de las que hemos hablado pueden expresarse de la forma $f(q_1,q_2,\ldots,q_n,t)=0$ y éstas son integrables, diremos que el sistema (de ligaduras) es holonómico (o holónomo). En tal caso, un sistema (holónomo) constará de $m$ ecuaciones de ligadura del tipo $\displaystyle \sum_{{\alpha}=1}^{n}\,A_{{\alpha},{k}}\,dq_{{\alpha}}+A\,dt=0\;,\;k=1,2,\ldots,m$ ( o bien de la forma $\displaystyle \sum_{{\alpha}=1}^{n}\,A_{{\alpha},{k}}\,\dot{q}_{{\alpha}}+A=0\;,\;k=1,2,\ldots,m$); siendo, el número de dichas ecuaciones de ligadura menor que el número de grados de libertad del sistema: $m\lt n$.
En el caso de aparecer ligaduras del tipo $f(q_1,q_2,\ldots,q_n,t) \begin{matrix}\lt \\ \gt \end{matrix} 0$, éstas, desde luego, no serían holonómicas. Véase el siguiente ejemplo.
En el caso de que todas las fuerzas actuantes sobre el sistema de partículas puedan obtenerse de una función potencial, $U$, entonces el sistema se denomina conservativo.
Denominamos velocidades generalizadas a las derivadas de $q_\alpha$, $\alpha=1,2,\ldots,n$ con respecto al tiempo $t$, y se designan por $\dot{q}_\alpha$, $\alpha=1,2,\ldots,n$.
Fuerzas generalizadas
A partir del trabajo total realizado sobre el sistema de partículas por las fuerzas $\{\vec{F}_{\nu}\}, \nu=1,2,\ldots, N$, podemos hablar de fuerzas generalizadas $\{\Phi_{\alpha}\},\alpha=1,2,\ldots,n$. Veamos cómo se definen de manera natural:
$dW\equiv\displaystyle \sum_{\nu=1}^{N}\,\vec{F}_{\nu}\cdot d\vec{r}_{\nu}=\displaystyle \sum_{\nu=1}^{N}\,\vec{F}_{\nu}\cdot \sum_{\alpha=1}^{n} \dfrac{\partial\,\vec{r}_{\nu}}{\partial\,q_{\alpha}}\,dq_{\alpha}=\sum_{\alpha=1}^{n} \left(\sum_{\nu=1}^{N}\, \vec{F}_{\nu} \cdot \dfrac{\partial\,\vec{r}_{\nu}}{\partial\,q_{\alpha}} \right)\,dq_{\alpha} \therefore$
$\Phi_{\alpha}:=\displaystyle \sum_{\nu=1}^{N}\, \vec{F}_{\nu} \cdot \dfrac{\partial\,\vec{r}_{\nu}}{\partial\,q_{\alpha}}\,\text{para}\,\alpha=1,2,\ldots,n$
A partir de ahí, se puede demostrar que las fuerzas generalizadas de un sistema holonómico se relacionan con la energía cinética del sistema, $T$, y cumplen las siguientes $n$ ecuaciones, denominadas ecuaciones de Lagrange: $$\dfrac{d}{dt}\left( \dfrac{\partial\,T}{\partial\,\dot{q}}\right) - \dfrac{\partial\,T}{\partial\,q}=\Phi_{\alpha}\,,\,\alpha=1,2,\ldots,n$$ Además, si el sistema es conservativo, esas ecuaciones se escriben de la forma $$\dfrac{d}{dt}\left( \dfrac{\partial\,\mathcal{L}}{\partial\,\dot{q}}\right) - \dfrac{\partial\,\mathcal{L}}{\partial\,q}=0\,,\,\alpha=1,2,\ldots,n$$ siendo $\mathcal{L}(q_1,q_2,\ldots,q_n;\dot{q}_1,\dot{q}_2,\ldots,\dot{q}_n):=T-U$, y $U(q_1,q_2,\ldots,q_n)$ la función energía potencial del sistema.
Momentos generalizados
Denominamos momento generalizado (o momento conjugado), asociado a la coordenada generalizada $q_\alpha$, a $p_\alpha =\dfrac{\partial\,T}{\partial\,\dot{q}_\alpha}$ y, si el sistema es conservativo, se tiene que $q_\alpha$, a $p_\alpha =\dfrac{\partial\,\mathcal{L}}{\partial\,\dot{q}_\alpha}$
Extensión de las ecuaciones de Lagrange a sistemas no holonómicos
El formalismo lagrangiano se aplica no sólo a los sistema holonómicos (con un conjunto de restricciones o ligaduras integrables o holonómicas) sino también a sistemas no holonómicos, mediante el uso añadido de los multiplicadores de Lagrange, reemplezando las ecuaciones de Lagrange de las que hemos hablado antes por estas otras: $$\dfrac{d}{dt}\left( \dfrac{\partial\,T}{\partial\,\dot{q}}\right) - \dfrac{\partial\,T}{\partial\,q}=\Phi_{\alpha}+\lambda_1\,A_{\beta_{1}}+\lambda_2\,A_{\beta_{2}}+\ldots+\lambda_m\,A_{\beta_{m}}\,,\,\alpha=1,2,\ldots,n$$ donde $\lambda_1,\ldots,\lambda_m$ son dichos multiplicadores de Lagrange, siendo $m$ el número de restricciones o ligaduras no integrables.
Fuerzas de ligadura
Hay un multiplicador de Lagrange para cada ligadura no integrable, y cada uno de ellos está asociado a la correspondiente fuerza de ligadura, el conjunto de las cuales constriñen el sistema; por otra parte, los términos $\lambda_j\,A_{\beta_{j}}\,,\;j=1,2,\ldots,m$ se asocian a las correspondientes fuerzas de ligadura (o constricción).
Tendremos, en definitiva, un sistema de $n+m$ ecuaciones con $n+m$ incógnitas, que podremos integrar para llegar a las ecuaciones del movimiento.
Y, tal como se ha comentado antes, si el sistema es conservativo, podremos escribir: $$\dfrac{d}{dt}\left( \dfrac{\partial\,\mathcal{L}}{\partial\,\dot{q}}\right) - \dfrac{\partial\,\mathcal{L}}{\partial\,q}=\lambda_1\,A_{\beta_{1}}+\lambda_2\,A_{\beta_{2}}+\ldots+\lambda_m\,A_{\beta_{m}}\,,\,\alpha=1,2,\ldots,n$$ donde $\lambda_1,\ldots,\lambda_m$
Este resultado nos permitirá determinar las ecuaciones del movimiento (de sistema no holónomos). Un par de ejemplos:
- ¿En qué punto de una esfera de radio $a$, fija, una esfera de radio $b\le a$, sometida a la acción de un campo gravitatorio y que rueda sin deslizar sobre la superficie (rugosa) de la primera esfera, fija, se separa de su superficie?
- partícula de masa $m$ que se mueve sobre la superficie interna de un paraboloide de revolución, de ecuación $x^2+y^2=a\,z$, sometida a la acción de un campo gravitatorio en la dirección de $z$.
Referencias:
[1] K.R. Symon, Mecánica, Aguilar, Madrid, 1977.
[2] M.R. Spiegel, Mecánica teórica, McGraw-Hill, Mexico, 1976.
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