Símil de bolas de colores para calcular el número de microestados compatibles con un cierto macroestado en la estadística de Boltzmann

¿De cuántas maneras podemos ordenar un conjunto formado por $3$ bolas rojas, $2$ bolas azules y $4$ bolas verdes (número de «microestados» $\Omega$ compatible con un cierto «macroestado»), atendiendo únicamente al color de las bolas?

Al no importar el orden de las bolas del mismo color dentro del grupo de dicho color, el número de maneras en las que podemos elegir $3$ bolas rojas entre un total de $3+4+2=9$ bolas es $\displaystyle \binom{9}{3}$; por otra parte, elegidas ya esas $3$ bolas rojas (nos quedan $9-3$ bolas por elegir), el número de maneras de elegir $4$ bolas verdes entre esas $9-3$ bolas es $\displaystyle \binom{9-3}{4}$, y, como ya hemos empleado $3+4$ bolas en esas dos primeras operaciones, el número de maneras de elegir $2$ bolas azules entre el remanente de bolas disponible $9-3-4$ es $\displaystyle \binom{9-3-4}{2}$. Empleando finalmente el principio de independencia combinatoria, el número de microestados (ordenaciones) es $$\Omega=\binom{9}{3}\cdot \binom{9-3}{4} \cdot \binom{9-3-4}{2}=\dfrac{9!}{3!\cdot 4!\cdot 2!}$$ que coincide con el resultado de aplicar directamente la fórmula de permutaciones con repetición que aparece en los libros de texto de matemáticas en la enseñanza secundaria: $PR_{n_1,n_2,\ldots,n_k}^{n_1+n_2+\ldots+n_k}:=\dfrac{(n_1+n_2+\ldots+n_k)!}{n_{1}!\cdot n_{2}!\cdot \ldots n_{k}!}$, que en nuestro caso se concreta en $PR_{3,4,2}^{3+4+2}=\dfrac{(3+4+2)!}{3!\cdot 4!\cdot 2!}$.$\diamond$

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Referencias:

  [1] M.W. Zemansky, Calor y Termodinámica, Aguilar, Madrid, 1973.
  [2] R. Feynman; R.B. Leighton; M. Sands, The Feynman Lectures on Physics, Mainly Mechanics, Radiations and Heat, Volume I; traducción al castellano, primera reimpresión. (Addison Wesley, Mexico, 1998).
  [3] J. Ortín; J.M. Sancho, Curso de física estadística, Edicions de la U.B., Barcelona, 2001.