Símil de bolas de colores para calcular el número de microestados compatibles con un cierto macroestado en la estadística de Boltzmann

¿De cuántas maneras podemos ordenar un conjunto formado por $3$ bolas rojas, $2$ bolas azules y $4$ bolas verdes (número de «microestados» $\Omega$ compatible con un cierto «macroestado»), atendiendo únicamente al color de las bolas?

Al no importar el orden de las bolas del mismo color dentro del grupo de dicho color, el número de maneras en las que podemos elegir $3$ bolas rojas entre un total de $3+4+2=9$ bolas es $\displaystyle \binom{9}{3}$; por otra parte, elegidas ya esas $3$ bolas rojas (nos quedan $9-3$ bolas por elegir), el número de maneras de elegir $4$ bolas verdes entre esas $9-3$ bolas es $\displaystyle \binom{9-3}{4}$, y, como ya hemos empleado $3+4$ bolas en esas dos primeras operaciones, el número de maneras de elegir $2$ bolas azules entre el remanente de bolas disponible $9-3-4$ es $\displaystyle \binom{9-3-4}{2}$. Empleando finalmente el principio de independencia combinatoria, el número de microestados (ordenaciones) es $$\Omega=\binom{9}{3}\cdot \binom{9-3}{4} \cdot \binom{9-3-4}{2}=\dfrac{9!}{3!\cdot 4!\cdot 2!}$$ que coincide con el resultado de aplicar directamente la fórmula de permutaciones con repetición que aparece en los libros de texto de matemáticas en la enseñanza secundaria: $PR_{n_1,n_2,\ldots,n_k}^{n_1+n_2+\ldots+n_k}:=\dfrac{(n_1+n_2+\ldots+n_k)!}{n_{1}!\cdot n_{2}!\cdot \ldots n_{k}!}$, que en nuestro caso se concreta en $PR_{3,4,2}^{3+4+2}=\dfrac{(3+4+2)!}{3!\cdot 4!\cdot 2!}$.$\diamond$

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Referencias:

  [1] M.W. Zemansky, Calor y Termodinámica, Aguilar, Madrid, 1973.
  [2] R. Feynman; R.B. Leighton; M. Sands, The Feynman Lectures on Physics, Mainly Mechanics, Radiations and Heat, Volume I; traducción al castellano, primera reimpresión. (Addison Wesley, Mexico, 1998).
  [3] J. Ortín; J.M. Sancho, Curso de física estadística, Edicions de la U.B., Barcelona, 2001.

Bolas, urnas, y física estadística

ENUNCIADO. ¿ De cuántas maneras podemos distribuir $n$ monedas idénticas entre $N$ personas ? ¿ De cuántos maneras podemos distribuir $n$ lápices de colores ( todos distintos ) entre $N$ niños ?.

SOLUCIÓN. Un problema análogo al formulado en la primera pregunta es el de distribuir $n$ bolas idénticas en $N$ urnas ( ver el artículo de historia de la ciencia sobre el físico Paul Ehrenfest, en [1] ), que identificamos como un problema de combinaciones con repetición, lo cual suele escribirse de la forma $\text{CR}_{N,n}$ ( o, también, $\left(\binom{N}{n}\right)$, y cuya solución es $\dfrac{(n+(N-1))!}{(N-1)!\,n!}$, expresión que podemos escribir también en forma de números combinatorios $\displaystyle \binom{n+(N-1)}{N-1}=\binom{n+(N-1)}{n}$. En la forma que adopta el problema cuando hablamos de monedas a distribuir entre un determinado número de personas, démonos cuenta de que lo importante no es qué monedas tendrá ( podríamos pensar en una marca que distinga una moneda de otra ) cada persona sino cuántas tiene ( la cuantía de dinero ) que tiene. En lugar de monedas, podríamos buscar un símil físico en términos de energía: las monedas vendrían a ser cuantos de energía, que se distribuyen entre los estados del sistema ( en lugar de entre las personas, en el caso de las monedas ). Así es como se describe estadísticamente un colectivo de partículas cuánticas como, por ejemplo, un gas de fotones, o un gas de electrones, considerando las características cuánticas de los mismos.

La segunda pregunta del enunciado es también análoga al siguiente problema: Si en lugar de entender las bolas como idénticas unas de otras, hacemos uso de algo que las distinga, como por ejemplo un número distinto grabado en cada bola, el número de maneras de distribuir estas $n$ bolas entre $N$ urnas, supone tener en cuenta ahora el orden en que colocamos las bolas, este problema es de variaciones con repetición de $N$ objetos ( las urnas ) tomados en grupos de $n$ elementos ( las bolas ), y, por tanto su solución es $VR_{N,n}=N^n$. En términos de distribución de energía en estados ( de energía ) esto lleva al modelo de un gas clásico de electrones ( sin atender a las características cuánticas del electrón ).

No es de extrañar, por tanto, que los esquemas o modos de distribución de "bolas en urnas" tengan tanta importancia en física estadística.

Referencias:
[1] E. PÉREZ CANALS, "Paul Eherenfest". Revista de Física, 30 ( 2016 ), 60-69.
[2] L. NAVARRO, Einstein, profeta y hereje ( Tusquets, 2009). Primera edición de 1990.
[3] R. FEYNMAN, et. al., The Feynman Lectures on Physics, Mainly Mechanics, Radiations and Heat, Volume 1. ( Pearson Educación, 1998 ). Versión original y primera impresión de Addison-Wesley, 1963.

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