Un ejemplo de sistema no integrable (no holónomo) de ligaduras en un sistema (mecánico) de partículas

Clasificación de las ligaduras

Recordemos algunos conceptos básicos: las ligaduras limitan el movimiento del sistema, luego, además de la segunda ecuación de Newton, éstas son necesarias para obtener (por integración) las ecuaciones del movimiento. Cada ligadura tiene asociada una ecuación, que, en coordenadas cartesianas, en general, es del tipo $f(\vec{r}_{\nu},\dot{\vec{r}}_{\nu},t)=0 \quad \quad (1)$, donde el subíndice ${\nu}$ se refiere a las $N$ partículas de que consta el sistema, designando por tanto, para cada de la partícula $\nu$-ésima, $\nu=1,\ldots,N$: $\vec{r}_\nu=x_{\nu}\,\hat{i}+x_{\nu}\,\hat{j}+x_{\nu}\,\hat{k}$, siendo $\{\hat{i},\hat{j},\hat{k}\}$ los vectores de una base otornormal del espacio euclídeo $\mathbb{R}^3$ (a los que solemos referirnos como versores), las coordenadas de posición, y por $\dot{\vec{r}}$ las coordenadas de velocidad.

Ligadura esclerónomas y reónomas

Si en (1) no aparece explícitamente el tiempo $t$, diremos que la ligadura es esclerónoma; si no fuese así, la clasificaríamos como una ligadura reónoma.

Ligaduras holónomas

En el caso de que, en una ecuación de ligadura en la que intervengan (aparezcan en su ecuación) las velocidades (ligadura diferencial o cinemática), sea posible expresar (1) como una ecuación de la forma $f(\vec{r}_{\nu},t)=c \quad \quad (2)$ ($c$ es una constante), diremos que se trata de una ligadura integrable (o holónoma); para ello, es necesario que la ecuación diferencial asociada sea una diferencial exacta, o bien, de no serlo, pueda encontrarse un factor integrante.

Desde luego, tampoco es holónoma una ligadura si en su descripción matemática en lugar del igual apareciera una desiguadad (fuerte o débil) —tal es el caso, por ejemplo, de dos partículas unidas por un hilo inextensible—. En el caso de poder expresarse (2) de la forma $f(\vec{r}_{\nu})=0$, por ser $c=0$, nos referimos a ella como de tipo geométrico (también llamada de tipo finito).

Sistemas de ligaduras. Sistemas holónomos y sistemas no holónomos

En un sistema mecánico suele haber más de una ligadura. El conjunto de las ecuaciones/inecuaciones constituye el sistema de ligaduras. Para que un sistema de ligaduras sea holónomo, todas y cada una de las ligaduras deberá ser holónoma. Si una de dichas ligaduras no fuese holónoma, diríamos que el sistema es no holónomo.

Ejemplo de sistema de ligaduras no holónomo

Se consideran dos puntos materiales en un plano, de coordenadas $A=(x_1,y_1)$ y $B=(x_2,y_2)$, unidos por una varilla. Como primera condición, supondremos que la varilla es rígida, y su longitud es $\ell$. Una segunda condición es que, al moverse la varilla por el plano, ésta está constreñida en dicho plano. Y una tercera condición consistirá en suponer que la velocidad del punto medio tiene siempre la misma dirección que la varilla, como podria ser, por ejemplo, la hoja de un patín en una pista de hielo. Así pues, teniendo en cuenta estas tres restricciones, podemos escribir el sistema de ligaduras mediante las correspondientes tres ecuaciones:

1. $(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2=\ell^2$
2. $z_1=z_2=0$
3. Como es bien sabido, las coordenadas del punto medio del segmento (de la varilla) vienen dadas por $M=\left(\dfrac{x_1+x_2}{2},\dfrac{y_1+y_2}{2}\right)$, por las coordenadas de la velocidad de dicho punto son $\left(\dfrac{\dot{x_1}+\dot{x_2}}{2},\dfrac{\dot{y_1}+\dot{y_2}}{2}\right)$, y, teniendo en cuenta que el vector velocidad ha de tener la misma dirección que el vector $\overset{\rightarrow}{AB}=(x_2-x_1,y_2-y1)$, deberá cumplirse que $\left(\dfrac{\dot{x_1}+\dot{x_2}}{2},\dfrac{\dot{y_1}+\dot{y_2}}{2}\right)=\lambda\,(x_2-x_1,y_2-y1)\;,\lambda\in \mathbb{R}$, luego $$\left\{\begin{matrix}\dfrac{\dot{x_1}+\dot{x_2}}{2}=\lambda\,(x_2-x_1)\\ \dfrac{\dot{y_1}+\dot{y_2}}{2}=\lambda\,(y_2-y_1)\end{matrix}\right.\; \lambda\in \mathbb{R}\quad \quad (3)$$ Despejando el parámetro $\lambda$ e igualando los segundos miembros se llega a la siguiente ligadura difencial (o cinemática) $$\dfrac{\dot{x_1}+\dot{x_2}}{x_2-x_1}=\dfrac{\dot{y_1}+\dot{y_2}}{y_2-y_1}$$

Las ligaduras (1) y (2) son de tipo finito (geométrico) ya que las coordenadas de la velocidad no figuran en ellas. Por otra parte, la ligadura (3) no lo es de tipo geométrico, pues en ella aparecen las coordenadas de la velocidad y por tanto es de tipo diferencial (también denominada de tipo cinemático); y, por no depender explícitamente de $t$, se trata de una ligadura esclerónoma; ahora bien, este sistema de ligaduras no es integrable (es no holónomo), por ser (3) una ligadura no integrable (no holónoma). En efecto, de (3) podemos escribir las ecuaciones diferenciales: $\left\{\begin{matrix} dx_1+dx_2=2\,\lambda\,(x_2-x_1) \\ dy_1+dy_2=2\,\lambda\,(y_2-y_1)\end{matrix}\right.$, y ninguna de las dos es del tipo diferencial exacta ni se puede encontrar factores integrantes. $\diamond$

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Nota: Recordemos que una ecuación diferencia se dice exacta si es del tipo $M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0$ (donde $x$ e $y$ son dos variables genéricas), con lo cual existe una función $F(x,y)$ tal que $dF(x,y)=\dfrac{\partial\,F(x,y)}{\partial\,x}\,dx+\dfrac{\partial\,F(x,y)}{\partial\,y},dy$, por lo que $\dfrac{\partial\,F(x,y)}{\partial\,x}=M(x,y)$ y $\dfrac{\partial\,F(x,y)}{\partial\,y}=N(x,y)$; y, al ser $F(x,y)$ una función diferenciable, se cumplirá que $\dfrac{\partial^2\,F(x,y)}{\partial\,x \, \partial\,y}=\dfrac{\partial^2\,F(x,y)}{\partial\,y \, \partial\,x}=\dfrac{\partial\,M(x,y)}{\partial\,y}=\dfrac{\partial\,N(x,y)}{\partial\,x}$. Y, en el caso de no ser exacata, podría llegar a serlo si se multiplica por una función especial $\mu(x,y)$, denominada factor integrante, tal que la nueva ecuación $\mu ( x , y ) M ( x , y ) d x + \mu ( x , y ) N ( x , y ) d y = 0$ sí sea exacta.$\diamond$

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Referencias:

  [1] H. Goldstein, Mecánica clásica, Reverté, Barcelona, 1990.
  [2] F.R. Grantmájer, Mecánica analítica, Editorial URSS, Moscú, 2003.
  [3] J.B. Marion, Mecánica clásica de las partículas y sistemas, Reverté, Barcelona, 1998.
  [4] K.R. Symon, Mecánica, Aguilar, Madrid, 1977.
  [5] M.R. Spiegel, Mecánica teórica, McGraw-Hill, Mexico, 1976.
  [6] N, Piskunov, Cálculo diferencial e integral, Montaner y Simón, S.A., Barcelona, 1978.