Aplicación del formalismo hamiltoniano a un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (m.r.u.a.)

Presento en este artículo un sencillo ejemplo de aplicación del formalismo hamiltoniano. Se trata de obtener la ecuación del movimiento (unidimensional) a partir de las ecuaciones canónicas de Hamilton para la caída libre de un cuerpo de masa $m$ en un campo gravitatorio newtoniano (m.r.u.a.) cuya intensidad sea constante y tome el valor $g$. Consideraré que las fuerzas de rozamiento con el medio durante la caída son despreciables.

Recordemos que la función hamiltoniana se define como $\mathcal{H}:=\displaystyle \sum_{i=1}^{n}\,p_i\,\dot{q}_i-\mathcal{L}$, donde $\mathcal{L}$ es la función lagrangiana., y $n$ designa el número de grados de libertad del sistema. La función hamiltoniana depende de las variables $p_i$ (cantidades de movimiento) y $q_i$ (posiciones) de las $N$ partículas del sistema. Entonces, el sistema viene descrito por las ecuaciones canónicas de Hamilton:

$$\left\{\begin{matrix}-\dfrac{\partial\,\mathcal{H}}{\partial\,q_i}=\dot{p_i} \\ \dfrac{\partial\,\mathcal{H}}{\partial\,p_i}=\dot{q_i}\\ \end{matrix}\right.\, i=1,2,\ldots,n$$

Si el sistema es conservativo —las fuerzas del sistema vienen dadas a partir de una función pontencial—, se demuestra que $\mathcal{H}=T+U$, siendo $T$ la energía cinética (que vendrá expresada en función de los momentos) y $U$ la energía potencial (que se expresa en función de las posiciones); éste es nuestro caso.

Al tratarse de un movimento unidimensional y constar el sistema de solamente una partículas, éste tiene solamente un grado de libertad ($n=1$). Las variables que intervienen son $q\equiv x$ (distancia al origen del sistema de referencia, que situamos en el punto en el que se inicia el movimiento), siendo $p=mv=m\,\dot{x}$ el momento lineal (cantidad de movimiento). La energía cinética puede escribirse en función del momento lineal: $T=\dfrac{1}{2}\,m\,v^2\overset{p:=mv}{=}\dfrac{p^2}{2m}$, y la energía potencial es $U=-mgx$. Así pues,

$$\mathcal{H}=\dfrac{p^2}{2m}-mgx$$ y las ecuaciones canónicas de Hamilton son $$\left\{\begin{matrix}-\dfrac{\partial\,\mathcal{H}}{\partial\,x}=\dot{p} \\ \dfrac{\partial\,\mathcal{H}}{\partial\,p}=\dot{x}\\ \end{matrix}\right.$$ donde $-\dfrac{\partial\,\mathcal{H}}{\partial\,x}=-(-mg)=mg$ y $-\dfrac{\partial\,\mathcal{H}}{\partial\,p}=\dfrac{2p}{2m}=\dfrac{p}{m}$, luego, como $p=m\,\dot{x}$, y a partir de la primer ecuación, podemos integrar las ecuaciones del movimiento del m.r.u.a., teniendo en cuenta las condiciones iniciales del mismo: $x(t=0)=x_0$ y $\dot{x(t=0)}=v_0$: $$\left\{\begin{matrix}m\,g=\dot{(m\,\dot{x})}=m\,\ddot{x} \Rightarrow \ddot{x}=g \Rightarrow \dot{x}=g\,t+v_0 \Rightarrow x=x_0+v_0\,t+\dfrac{1}{2}\,g\,t^2 \\ \dfrac{p}{m}=\dot{x} \Rightarrow p=m\,\dot{x}\;\text{, resultado éste, de esta segunda ecuación, que, en este caso, resulta trivial}\end{matrix}\right.$$ $\diamond$

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Referencias:

  [1] H. Goldstein, Mecánica clásica, Reverté, Barcelona, 1990.
  [2] M.R. Spiegel, Mecánica teórica, McGraw-Hill, Mexico, 1976.