Aplicación del formalismo hamiltoniano a una máquina de Atwood simple

En otro artículo del blog he expuesto la aplicación del formalismo lagrangiano a la máquina de Atwood. Recordemos una vez más que la máquina de Atwood consiste en dos masas, $m_1$ y $m_2$ unidas por una cuerda inelástica (de longitud $\ell$) y de masa despreciable que pasa por una polea ideal (de masa también despreciable) —ésta, por tanto, no gira (la cuerda desliza, sin rozamiento, por la ranura de la misma—. En este artículo voy a exponer como se aplica el formalismo hamiltoniano a este mismo sistema holónomo, encontrando así la ecuación del movimiento (ya conocida, aplicando Lagrange o bien, simplemente, las ecuaciones de Newton).

Figura 1

El sistema de referencia se coloca en la línea horizontal que pasa por el centro de la polea —en la figura 1 se muestran las coordenadas de posición de sendas masas en un instante arbitrario—; como $x_1+x_2=\ell$ (constante), se tiene que $\dot{x}_1+\dot{x}_2=0$, luego $\dot{x}\equiv \dot{x}_1=-\dot{x}_2$

Como el sistema es conservativo, hemos visto que la función lagrangiana podemos escribirla de la forma: $\mathcal{L}:=T-U$, donde $T$ es la energía cinética, y por tanto, $T=\dfrac{1}{2}\,m_1\,\dot{x}_{1}^{2}+\dfrac{1}{2}\,m_1\,\dot{x}_{2}^{2}=\dfrac{1}{2}\,m_1\,\dot{x}^{2}+\dfrac{1}{2}\,m_1\,(-\dot{x})^{2}=\dfrac{1}{2}\,(m_1+m_2)\,\dot{x}^2$
y $U$ es la energía potencial, luego, $U=-m_1\,g\,x_1-m_2\,g\,x_2=-m_1\,g\,x_1-m_2\,g\,(\ell-x_1)=-(m_1-m_2)\,g\,x-m_2\,g\,\ell$.

Construyamos la función hamiltoniana, que dependerá de la coordenada generalizada $q\equiv x$ y del correspondiente momento generalizado $p\equiv p_x:=m\,\dot{x}$. Así:
$\mathcal{H}(x,p_x)=T+U=$
          $=\dfrac{1}{2}\,(m_1+m_2)\,\dot{x}^2-(m_1-m_2)\,g\,x-m_2\,g\,\ell$
              $\overset{\text{aclaración (1)}}{=}\dfrac{p_{x}^2}{2\,(m_1+m_2)}-(m_1-m_2)\,g\,x-m_2\,g\,\ell \quad \quad (2)$

--- Aclaración (1): De la función lagrangiana
  $\mathcal{L}(x,\dot{x}):=\dfrac{1}{2}\,(m_1+m_2)\,\dot{x}^2-\left(-(m_1-m_2)\,g\,x-m_2\,g\,\ell\right)$     $=\dfrac{1}{2}\,(m_1+m_2)\,\dot{x}^2+(m_1-m_2)\,g\,x+m_2\,g\,\ell$, obtenemos el momento generalizado $p_x$; en efecto, a partir de $$p_x=\dfrac{\partial\,\mathcal{L}}{\partial\,\dot{x}}=(m_1+m_2)\,\dot{x}$$ se deduce que $$\dot{x}=\dfrac{p_x}{m_1+m_2} $$ De esta manera, podemos expresar la función hamiltoniana $\mathcal{H}$, que en un principio la habíamos escrito en función de $x$ y $\dot{x}$, en función de $x$ y $p_x$ (2), como debe ser. ---

Ahora escribamos las ecuaciones de Hamilton:
$$\left\{\begin{matrix}-\dfrac{\partial\,\mathcal{H}}{\partial\,x}=\dot{p}_x & \quad \quad (3)\\ \dfrac{\partial\,\mathcal{H}}{\partial\,p_x}=\dot{x} & \quad \quad (4) \end{matrix}\right.$$ y teniendo en cuenta la expresión (2) $$\left\{\begin{matrix}(m_1-m_2)\,g=\dot{p}_x & \quad \quad (3')\\ \dfrac{p_x}{m_1+m_2}=\dot{x} & \quad \quad (4') \end{matrix}\right.$$ De (4') vemos que $\dot{p}_x=(m_1+m_2)\,\dot{x}$ —que también se ha obtenido a partir de la función lagrangiana [aclaración (1)]—; sustituyendo esto en (3'), llegamos a $(m_1-m_2)\,g=(m_1+m_2)\,\ddot{x}$, esto es, $\ddot{x}=\dfrac{m_1-m_2}{m_1+m_2}\,g$ (resultado obtenido ya por otros procedimientos en otros artículos).

Con las condiciones iniciales del movimiento, $\{x(t=0)=x_0\,\dot{x}(t=0)=v_0\}$, podemos integrar fácilmente la ecuación (2), obteniendo $\dot{x}(t)=v_0+\dfrac{m_1-m_2}{m_1+m_2}\,g\,t$; y, de ésta,$$x(t)=x_0+v_0\,t+\dfrac{1}{2}\,\dfrac{m_1-m_2}{m_1+m_2}\,g\,t^2$$ $\diamond$

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Referencias:

  [1] K.R. Symon, Mecánica, Aguilar, Madrid, 1977.
  [2] M.R. Spiegel, Mecánica teórica, McGraw-Hill, Mexico, 1976.