En el seno de un campo eléctrico, una carga testigo circula desde los puntos de mayor energía potencial (eléctrica) hacia los puntos de menor energía potencial. Veamos cómo justificar esta afirmación.
Consideremos un campo eléctrico y una pequeña carga testigo, que, en un principio se sitúa en un punto $A$. La carga testigo, viéndose sometida a la acción del campo eléctrico, se dirigirá a otro punto $B$, cambiando su estado de movimiento. Para ello, el sistema deberá aportar una energía (interna) $\Delta\,W$ que es igual a la variación de energía potencial de la carga testigo, $\Delta\,U$, entre los puntos $A$ y $B$. Por el principio de conservación de la energía, deberá cumplirse que $\Delta\,W+\Delta\,U=0 \,\therefore\, \Delta\,W=-\Delta\,U$. Por otra parte, la variación de energía potencial se traduce en la variación de energía cinética de dicha carga testigo, esto es, $\Delta\,W=\Delta\,T$, con lo cual se tiene $-\Delta\,U=\Delta\,T$, donde $\Delta\,T:=T_B-T_A$, en su camino desde el punto $A$ al punto $B$; y, como $T_B\gt T_A$ al ser mayor la velocidad de la carga testigo en el punto $B$ que en el punto $A$, es claro que $\Delta\,T\gt 0$, y por tanto, $-\Delta\,U\gt 0$, es decir, $\Delta\,U := U_B-U_A \lt 0\,\therefore\, U_A \gt U_B$. Nota: en el artículo usamos el Sistema Internacional de unidades.
Corriente eléctrica. Potencial eléctrico en un punto $A$, $V_A$. Diferencia de potencial eléctrico, $\Delta\,V_{BA}=V_B-V_A$, entre un punto $B$ y un punto $A$
Es bien sabido que, en un circuito eléctrico de corriente continua, los electrones (su carga eléctrica es negativa) libres, que son los portadores de carga eléctrica, circulan por el exterior del circuito impulsados por un generador —puede ser de diversos tipos: pilas, baterías, fuentes de alimentación (proporcionan corriente continua a partir de corriente alterna), células de combustible (reacción del hidrógeno con el oxígeno), células fotovoltaicas, etcétera— desde el borne negativo del generador eléctrico al borne positivo del mismo, dando lugar a una corriente eléctrica (de electrones). La velocidad media de los electrones en un conductor es del orden $1\,\dfrac{\text{mm}}{\text{s}}$; sin embargo, las señales eléctricas a través de un conductor viajan a velocidades del orden de la velocidad de la luz, y esa aparente contradicción se explica de la siguiente manera.
Acabamos de ver que toda carga eléctrica circula desde los puntos en los que su energía potencial (eléctrica) es mayor hacia los puntos en los que su energía potencial es menor. Se define ahora la diferencia de potencial eléctrico entre dos puntos de un circuito entre dos puntos $A$ y $B$ —suponemos aquí que la corriente va de $A$ a $B$—, como la variación de energía potencial eléctrica, $\Delta\,U_{BA}:=U_B-U_A$ proporcionada por el generador por unidad de carga eléctrica: $\Delta\,V:=\dfrac{\Delta\,U}{Q}$, donde $Q$ se mide culombios (C), esto es, $V_B-V_A:=\dfrac{1}{Q}\,(U_B-U_A)$, y tiene dimensiones de $\dfrac{\text{J}}{\text{C}}$, unidad a la que llamamos voltio (V). Pues bien, veremos a continuación, que dicha corriente eléctrica (corriente de electrones), lo hace de tal de modo que el potencial eléctrico (también llamado voltaje) en $A$, $V_A$, es menor que el potencial eléctrico (voltaje) en $B$, $V_B$. Usualmente, denominamos también caída de tensión eléctrica entre los puntos $B$ y $A$, y lo denotamos por $V_{BA}$.
En efecto, hemos demostrado antes que $U_A-U_B\gt 0$, y por tanto $U_B-U_A\lt 0$; entonces, como $V_B-V_A\equiv\dfrac{U_B-U_A}{Q}\gt 0$ ya que $Q\lt 0$ (recordemos que estamos hablando de una corriente de electrones), por consiguiente $V_B \gt V_A$; y, como los electrones viajan desde el borne negativo al borne positivo del generador, se deduce de ello que el potencial eléctrico en el borne negativo del generador es menor que el del borne positivo del mismo, $V_{+} \gt V_{-}$.
Fuerza electromotriz (f.e.m.), $\mathcal{E}$, de un generador eléctrico
El generador eléctrico impulsa a los electrones por el circuito exterior, transfiriéndoles energía. Se denomina fuerza electromotriz de dicho generador a la cantidad de energía que suministra por unidad de carga eléctrica, esto es, como $\mathcal{E}:=\dfrac{W}{Q}$, donde $Q$ designa la cantidad de carga eléctrica, y se expresa en culombios (C). Nótese que, dimensionalmente, $[ \mathcal{E}]=[W/Q]=J/C=V$.
1. Circuito de c.c. compuesto de un generador y una resistencia externa conectados en serie
La corriente de electrones que circula por el circuito exterior del generador, atraviesa una resistencia ohmica $R$; además, debe haber también un movimiento de cargas eléctricas dentro del propio generador, entre el ánodo (+) y el cátodo (-), por lo que éste tiene también una resistencia ohmica, que designaremos por $r$, y que, a efectos de cálculo, la consideramos dispuesta en serie con la resistencia $R$. Entonces, en un incremento $\Delta\,t$, el generador, al mover una cantidad de carga $\Delta\,Q$, proporciona una cantidad de energía $\Delta\,W=\Delta\,Q\cdot\mathcal{E} \quad (1)$, lo cual viene de la definición $\mathcal{E}:=\dfrac{W}{Q}$. Por otra parte, podemos escribir que $\Delta\,Q=I\,\Delta\,t$, donde $I$ denota la intensidad de corriente, que se expresa en amperios (A): $[I]=\left[\dfrac{Q}{\Delta\,t}\right]=\text{C}/\text{s}=\text{A}$, por tanto, (1) nos queda $\Delta\,W=I\cdot \mathcal{E}\,\Delta\,t$. Y como las resistencias ohmicas disipan energía por medio de calor, dicha energía disipada es igual a $\Delta\,W_{\text{disipada}}=-(R+r)\,I^2\,\Delta\,t$; y, por el teorema de conservación de la energía: $\Delta\,W+\Delta\,W_{\text{disipada}}=0$, esto es $I\cdot \mathcal{E}\cdot \Delta\,t+(-(R+r)\,I^2\,\Delta\,t)=0\,\therefore\, \mathcal{E}=(R+r)\,I \Rightarrow I=\dfrac{\mathcal{E}}{R+r}$
Caída de tensión entre los extremos $L$ y $M$ de una resistenca externa $R$. Intensidad de corriente.
Para la resistencia $R$ (resistencia de carga del circuito), es evidente, que al ir la corriente de $L$ hacia $M$, se tiene que $V_{ML}\equiv V_M-V_L \lt \mathcal{E}\equiv V_{+}-V_{-}$. Como la intensidad de corriente que atraviesa $R$ es $I=\dfrac{\mathcal{E}}{R+r}$, la caída de tensión en $R$ es $$V_{ML}=I\,R=\dfrac{\mathcal{E}}{R+r}\,R \quad \quad (1)$$
Rendimiento de un generador al conectar (únicamente) una resistencia externa al circuito
La resistencia $R$ —la resistencia de carga del circuito, o resistencia externa se considera un receptor, que convierte energía eléctrica en calor; hay otros tipos de receptores: motores, células electroquímicas, zumbadores, lumínicos, etcétera—, es el elemento en el que nos centraremos para calcular el rendimiento del generador —veámosla como la resistencia de un calentador eléctrico—. Se define el rendimiento del generador como el cociente de energías, $\mu_{\text{generador}}:=\dfrac{P_{\text{útil}}}{P_{\text{entregada por el generador}}}$ ($P$ indica cantidad de energía por unidad de tiempo, potencia). En nuestro caso, la potencia útil corresponde aproximadamente —suponemos que $R$ es considerablemente mayor que $r$— a la disipación por calor en la resistencia de carga $R$, luego $P_{\text{útil}}=R\,I^2$, y $P_{\text{entregada por el generador}}=\mathcal{E}\,I$. Por consiguiente, $$\mu_{\text{generador}}=\dfrac{R\,I^2}{\mathcal{E}\,I}=\dfrac{R\,I}{\mathcal{E}}=\dfrac{V_{ML}}{\mathcal{E}}\overset{\text{por}\,(1)}{=}\dfrac{R}{R+r}$$
2. Circuito de c.c. compuesto por un generador, una resistencia externa y un motor eléctrico, conectados en serie
Fuerza contraelectromotriz de un motor, intensidad de corriente que circula, caída de tensión entre los bornes de un motor, rendimiento del motor, y rendimiento del generador
Otro tipo de receptor de corriente es el motor eléctrico, el cual convierte la la energía la suministrada por el generador en energía mecánica y, también, en calor (por efecto disipativo de los elementos que lo componen). Caracterizaremos un motor mediante una fuerza contraelectromotriz $\mathcal{E}'$, que se define como la energía eléctrica empleada por el motor por unidad de carga eléctrica, y una resistencia ohmica de resitencia $r'$, que disipa energía en forma de calor.
La intensidad de corriente, $I$, que circula por el circuito la podemos calcular de la siguiente manera. Como la potencia entregada por el generador es igual a $\mathcal{E}\,I$, ésta deberá ser igual a la suma de la potencial mecánica que entrega el motor y la energía disipada en forma de calor por las resistencias ohimicas $R$ (externa), $r$ (r. interna del generador) y $r'$ (r. ohmica del motor), luego por el principio de conservación de la enrgía: $$\mathcal{E}\,I=\mathcal{E}'\,I+(R+r+r')\,I^2\,\therefore\,I=\dfrac{\mathcal{E}-\mathcal{E}'}{R+r+r'}\quad \quad (2)$$
Calculemos ahora la caída de tensión entre los bornes del motor, $\Delta\,V_{\text{bornes del motor}}$, bornes que designamos, para mayor comprensión, por $M$ y $N$ —conectamos el motor a la derecha de la resistencia externa— (la corriente de electrones libres va de $M$ a $N$). Para calcular $\Delta\,V_{\text{bornes del motor}}=V_{NM}$ —recordemos, por cierto, la notación: $V_{NM}\equiv V_N-V_M$—, hay que tener en cuenta también la resistencia interna del motor, a través de la cual disipa parte de la energía que le llega en forma de calor. Como la potencia eléctrica entregada al motor (entre sus bornes), $V_{NM}\cdot I$, ha de ser igual a la transformación de la misma en: a) energía mecánica $\mathcal{E}'\cdot I$, y b) energía disipada por efecto Joule (calor) en la resistencia interna del mismo, $r'\,I^2$, podemos escribir: $$V_{NM}\cdot I=\mathcal{E}'\cdot I+ r'\, I^2\,\therefore\,\Delta\,V_{\text{bornes del motor}}=\mathcal{E}'+r'\,I\overset{\text{por}\,(2)}{=}\dfrac{\mathcal{E}'\cdot (R+r+r')}{\mathcal{E}'\cdot (R+r)+\mathcal{E}\,r'}$$
Finalmente, calculemos el rendimiento del motor. Como la potencia útil (mecánica) es $P_{\text{mecánica útil}}=I\,\mathcal{E}'$; y, por otra parte, la potencia disipada en él ha de ser igual a la caída de tensión entre sus bornes por la intensidad que pasa por él, se tiene que $\mu_{\text{motor}}=\dfrac{I\cdot \mathcal{E}'}{I\cdot \Delta\,V_{\text{bornes del motor}}}=\dfrac{\mathcal{E}'}{\Delta\,V_{\text{bornes del motor}}}=\dfrac{\mathcal{E}'}{\mathcal{E}'+r'\,I}$.
En cuanto al rendimiento del generador, $\mu_{\text{generador}}$, habría ahora que recalcularlo, siguiendo los mismos razonamientos que habíamos hecho en la sección anterior, pero teniendo en cuenta también el añadido del elemento motor, y podemos comprobar fácilmente que, ahora, es $$\mu_{\text{generador}}=\dfrac{R}{R+r+r'}\,\left(1-\dfrac{\mathcal{E}'}{\mathcal{E}}\right)$$
3. Circuito de c.c. compuesto por un generador, una resistencia externa y un celda electroquímica (c.e.), conectados en serie
Fuerza contraelectromotriz de una c.e., intensidad de corriente que circula, caída de tensión entre los bornes de la c.e., rendimiento de la c.e., y rendimiento del generador
Una celda electroquímica es un tipo de receptor de corriente que convierte la energía la energía eléctrica en energía química —un buen ejemplo es la carga de una batería mediante un generador—. Como en todo receptor, habrá una pérdida de energía en forma de calor (por efecto disipativo de los elementos que lo componen dicho dispositivo). Caracterizaremos una celda electroquímica mediante una fuerza contraelectromotriz $\mathcal{E}^{''}$, que se define como la energía eléctrica empleada por la c.e. por unidad de carga eléctrica, y una resistencia ohmica de resitencia $r''$ ohmica, que disipa energía en forma de calor. Hay que tener en cuenta que es importante respetar la polaridad de la celda: el ánodo debe ir conectado al borne positivo del generador, y el cátodo al borne negativo.
De manera análoga, repitiendo los pasos de la sección anterior, podemos comprobar fácilmente que la intensidad de corriente, $I$, que circula por el circuito es $$I=\dfrac{\mathcal{E}-\mathcal{E}''}{R+r+r''}$$ siendo la caída de tensión entre los bornes de la c.e.: $$\Delta\,V_{\text{c.e.}}=\mathcal{E}''+r''\cdot I$$ El rendimiento de la c.e. —pensando en términos análogos a los de las secciones anteriores— podemos entenderlo como el cociente entre diferencia de potencial entre el ánodo y el cátodo de la celda, $\Delta\,V_{AK}$, y la fuerza electromotriz $\mathcal{E}$ del generador.
Cálculo de la intensidad que circula por un circuito formado por la asociación en serie de más de un receptor, de más de un generador, y por una resistencia de carga $R$ (externa)
De todo lo dicho anteriormente en cuanto al cálculo de la intensidad de corriente, fácilmente podemos hacer la siguiente generalización, para el caso de tener $\mathcal{E}_i$ ($i=1,\ldots,n$) generadores (con sus respectivas resistencias internas, $r_i$), $\mathcal{E}_{j}^{'}$ ($j=1,\ldots,m$) receptores (con sus respectivas resistencias internas, $r_{j}^{'}$), y una resistencia $R$ (que puede también considerarse como otro recptor): $$I=\dfrac{\displaystyle \sum_{i=1}^{n}\,\mathcal{E}_{i} -\displaystyle \sum_{j=1}^{m}\,\mathcal{E}_{j}^{'} }{\displaystyle \sum_{i=1}^{n}\,r_{i}+\displaystyle \sum_{j=1}^{m}\,r_{j}^{'}+R}$$ El rendimiento del generador y de los receptores se calculan siguiendo los mismos razonamientos que los descritos para los casos de circuitos sencillos (con un sólo receptor y un sólo generador) pero teniendo en cuenta, desde luego, las asociaciones.
Observación: Los generadores conectados con la polaridad invertida con respecto a la establecida podemos considerarlos con fuerza electromotriz negativa. Esto es fácil de comprender si atendemos al hecho de que un circuito con dos generadores con polaridad inversa uno con respecto al otro equivale a tener efecto nulo a la hora de crear una corriente eléctrica, pues el campo eléctrico en el conductor es nulo, resultado de sumar los campos correspondiente a sendos gneradores: son de igual módulo pero de signo opuesto.
$\diamond$Referencias:
[1] S. Serra; M. Armengol; J. Mercadé, Física de Batxillerat; tomo I. McGraw-Hill, Madrid, 2008.
[2] J. Fernández; M. Pujal, Iniciación a la Física; tomo II. Reverté, Barcelona, 1991.
[3] vv.aa., Sistema Internacional de Unidades, Wikipedia [https://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_Internacional_de_Unidades]
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