Consideremos la máquina de Atwood de la figura 1. Recordemos que la máquina de Atwood consiste en dos masas, $m_1$ y $m_2$ unidas por una cuerda inelástica (de longitud $\ell$) y de masa despreciable que pasa por una polea ideal (de masa también despreciable) —ésta, por tanto, no gira (la cuerda desliza, sin rozamiento, por la ranura de la misma—. En este artículo voy a exponer como se aplica el formalismo lagrangiano a este sencillo sistema holónomo, que nos permite calcular la ecuación del movimiento.
Procedimiento 1
El sistema de referencia se coloca en la línea horizontal que pasa por el centro de la polea —en la figura 1 se muestran las coordenadas de posición de sendas masas en un instante arbitrario—; como $x_1+x_2=\ell$ (constante), se tiene que $\dot{x}_1+\dot{x}_2=0$, luego $\dot{x}\equiv \dot{x}_1=-\dot{x}_2$, por lo que el sistema de ecuaciones de Euler-Lagrange se reducirá a una sola ecuación (en función de $\dot{x}$ y de $x$): $$\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{\partial\,\mathcal{L}}{\partial\,\dot{x}}\right)-\dfrac{\partial\,\mathcal{L}}{\partial\,x}=0\quad \quad (1)$$
Construyo el lagrangiano: $\mathcal{L}:=T-U$, donde $T$ es la energía cinética, y por tanto, $T=\dfrac{1}{2}\,m_1\,\dot{x}_{1}^{2}+\dfrac{1}{2}\,m_1\,\dot{x}_{2}^{2}=\dfrac{1}{2}\,m_1\,\dot{x}^{2}+\dfrac{1}{2}\,m_1\,(-\dot{x})^{2}=\dfrac{1}{2}\,(m_1+m_2)\,\dot{x}^2$
y $U$ es la energía potencial, luego, $U=-m_1\,g\,x_1-m_2\,g\,x_2=-m_1\,g\,x_1-m_2\,g\,(\ell-x_1)=-(m_1-m_2)\,g\,x-m_2\,g\,\ell$. Entonces, $$\mathcal{L}=\dfrac{1}{2}\,(m_1+m_2)\,\dot{x}^2-\left(-(m_1-m_2)\,g\,x-m_2\,g\,\ell\right)=\dfrac{1}{2}\,(m_1+m_2)\,\dot{x}^2+(m_1-m_2)\,g\,x+m_2\,g\,\ell$$
Por consiguiente, $\dfrac{\partial\,\mathcal{L}}{\partial\,\dot{x}}=(m_1+m_2)\,\dot{x} \therefore \dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{\partial\,\mathcal{L}}{\partial\,\dot{x}}\right)=(m_1+m_2)\,\ddot{x}$, y $\dfrac{\partial\,\mathcal{L}}{\partial\,x}=(m_1-m_2)\,g$.
Sustituyendo todo esto en (1), se llega a la ecuación de la aceleración $$(m_1+m_2)\,\ddot{x}-(m_1-m_2)\,g=0\quad \quad (2)$$ y por tanto $$\ddot{x}=\dfrac{m_1-m_2}{m_1+m_2}\,g\quad \quad (3)$$ Recordemos que, como $x\equiv x_1=(\ell-x_2)$, $\dot{x}\equiv \dot{x}_1=-\dot{x}_2$, con lo cual, $\ddot{x}\equiv \ddot{x}_1=-\ddot{x}_2$, y, como debe ser en este sistema con polea de masa nula: $$\ddot{x}_2=-\dfrac{m_1-m_2}{m_1+m_2}\,g$$
Observación 2: En el caso de que $m_1$ sea igual a $m_2$ ($m_1=m_2\dot{=}m$), se tiene que $$T_1=T_2=\dfrac{2\,m^2}{2\,m}\,g=m\,g$$ que es como debe ser, ya que en estas condiciones de equilibrio, las masas penden de cada lado, sin que haya movimiento.
Observación 3: Con las condiciones iniciales del movimiento, $\{x(t=0)=x_0\,\dot{x}(t=0)=v_0\}$, podemos integrar fácilmente la ecuación (2), obteniendo $\dot{x}(t)=v_0+\dfrac{m_1-m_2}{m_1+m_2}\,g\,t$; y, de ésta,$x(t)=x_0+v_0\,t+\dfrac{1}{2}\,\dfrac{m_1-m_2}{m_1+m_2}\,g\,t^2$
Cálculo de la tensión de la cuerda
Obsérvese que las tensiones no aparecen directamente en la (única) ecuación de Lagrange que hemos planteado. Para calcular las tensiones en un sistema mecánico a partir de las ecuaciones de Euler-Lagrange, es necesario incluir explícitamente las tensiones como fuerzas de ligadura, con las respectivas ecuaciones de Lagrange adicionales, tal como haremos, más abajo, en el Procedimiento 2. Pero también (y sencillamente) podemos escribir la segunda ley de Newton (tal cual) para cada subsistema, a lo cual ya estamos acostumbrados desde los primeros cursos de física. Nótese que al no tener masa la polea, las tensiones en los subsistemas izquierdo y derecho son iguales (por comodidad denomino $\tau$ a esa tensión), ya que la cuerda inelástica es un medio continuo y toda tensión se transmite por igual a todos sus puntos. Bastará con elegir uno de los dos substistemas y escribir en él la segunda ley de Newton; en el de la izquierda, por ejemplo: $m_1\,g-\tau=m_1\,\ddot{x}$, esto es, $(m_1-\ddot{x}\,g=\tau$, y, teniendo en cuenta (3) puede escribirse que $\tau=\left(1-\dfrac{m_1-m_2}{m_1+m_2}\right)\,g\,m_1$ y, simplificando la expresión dentro del paréntesis, se llega a $$\tau_1=\tau_2=\dfrac{2\,m_1\,m_2}{m_1+m_2}\,g$$
Procedimiento 2Otra forma de obtener la tensión —que entendemos como una fuerza de ligadura—, a la vez que la ecuación del movimiento, mediante las ecuaciones de Lagrange, consiste en utilizar al principio de los trabajos virtuales —se desprende del principio de d'Alembert—, recurriendo para ello al artificio de considerar «variable» la longitud de la cuerda en los desplazamientos virtuales (aún sin ser consecuentes con la ligadura real del problema: longitud de la cuerda constante). Con este planteamineto, deberemos escribir la energía cinética del sistema de la forma $$T=\dfrac{1}{2}\,m_1\,\dot{x}^2+\dfrac{1}{2}\,m_2\,(\dot{\ell}-\dot{x})^2 \quad \quad (4)$$ Tendremos por tanto dos coordenadas en lugar de una sola: $x$ y $\ell$, que, por otra parte, entendemos como coordenadas generalizadas $q_1\equiv x$ y $q_2\equiv \ell$. Es claro que tendremos dos ecuaciones en el sistema de ecuaciones de Lagrange y no solamente una, como en el caso de obtener solamente la ecuación del momiviento.
La tensión (fuerza de ligadura) de la cuerda, $\tau$, no deriva de una función potencial, y, por tanto, tampoco la fuerza generalizada asociada a $\ell$, por lo que no podremos escribir las ecuaciones de Lagrange en la forma (1), sino únicamente en términos de la energía cinética, que como sabemos bien (referencias), son de la forma:
$$\left\{ \begin{matrix} \dfrac{d}{dt} \,\left( \dfrac{\partial\,T} {\partial\,\dot{x}_1} \right) - \dfrac{\partial\,T} {\partial\,x} =Q_{x} & \quad \quad (6)\\ \dfrac{d}{dt} \,\left( \dfrac{\partial\,T} {\partial\,\dot{\ell}} \right) - \dfrac{\partial\,T} {\partial\,\ell} =Q_{\ell} & \quad \quad (7) \end{matrix}\right.$$
De (4) obtenemos: $\dfrac{\partial\,T}{\partial\,\dot{x}}=(m_1+m_2)\,\dot{x} \,\therefore \, \dfrac{d}{dt}\,\left( \dfrac{\partial\,T}{\partial\,\dot{x}}\right)=(m_1+m_2)\,\ddot{x}$; $\dfrac{\partial\,T}{\partial\,\dot{\ell}}=m_2\,(\dot{\ell}-\dot{x}_1) \,\therefore \, \dfrac{d}{dt}\,\left( \dfrac{\partial\,T}{\partial\,\dot{\ell}}\right)=m_2\,(0-\ddot{x}_1)=-m_2\,\ddot{x}_1$; $\dfrac{\partial\,T}{\partial\,\ell}=0$; por tanto, las ecuaciones (6) y (7) quedan de la forma
$$\left\{ \begin{matrix} (m_1+m_2)\,\ddot{x}=Q_{x} & \quad \quad (6')\\ -m_2\,\ddot{x} =Q_{\ell} & \quad \quad (7') \end{matrix}\right.$$
Veamos a continuación cuáles son las fuerzas generalizadas, $Q_{x_1}$ y $Q_{\ell}$, asociadas a las coordenadas generalizadas $x_1$, y $\ell$
Teniendo en cuenta que las fuerzas que actúan sobre la masa $m_1$ (lado izquierdo) es $m_1\,g-\tau$ y que las fuerzas que actúan sobre $m_2$ (lado derecho) es $-(m_2\,g-\tau)$, y teniendo en cuenta un incremento $\delta\,x$ de $x$ (manteniendo $\ell$ constante), el trabajo realizado por la fuerza neta en un desplazamiento $\delta\,x$ es $\delta\,W=\left((m_1\,g-\tau)-(m_2\,g-\tau)\right)\,\delta\,x=(m_1-m_2)\,g\,\delta\,x$, luego la fuerza generalizada asociada a la coordenada generalizada $x$ es $$Q_{x}=(m_1-m_2)\,g \quad \quad (8)$$ Nota: observemos que esta expresión es independiente de $\tau$
Por otra parte, considerando un incremento $\delta\,\ell$ de $\ell$ (manteniendo $x$ constante), y habida cuenta de que la fuerza neta sobre $m_2$, que es $m_2\,g-\tau$ —según el primer miembre de la ecuación (7'), ésta describe la dinámica de la masa $m_2$—, vemos que el trabajo realizado es $\delta\,W=(m_2\,g-\tau)\,\delta\,\ell$, luego la fuerza generalizada asociada a la coordenada generalizada $\ell$ es $$Q_{\ell}=m_2\,g-\tau\quad \quad (9)$$ y, ésta sí, depende de $\tau$.
Finalmente, sustituyendo (8) y (9) en (6') y (7'), llegamos a:
$$\left\{ \begin{matrix} (m_1+m_2)\,\ddot{x}=(m_1-m_2)\,g & \quad \quad (10)\\ -m_2\,\ddot{x} =m_2\,g-\tau & \quad \quad (11) \end{matrix}\right.$$
La primera ecuación, (10), es la ecuación del movimiento que ya habíamos obtenido en (2) por el primer procedimiento. De (10) podemos escribir (3); y de la segunda, (11), y teniendo en cuenta (3), despejamos la tensión: $$\tau=m_2\,g+m_2\,\ddot{x}_1=\left(1+\dfrac{m_1-m_2}{m_1+m_2}\right)\,m_2\,g=\dfrac{m_1\,m_2}{m_1+m_2}\,g$$ que, es el resultado ya obtenido mediante el primer procedimiento. Nota: recordemos una vez más que al no tener masa la polea, $\tau_1=\tau_2 \equiv \tau$.
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Referencias:
[1] K.R. Symon, Mecánica, Aguilar, Madrid, 1977.
[2] M.R. Spiegel, Mecánica teórica, McGraw-Hill, Mexico, 1976.
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