El formalismo lagrangiano

¿Cómo encontrar las ecuaciones del movimiento de un sistema? Si bien esto puede hacerse aplicando sin más las ecuaciones de Newton, hay otras maneras de resolver el problema, más aficaces cuando la complejidad del problema aumenta. Estos formalismos matemáticos, como son, básicamente, el de Lagrange y el de Hamilton, son más sofisticados desde el punto de vista matemático, pero constituyen la base para tratar no sólo problemas de la mecánica clásica y de termodinámica sino que también son fundamentales para estudiar los problemas de la física cuántica, y de las teorías de campos (en física de partículas). Aquí trataremos del formalismo lagrangiano.

Coordenadas generalizadas

Al considerar un sistema de $N$ partículas, tendremos $N$ vectores de posición $\vec{r}_\nu=x_{\nu}\hat{i}+y_{\nu}\hat{j}+z_{\nu}\hat{k}$ (que, en general, dependen del tiempo), y por tanto, $3N$ coordenadas de posición, $\{x_{\nu}, y_{\nu}, z_{\nu}\}$, $\nu=1,2,\ldots,N$ en un espacio de 3 dimensiones; ahora bien, la libertad de las partículas suele estar restringida por un cierto conjunto de ligaduras, lo cual conduce a describir el sistema en función de $n$ coordenas efectivas, con $n\lt N$, a las que denominamos coordenadas generalizadas y representamos por $\{q_1,q_2,\ldots,q_n\}$. Utilizaremos el subíndice $\alpha$ para designar estas coordenadas generalizadas; así, escribiremos $q_\alpha$, $\alpha=1,2,\ldots,n$. El número, $n$, de coordenadas generalizadas representa el número de grados de libertad del sistema.

Así, podremos escribir las coordenadas de posición en función de las coordenadas generalizadas de la forma $\vec{r}_{\nu}=\vec{r}_{\nu}(q_1,q_2,\ldots,q_n,t)$ para $\nu=1,2,\ldots,N$ que, en la forma escalar, se expresa mediante el sistema de ecuaciones (las funciones del segundo miembro se suponen continuas y derivadas continuas): $$\left\{\begin{matrix}x_{\nu}=x_{\nu}(q_1,q_2,\ldots,q_n,t)\\y_{\nu}=y_{\nu}(q_1,q_2,\ldots,q_n,t)\\ z_{\nu}=z_{\nu}(q_1,q_2,\ldots,q_n,t)\end{matrix}\right.\;\text{para}\;\nu=1,2,\ldots,N$$

Sistema holónomos

Si las ligaduras de las que hemos hablado pueden expresarse de la forma $f(q_1,q_2,\ldots,q_n,t)=0$ y éstas son integrables, diremos que el sistema (de ligaduras) es holonómico (o holónomo). En tal caso, un sistema (holónomo) constará de $m$ ecuaciones de ligadura del tipo $\displaystyle \sum_{{\alpha}=1}^{n}\,A_{{\alpha},{k}}\,dq_{{\alpha}}+A\,dt=0\;,\;k=1,2,\ldots,m$ ( o bien de la forma $\displaystyle \sum_{{\alpha}=1}^{n}\,A_{{\alpha},{k}}\,\dot{q}_{{\alpha}}+A=0\;,\;k=1,2,\ldots,m$); siendo, el número de dichas ecuaciones de ligadura menor que el número de grados de libertad del sistema: $m\lt n$.

En el caso de aparecer ligaduras del tipo $f(q_1,q_2,\ldots,q_n,t) \begin{matrix}\lt \\ \gt \end{matrix} 0$, éstas, desde luego, no serían holonómicas. Véase el siguiente ejemplo.

En el caso de que todas las fuerzas actuantes sobre el sistema de partículas puedan obtenerse de una función potencial, $U$, entonces el sistema se denomina conservativo.

Denominamos velocidades generalizadas a las derivadas de $q_\alpha$, $\alpha=1,2,\ldots,n$ con respecto al tiempo $t$, y se designan por $\dot{q}_\alpha$, $\alpha=1,2,\ldots,n$.

Fuerzas generalizadas

A partir del trabajo total realizado sobre el sistema de partículas por las fuerzas $\{\vec{F}_{\nu}\}, \nu=1,2,\ldots, N$, podemos hablar de fuerzas generalizadas $\{\Phi_{\alpha}\},\alpha=1,2,\ldots,n$. Veamos cómo se definen de manera natural:
$dW\equiv\displaystyle \sum_{\nu=1}^{N}\,\vec{F}_{\nu}\cdot d\vec{r}_{\nu}=\displaystyle \sum_{\nu=1}^{N}\,\vec{F}_{\nu}\cdot \sum_{\alpha=1}^{n} \dfrac{\partial\,\vec{r}_{\nu}}{\partial\,q_{\alpha}}\,dq_{\alpha}=\sum_{\alpha=1}^{n} \left(\sum_{\nu=1}^{N}\, \vec{F}_{\nu} \cdot \dfrac{\partial\,\vec{r}_{\nu}}{\partial\,q_{\alpha}} \right)\,dq_{\alpha} \therefore$
    $\Phi_{\alpha}:=\displaystyle \sum_{\nu=1}^{N}\, \vec{F}_{\nu} \cdot \dfrac{\partial\,\vec{r}_{\nu}}{\partial\,q_{\alpha}}\,\text{para}\,\alpha=1,2,\ldots,n$

A partir de ahí, se puede demostrar que las fuerzas generalizadas de un sistema holonómico se relacionan con la energía cinética del sistema, $T$, y cumplen las siguientes $n$ ecuaciones, denominadas ecuaciones de Lagrange: $$\dfrac{d}{dt}\left( \dfrac{\partial\,T}{\partial\,\dot{q}}\right) - \dfrac{\partial\,T}{\partial\,q}=\Phi_{\alpha}\,,\,\alpha=1,2,\ldots,n$$ Además, si el sistema es conservativo, esas ecuaciones se escriben de la forma $$\dfrac{d}{dt}\left( \dfrac{\partial\,\mathcal{L}}{\partial\,\dot{q}}\right) - \dfrac{\partial\,\mathcal{L}}{\partial\,q}=0\,,\,\alpha=1,2,\ldots,n$$ siendo $\mathcal{L}(q_1,q_2,\ldots,q_n;\dot{q}_1,\dot{q}_2,\ldots,\dot{q}_n):=T-U$, y $U(q_1,q_2,\ldots,q_n)$ la función energía potencial del sistema.

Momentos generalizados

Denominamos momento generalizado (o momento conjugado), asociado a la coordenada generalizada $q_\alpha$, a $p_\alpha =\dfrac{\partial\,T}{\partial\,\dot{q}_\alpha}$ y, si el sistema es conservativo, se tiene que $q_\alpha$, a $p_\alpha =\dfrac{\partial\,\mathcal{L}}{\partial\,\dot{q}_\alpha}$

Extensión de las ecuaciones de Lagrange a sistemas no holonómicos

El formalismo lagrangiano se aplica no sólo a los sistema holonómicos (con un conjunto de restricciones o ligaduras integrables o holonómicas) sino también a sistemas no holonómicos, mediante el uso añadido de los multiplicadores de Lagrange, reemplezando las ecuaciones de Lagrange de las que hemos hablado antes por estas otras: $$\dfrac{d}{dt}\left( \dfrac{\partial\,T}{\partial\,\dot{q}}\right) - \dfrac{\partial\,T}{\partial\,q}=\Phi_{\alpha}+\lambda_1\,A_{\beta_{1}}+\lambda_2\,A_{\beta_{2}}+\ldots+\lambda_m\,A_{\beta_{m}}\,,\,\alpha=1,2,\ldots,n$$ donde $\lambda_1,\ldots,\lambda_m$ son dichos multiplicadores de Lagrange, siendo $m$ el número de restricciones o ligaduras no integrables.

Fuerzas de ligadura

Hay un multiplicador de Lagrange para cada ligadura no integrable, y cada uno de ellos está asociado a la correspondiente fuerza de ligadura, el conjunto de las cuales constriñen el sistema; por otra parte, los términos $\lambda_j\,A_{\beta_{j}}\,,\;j=1,2,\ldots,m$ se asocian a las correspondientes fuerzas de ligadura (o constricción).

Tendremos, en definitiva, un sistema de $n+m$ ecuaciones con $n+m$ incógnitas, que podremos integrar para llegar a las ecuaciones del movimiento.

Y, tal como se ha comentado antes, si el sistema es conservativo, podremos escribir: $$\dfrac{d}{dt}\left( \dfrac{\partial\,\mathcal{L}}{\partial\,\dot{q}}\right) - \dfrac{\partial\,\mathcal{L}}{\partial\,q}=\lambda_1\,A_{\beta_{1}}+\lambda_2\,A_{\beta_{2}}+\ldots+\lambda_m\,A_{\beta_{m}}\,,\,\alpha=1,2,\ldots,n$$ donde $\lambda_1,\ldots,\lambda_m$

Este resultado nos permitirá determinar las ecuaciones del movimiento (de sistema no holónomos). Un par de ejemplos:

1. ¿En qué punto de una esfera de radio $a$, fija, una esfera de radio $b\le a$, sometida a la acción de un campo gravitatorio y que rueda sin deslizar sobre la superficie (rugosa) de la primera esfera, fija, se separa de su superficie?
2. partícula de masa $m$ que se mueve sobre la superficie interna de un paraboloide de revolución, de ecuación $x^2+y^2=a\,z$, sometida a la acción de un campo gravitatorio en la dirección de $z$.

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Referencias:

  [1] K.R. Symon, Mecánica, Aguilar, Madrid, 1977.
  [2] M.R. Spiegel, Mecánica teórica, McGraw-Hill, Mexico, 1976.

Aplicación del formalismo de Lagrange al péndulo simple

Un cuerpo de masa $m$ está suspendido del techo mediante una cuerda de longituda $\ell$, de longitud constante (el sistema es escleronómico) y de masa despreciable (el sistema es holonómico) para poder oscilar en un mismo plano vertical, y se desprecia también el rozamiento. Nos proponemos encontrar la ecuación del movimiento, aplicando el formalismo de Lagrange.

Situaremos el origen de potencial gravitatorio en el punto más bajo de la trayectoria pendular, con lo que la energía potencial es $U=m\,g\,(\ell\,-\ell\,\cos\,\theta)$, siendo $\theta$ el ángulo que forma la cuerda con la vertical en una posición dada del péndulo. Por otra parte, la energía cinética de la masa que pende es $T=\dfrac{1}{2}\,m\,(\ell\cdot \dot{\theta})^2$. Con esto, podemos escribir ya la función lagrangiana $\mathcal{L}:=T-U$, que dependende únicamente de una variable (coordenada generalizada), $q\equiv \theta$: $$\mathcal{L}(\theta)=\dfrac{1}{2}\,m\,\ell^2\,\,\dot{\theta}^2-m\,g\,\ell\,(1-\cos\,\theta)$$

La ecuación de Lagrange (el sistema es conservativo) es $$\dfrac{d}{dt}\left( \dfrac{\partial\,\mathcal{L}}{\partial\,\dot{\theta}}\right)-\dfrac{\partial\,\mathcal{L}}{\partial\,\theta}=0 \quad \quad (1)$$

Calculemos los téminos de esta ecuación: $\dfrac{\partial\,\mathcal{L}}{\partial\,\dot{\theta}}=m\,\ell^2\,\dot{\theta} \,\therefore\, \dfrac{d}{dt}\left( \dfrac{\partial\,\mathcal{L}}{\partial\,\dot{\theta}}\right) = m\,\ell^2\,\ddot{\theta}$ y $\dfrac{\partial\,\mathcal{L}}{\partial\,\theta}=-m\,g\,\ell\,\sin\,\theta$

Entonces, sustituyendo en (1), encontramos la ecuación del movimiento: $$m\,\ell^2\,\ddot{\theta}+m\,g\,\ell\,\sin\,\theta=0$$ que, simplificada, queda $$\ell\,\ddot{\theta}+g\,\sin\,\theta=0$$

*** Nota (acerca de la tensión en la cuerda): Para encontrar la tensión de la cuerda, podemos aplicar directament las ecuaciones de Newton. Descomponiendo la fuerza que la gravedad ejerce sobre el péndulo en las direcciones tangencial y normal, vemos que esta última —que, por la condición de equilibrio, ha de ser igual a la tensión— es igual a $T=m\,g\,cos\,\theta$. Obsérvese que la tensión es máxima cuando $\cos\,\theta$ toma el valor máximo, y por tanto, cuando $\theta$ alcanza el valor $0$, esto es, cuando el péndulo pasa por el punto más bajo de su oscilación, situación en la cual $T_{\text{máxima}}=m\,g$. $\diamond$

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Referencias:

  [1] K.R. Symon, Mecánica, Aguilar, Madrid, 1977.
  [2] M.R. Spiegel, Mecánica teórica, McGraw-Hill, Mexico, 1976.

Estudio de la máquina doble de Atwood

En los artículos de los enlaces (archivos PDF) he realizado el ejercicio de análisis de este sistema (masas de las poleas despreciables, al igual que la masa de las dos cuerdas) mediante dos procedimientos: (a) aplicando las ecuaciones de Newton tal cual a cada subsistema, y (b) empleando el formalismo de Lagrange. Los resultados son, obviamente, los mismos; sin embargo, siempre es interesante y educativo resolver un mismo problema desde varios enfoques:

1. Planteando las ecuaciones de Newton en cada subsistema
2. Empleando el formalismo de Lagrange
3. Empleando el formalismo de Hamilton

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Referencias:

  [1] J.B. Marion, Mecánica clásica de las partículas y sistemas, Reverté, Barcelona, 1998.
  [2] H. Goldstein, Mecánica clásica, Reverté, Barcelona, 1990.

Aplicación del formalismo lagrangiano a una máquina de Atwood simple

Consideremos la máquina de Atwood de la figura 1. Recordemos que la máquina de Atwood consiste en dos masas, $m_1$ y $m_2$ unidas por una cuerda inelástica (de longitud $\ell$) y de masa despreciable que pasa por una polea ideal (de masa también despreciable) —ésta, por tanto, no gira (la cuerda desliza, sin rozamiento, por la ranura de la misma—. En este artículo voy a exponer como se aplica el formalismo lagrangiano a este sencillo sistema holónomo, que nos permite calcular la ecuación del movimiento.

Procedimiento 1

Figura 1

El sistema de referencia se coloca en la línea horizontal que pasa por el centro de la polea —en la figura 1 se muestran las coordenadas de posición de sendas masas en un instante arbitrario—; como $x_1+x_2=\ell$ (constante), se tiene que $\dot{x}_1+\dot{x}_2=0$, luego $\dot{x}\equiv \dot{x}_1=-\dot{x}_2$, por lo que el sistema de ecuaciones de Euler-Lagrange se reducirá a una sola ecuación (en función de $\dot{x}$ y de $x$): $$\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{\partial\,\mathcal{L}}{\partial\,\dot{x}}\right)-\dfrac{\partial\,\mathcal{L}}{\partial\,x}=0\quad \quad (1)$$

Construyo el lagrangiano: $\mathcal{L}:=T-U$, donde $T$ es la energía cinética, y por tanto, $T=\dfrac{1}{2}\,m_1\,\dot{x}_{1}^{2}+\dfrac{1}{2}\,m_1\,\dot{x}_{2}^{2}=\dfrac{1}{2}\,m_1\,\dot{x}^{2}+\dfrac{1}{2}\,m_1\,(-\dot{x})^{2}=\dfrac{1}{2}\,(m_1+m_2)\,\dot{x}^2$
y $U$ es la energía potencial, luego, $U=-m_1\,g\,x_1-m_2\,g\,x_2=-m_1\,g\,x_1-m_2\,g\,(\ell-x_1)=-(m_1-m_2)\,g\,x-m_2\,g\,\ell$. Entonces, $$\mathcal{L}=\dfrac{1}{2}\,(m_1+m_2)\,\dot{x}^2-\left(-(m_1-m_2)\,g\,x-m_2\,g\,\ell\right)=\dfrac{1}{2}\,(m_1+m_2)\,\dot{x}^2+(m_1-m_2)\,g\,x+m_2\,g\,\ell$$ Por consiguiente, $\dfrac{\partial\,\mathcal{L}}{\partial\,\dot{x}}=(m_1+m_2)\,\dot{x} \therefore \dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{\partial\,\mathcal{L}}{\partial\,\dot{x}}\right)=(m_1+m_2)\,\ddot{x}$, y $\dfrac{\partial\,\mathcal{L}}{\partial\,x}=(m_1-m_2)\,g$.

Sustituyendo todo esto en (1), se llega a la ecuación de la aceleración $$(m_1+m_2)\,\ddot{x}-(m_1-m_2)\,g=0\quad \quad (2)$$ y por tanto $$\ddot{x}=\dfrac{m_1-m_2}{m_1+m_2}\,g\quad \quad (3)$$ Recordemos que, como $x\equiv x_1=(\ell-x_2)$, $\dot{x}\equiv \dot{x}_1=-\dot{x}_2$, con lo cual, $\ddot{x}\equiv \ddot{x}_1=-\ddot{x}_2$, y, como debe ser en este sistema con polea de masa nula: $$\ddot{x}_2=-\dfrac{m_1-m_2}{m_1+m_2}\,g$$

--- Observación 1: En el caso de que $m_1$ sea igual a $m_2$, se tiene que $\ddot{x}_1=0$, como cabría esperar, ya que en estas condiciones el sistema está en equilibrio.

Observación 2: En el caso de que $m_1$ sea igual a $m_2$ ($m_1=m_2\dot{=}m$), se tiene que $$T_1=T_2=\dfrac{2\,m^2}{2\,m}\,g=m\,g$$ que es como debe ser, ya que en estas condiciones de equilibrio, las masas penden de cada lado, sin que haya movimiento.

Observación 3: Con las condiciones iniciales del movimiento, $\{x(t=0)=x_0\,\dot{x}(t=0)=v_0\}$, podemos integrar fácilmente la ecuación (2), obteniendo $\dot{x}(t)=v_0+\dfrac{m_1-m_2}{m_1+m_2}\,g\,t$; y, de ésta,$x(t)=x_0+v_0\,t+\dfrac{1}{2}\,\dfrac{m_1-m_2}{m_1+m_2}\,g\,t^2$ ---

Cálculo de la tensión de la cuerda

Obsérvese que las tensiones no aparecen directamente en la (única) ecuación de Lagrange que hemos planteado. Para calcular las tensiones en un sistema mecánico a partir de las ecuaciones de Euler-Lagrange, es necesario incluir explícitamente las tensiones como fuerzas de ligadura, con las respectivas ecuaciones de Lagrange adicionales, tal como haremos, más abajo, en el Procedimiento 2. Pero también (y sencillamente) podemos escribir la segunda ley de Newton (tal cual) para cada subsistema, a lo cual ya estamos acostumbrados desde los primeros cursos de física. Nótese que al no tener masa la polea, las tensiones en los subsistemas izquierdo y derecho son iguales (por comodidad denomino $\tau$ a esa tensión), ya que la cuerda inelástica es un medio continuo y toda tensión se transmite por igual a todos sus puntos. Bastará con elegir uno de los dos substistemas y escribir en él la segunda ley de Newton; en el de la izquierda, por ejemplo: $m_1\,g-\tau=m_1\,\ddot{x}$, esto es, $(m_1-\ddot{x}\,g=\tau$, y, teniendo en cuenta (3) puede escribirse que $\tau=\left(1-\dfrac{m_1-m_2}{m_1+m_2}\right)\,g\,m_1$ y, simplificando la expresión dentro del paréntesis, se llega a $$\tau_1=\tau_2=\dfrac{2\,m_1\,m_2}{m_1+m_2}\,g$$

***

Procedimiento 2

Otra forma de obtener la tensión —que entendemos como una fuerza de ligadura—, a la vez que la ecuación del movimiento, mediante las ecuaciones de Lagrange, consiste en utilizar al principio de los trabajos virtuales —se desprende del principio de d'Alembert—, recurriendo para ello al artificio de considerar «variable» la longitud de la cuerda en los desplazamientos virtuales (aún sin ser consecuentes con la ligadura real del problema: longitud de la cuerda constante). Con este planteamineto, deberemos escribir la energía cinética del sistema de la forma $$T=\dfrac{1}{2}\,m_1\,\dot{x}^2+\dfrac{1}{2}\,m_2\,(\dot{\ell}-\dot{x})^2 \quad \quad (4)$$ Tendremos por tanto dos coordenadas en lugar de una sola: $x$ y $\ell$, que, por otra parte, entendemos como coordenadas generalizadas $q_1\equiv x$ y $q_2\equiv \ell$. Es claro que tendremos dos ecuaciones en el sistema de ecuaciones de Lagrange y no solamente una, como en el caso de obtener solamente la ecuación del momiviento.

La tensión (fuerza de ligadura) de la cuerda, $\tau$, no deriva de una función potencial, y, por tanto, tampoco la fuerza generalizada asociada a $\ell$, por lo que no podremos escribir las ecuaciones de Lagrange en la forma (1), sino únicamente en términos de la energía cinética, que como sabemos bien (referencias), son de la forma: $$\left\{ \begin{matrix} \dfrac{d}{dt} \,\left( \dfrac{\partial\,T} {\partial\,\dot{x}_1} \right) - \dfrac{\partial\,T} {\partial\,x} =Q_{x} & \quad \quad (6)\\ \dfrac{d}{dt} \,\left( \dfrac{\partial\,T} {\partial\,\dot{\ell}} \right) - \dfrac{\partial\,T} {\partial\,\ell} =Q_{\ell} & \quad \quad (7) \end{matrix}\right.$$
De (4) obtenemos: $\dfrac{\partial\,T}{\partial\,\dot{x}}=(m_1+m_2)\,\dot{x} \,\therefore \, \dfrac{d}{dt}\,\left( \dfrac{\partial\,T}{\partial\,\dot{x}}\right)=(m_1+m_2)\,\ddot{x}$; $\dfrac{\partial\,T}{\partial\,\dot{\ell}}=m_2\,(\dot{\ell}-\dot{x}_1) \,\therefore \, \dfrac{d}{dt}\,\left( \dfrac{\partial\,T}{\partial\,\dot{\ell}}\right)=m_2\,(0-\ddot{x}_1)=-m_2\,\ddot{x}_1$; $\dfrac{\partial\,T}{\partial\,\ell}=0$; por tanto, las ecuaciones (6) y (7) quedan de la forma $$\left\{ \begin{matrix} (m_1+m_2)\,\ddot{x}=Q_{x} & \quad \quad (6')\\ -m_2\,\ddot{x} =Q_{\ell} & \quad \quad (7') \end{matrix}\right.$$
Veamos a continuación cuáles son las fuerzas generalizadas, $Q_{x_1}$ y $Q_{\ell}$, asociadas a las coordenadas generalizadas $x_1$, y $\ell$

Teniendo en cuenta que las fuerzas que actúan sobre la masa $m_1$ (lado izquierdo) es $m_1\,g-\tau$ y que las fuerzas que actúan sobre $m_2$ (lado derecho) es $-(m_2\,g-\tau)$, y teniendo en cuenta un incremento $\delta\,x$ de $x$ (manteniendo $\ell$ constante), el trabajo realizado por la fuerza neta en un desplazamiento $\delta\,x$ es $\delta\,W=\left((m_1\,g-\tau)-(m_2\,g-\tau)\right)\,\delta\,x=(m_1-m_2)\,g\,\delta\,x$, luego la fuerza generalizada asociada a la coordenada generalizada $x$ es $$Q_{x}=(m_1-m_2)\,g \quad \quad (8)$$ Nota: observemos que esta expresión es independiente de $\tau$

Por otra parte, considerando un incremento $\delta\,\ell$ de $\ell$ (manteniendo $x$ constante), y habida cuenta de que la fuerza neta sobre $m_2$, que es $m_2\,g-\tau$ —según el primer miembre de la ecuación (7'), ésta describe la dinámica de la masa $m_2$—, vemos que el trabajo realizado es $\delta\,W=(m_2\,g-\tau)\,\delta\,\ell$, luego la fuerza generalizada asociada a la coordenada generalizada $\ell$ es $$Q_{\ell}=m_2\,g-\tau\quad \quad (9)$$ y, ésta sí, depende de $\tau$.



Finalmente, sustituyendo (8) y (9) en (6') y (7'), llegamos a: $$\left\{ \begin{matrix} (m_1+m_2)\,\ddot{x}=(m_1-m_2)\,g & \quad \quad (10)\\ -m_2\,\ddot{x} =m_2\,g-\tau & \quad \quad (11) \end{matrix}\right.$$ La primera ecuación, (10), es la ecuación del movimiento que ya habíamos obtenido en (2) por el primer procedimiento. De (10) podemos escribir (3); y de la segunda, (11), y teniendo en cuenta (3), despejamos la tensión: $$\tau=m_2\,g+m_2\,\ddot{x}_1=\left(1+\dfrac{m_1-m_2}{m_1+m_2}\right)\,m_2\,g=\dfrac{m_1\,m_2}{m_1+m_2}\,g$$ que, es el resultado ya obtenido mediante el primer procedimiento. Nota: recordemos una vez más que al no tener masa la polea, $\tau_1=\tau_2 \equiv \tau$. $\diamond$

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Referencias:

  [1] K.R. Symon, Mecánica, Aguilar, Madrid, 1977.
  [2] M.R. Spiegel, Mecánica teórica, McGraw-Hill, Mexico, 1976.