Posición, velocidad, aceleración y energía cinética en coordenadas polares

En muchos problemas de mecánica, nos interesará expresar el vector de posición $\vec{r}$, el vector de velocidad $\vec{v}=\dfrac{d\vec{r}}{dt}$, el de aceleración $\vec{a}=\dfrac{d\vec{v}}{dt}$, así como la expresión de la energía cinética,$T=\dfrac{1}{2}\,m\,(|\vec{v}|)^2$, en todo instante de tiempo $t$, en coordenadas polares $(r,\theta)$.

Ello será de particular ayuda para montar la función lagrangiana o bien la función hamiltoniana del sistema, de manera que los cálculos no salgan demasiado embrollados. En este artículo desarrollo los cálculos, que parten de obtener otra base ortonormal del plano vectorial apropiada —la base canónica no nos servirá en sí misma—, de manera que uno de los vectores (de la nueva base) apunte en la dirección de $\vec{r}$ y otro en la dirección perpendicular.

Consideremos el movimiento en un plano de una partícula de masa $m$, a la cual apunta en todo momento el vector de posición $\vec{r}=x\,\hat{i}+y\,\hat{j}=r\,\cos\,\theta\,\hat{i}+r\,\sin\,\theta\,\hat{j} \quad (1)$, siendo $r$ el módulo de dicho vector de posición y $\theta$ el ángulo (polar) que forma dicho vector de posición con el eje de abscisas del sistema de referencia cartesiano. Notemos que $\vec{r}=x\,\hat{i}+y\,\hat{j}=r\,\cos\,\theta\,\hat{e}_r+r\,\sin\,\theta\,\hat{e}_r$, donde $\{\hat{i}=(1,0),\hat{j}=(0,1)\}$ son los vectores de la base canónica.

Así, $\hat{e}_r=\dfrac{\dfrac{\partial\,\vec{r}} {\partial \,r}} {\left|\dfrac{\partial\,\vec{r}} {\partial \,r}\right|}$, puesto que el numerador es un vector tangente a la curva $\theta=$constante; por otra parte, un vector unitario y ortogonal a $\hat{e}_r$ es $\hat{e}_\theta=\dfrac{\dfrac{\partial\,\vec{r}} {\partial \,\theta}} {\left|\dfrac{\partial\,\vec{r}} {\partial \,\theta}\right|}$, habida cuenta de que el numerador es un vector tangente a la curva $r=$constante.

Estos vectores forman pues una (nueva) base ortonormal, y por tanto, también euclídea —distinta de la base canónica— que es apropiada para nuestro cometido: $\{\hat{e}_r,\hat{e}_\theta\}$. Procedo a calcularlos: $\dfrac{\partial\,\vec{r}} {\partial \,r}\overset{(1)}{=}\cos\,\theta\,\hat{i}+\sin\,\theta\,\hat{j}$, y como $\left| \sqrt{\cos^2\,\theta+\sin^2\,\theta} \right|=1$, resulta que $\hat{e}_r=\cos\,\theta\,\hat{i}+\sin\,\theta\,\hat{j} \quad (2)$; por otra parte, $\dfrac{\partial\,\vec{r}} {\partial \,\theta}\overset{(1)}{=}r\,(-\sin\,\theta\,\hat{i}+\cos\,\theta\,\hat{j})$, y como $\left|\dfrac{\partial\,\vec{r}} {\partial \,\theta}\right|= \sqrt{r^2(\cos^2\,\theta+\sin^2\,\theta)}=\sqrt{r\cdot 1}=r$, con lo cual $\hat{e}_\theta=-\sin\,\theta\,\hat{i}+\cos\,\theta\,\hat{j} \quad (3)$

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Comprobamos que los vectores de la nueva base son ortogonales. En efecto, $\vec{e}_r \cdot \vec{e}_\theta = (\cos\,\theta\,\hat{i}+\sin\,\theta\,\hat{j})\cdot (-\sin\,\theta\,\hat{i}+\cos\,\theta\,\hat{j})=\cos\,\theta\,(-\sin\,\theta)\,\hat{i}\cdot \hat{i}+\cos\,\theta\,(\cos\,\theta)\,\hat{i}\cdot \hat{j}+$ $+\sin\,\theta\,(-\sin\,\theta)\,\hat{j}\cdot \hat{i}+\sin\,\theta\,(\cos\,\theta)\,\hat{j}\cdot \hat{j}=\cos\,\theta\,(-\sin\,\theta)+\sin\,\theta\,(\cos\,\theta)=0$, ya que $\hat{i} \perp \hat{j}$ y $|\hat{i}|=|\hat{j}|=1$.

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Ahora, vamos a expresar $\hat{i}$ y $\hat{j}$ en función de los vectores de la nueva base (cambio de base): $\hat{e}_r$ y $\hat{e}_\theta$: multiplicando sendos miembros de (2) por $\cos\,\theta$ y los dos de (3) por $\sin\,\theta$, y sumando las dos igualdades que se obtienen, se llega a $$\hat{i}=\cos\,\theta\,\hat{e}_r-\sin\,\theta\,\hat{u}_\theta$$ y multiplicando los dos miembros de (2) por $\sin\,\theta$, y sendos miembros de (3) por $\cos\,\theta$, y sumando las dos igualdades resultantes, se llega a $$\hat{j}=\sin\,\theta\,\hat{e}_r+\cos\,\theta\,\hat{u}_\theta$$

Por consiguiente, ya podemos dar el vector de posición en coordenadas esféricas. Por lo dicho en el primer párrafo, $\vec{r}=r(\,\cos\,\theta\,\hat{i}+\,\sin\,\theta\,\hat{j})\overset{(2)}{=}r\,\hat{e}_r$

Expresemos ahora el vector velocidad en coordenadas esféricas. $$\vec{v}=\dfrac{d\vec{r}}{dt}=\dfrac{d\,(r\,\hat{e}_r)}{dt}=\dot{r}\,\hat{e}_r+r\,\dfrac{d\,\hat{e}_r}{dt} \quad (4)$$ donde $$\dfrac{d\,\hat{e}_r}{dt}=\dfrac{\partial\,\hat{e}_r}{\partial\,r}\,\dfrac{d\,r}{dt}+\dfrac{\partial\,\hat{e}_r}{\partial\,\theta}\,\dfrac{d\,\theta}{dt}=\vec{0}\,\dot{r}+(-\sin\,\theta\,\hat{i}+\cos\,\theta\,{j})\,\dot{\theta}\overset{(3)}{=}\dot{\theta\,}\hat{e}_\theta \quad (5)$$ con lo cual (4) nos queda: $$\vec{v}=\dot{r}\,\hat{e}_r+r\,\dot{\theta}\,\hat{e}_\theta \quad (6)$$

Y ahora, el vector aceleración:
$$\vec{a}=\dfrac{d\vec{v}}{dt}=\dfrac{d(\dot{r}\,\hat{e}_r+r\,\dot{\theta}\,\hat{e}_\theta)}{dt}=\ddot{r}\,\hat{e}_r+\dot{r}\,\dfrac{d\,\hat{e}_r}{dt}+\dot{r}\,\dot{\theta}\,\hat{e}_\theta=r\,\ddot{\theta}\,\hat{e}_\theta+r\,\dot{\theta}\,\dfrac{d\,\hat{u}_\theta}{dt} \quad (7)$$ donde $$\dfrac{d\,\hat{e}_\theta}{dt}=\dfrac{\partial\,\hat{e}_\theta}{\partial\,\theta}\,\dfrac{d\,\theta}{dt}+\dfrac{\partial\,\hat{e}_r}{\partial\,\theta}\,\dfrac{d\,\theta}{dt}=-(\cos\,\theta\,\hat{i}+\sin\,\theta\,{j})\,\dot{\theta}+\vec{0}\,\dot{\theta}\overset{(2)}{=}-\dot{\theta}\,\hat{e}_r \quad (9)$$ Así pues, agrupando términos con el correspondiente versor, (7) nos queda $$\vec{a}=\left( \ddot{r}-r\,(\dot{\theta)^2}\right)\,\hat{u}_r+\left(r\,\ddot{\theta}+2\,\dot{r}\,\dot{\theta}\right)\,\hat{u}_\theta \quad (10)$$

Y, para acabar, expresomos la energía cinética en coordenadas polares:
$T=\dfrac{1}{2}\,m\,(|\vec{v}|)^2=\dfrac{1}{2}\,m\,\vec{v}\cdot \vec{v}\overset{(4)}{=}\dfrac{1}{2}\,m\,\left( \dot{r}\,\hat{e}_r+r\,\dot{\theta}\,\hat{e}_\theta \right)\cdot \left( \dot{r}\,\hat{e}_r+r\,\dot{\theta}\,\hat{e}_\theta\right)\overset{\hat{e}_r \perp \hat{e}_\theta\,,\,|\hat{e}_r|=|\hat{e}_\theta|=1}{=}$
  $=\dfrac{1}{2}\,m\left(\,(\dot{r)^2}+(r\,\dot{\theta)^2}\right) \quad (11)$
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Referencias:

  [1] M.R. Spiegel; L. Abellanas, Fórmulas y tablas de matemática aplicada, McGraw-Hill, Madrid, 1993.
  [2] M.R. Spiegel, Mecánica teórica, McGraw-Hill, Mexico, 1976.