En muchas ocasiones interesa expresar la medida de magnitud (potencia, tensión, intensidad eléctrica, intensidad sonora, etcétera) en relación a un nivel de referencia de la misma, pudiendo manejar así una cantidad adimensional. Ello tiene sus ventajas, por diversas razones; una de las más importantes es el poder expresar dicha medida relativa en una escala numérica manejable, con nuúmeros que no sean ni muy grandes ni muy pequeños si, por contra, estos aparecieran directamente en la medida de la magnitud. Una forma de conseguirlo es utilizar el logaritmo de la razón de la medida abasoluta y la medida de referencia; a lo que resulta se le denomina bel, en honor a Alexander Graham Bell (1847-1922). De esta manera, podemos expresar la ganancia o la atenuación en una cierta magnitud a la salida de un cierto sistema (medio o dispositivo) con respecto al nivel de la misma en la entrada.
Se define entonces el belio (B) como la unidad adimensional de medida de una magnitud $\mathcal{X}$, que, en un momento dado, tome un cierto valor $x_1$, y ello con respecto a un valor convenido de la misma, $x_0$, utilizando el logaritmo decimal de la razón $\dfrac{x_0}{x_1}$, al que denominaremos $L_B$. Así, $$L_B:=\log_{10}\,\dfrac{x_1}{x_0}$$ con lo cual $x_1=x_0\,10^{L_B}$; en particular si $x_1=x_0$, entonces la ganancia/atenuación, es de $L_B=0$ B, ya que $1=10^0$, o lo que es lo mismo $L_B=0=\log_{10}\,1$. Notemos además que si se da un incremento (positivo), $x_1\gt x_0$, entonces $L_B>0$; y, en el caso de darse un decremento, si $x_1\lt x_0$, entonces $L_B\lt 0$.
Comunmente, a efectos prácticos, se utiliza del decibel (dB) en lugar del bel (B) con el mismo propósito que acabo de exponer (tener una expresión de una medida relativa a un nivel de referencia de la misma magnitud): $1\,\text{B}=10\,\text{dB}$, con lo cual podemos escribir que la medida relativa en decibelios de $x_1$ con respecto a $x_0$ es $$L_{dB}:=10\cdot \log_{10}\,\dfrac{x_1}{x_0}$$ y por tanto $$x_1=x_0 \cdot 10^{L_{dB}/10}=x_0\,10^{L_{B}}$$
En determinadas situaciones, tratando con fenómenos ondulatorios, en las que describimos qué ocurre con la energía, y sabiendo que ésta es proporcional al cuadrado de la amplitud de onda (sonido, corrientes y tensiones en un circuito eléctrico o electrónico, etcétera), resulta que la ganancia/atenuación en energía expresada en decibelios, tal como se ha expuesto, viene dada por $10\cdot \log_{10}\,\dfrac{a_{1}^2}{a_{0}^2}$, siendo $a_1$ y $a_0$ los valores de las amplitudes; esto es, como $10\cdot \log_10\,\left(\dfrac{a_1}{a_0}\right)^2=2\cdot 10 \log_{10}\,\dfrac{a_1}{a_0}=20\,\log_{10}\,\dfrac{a_1}{a_0}$. Por ello, solemos escribir $$G_{dB}=20\,\log_{10}\,\dfrac{a_1}{a_0}$$
A menudo, conviene fijar la cantidad de referencia $x_0$ (o $a_0$); por ejemplo, tratándose de la potencia ($P$), si establecemos que $p_0=1\,\text{mW}$, entonces convenimos en escribir $L_{dBmW}=10\cdot \log_{10}\,\dfrac{p_1}{1}$. Así, si $p_1=p_0=1\,\text{mW}$ (no hay variación en la salida con respecto a la entrada), tenemos que $L_{dBmW}=10\cdot \log_{10}\,1=0\,\text{dBmW}$.
Por tanto, para un cierto valor fijado de la magnitud de entrada (en este caso se trata de la potencia eléctrica), $p_0$, y dado un valor de la ganancia/atenuación expresado en decibelios, podemos determinar el valor de la magnitud de salida (poténcia de salida), $p_1$, en términos absolutos. Por ejemplo, una variación de la potencia de salida (con respecto a la de entrada), pongamos que de $p_1=2\,\text{dBmW}$, esto es, $p_1=2\,\text{dBmW}$ superior a $0\,\text{dBmW}$, significa que $2=10\,\log_{10}\,\dfrac{p_1}{1}$ y por tanto, tendremos que el valor de la potencia de salida es $p_1=10^{\frac{2}{10}}\,\text{mW}\approx 1,6\,\text{mW}$.
Podemos hacer lo propio, especificando la unidad de referencia de la magnitud que estemos tratando, con lo cual tratermos de $\text{dBV}$ (para la tensión eléctrica expresada en voltios), $\text{dBmV}$ (expresándola en milivolotios); $\text{dBHz}$ (si tratamos con la frecuencia, expresada en hercios), etcétera.$\diamond$
Caso de la percepción del sonido por el oído humano. La sonoridad
Se sabe que la intensidad acústica —véase el siguiente artículo en este mismo blog: Algunas cosas básicas sobre los fenómenos ondulatorios— que el oído humano es capaz de percibir se encuentra en el intervalo $\left(10^{-12}, 1\right)\, \dfrac{\text{W}}{\text{m}^2}$. Por debajo del extremo inferior, $I_0=10^{-12}$, no se percibe ninguna sensación acústica; y, por encima, del extremo superior, $1\,\dfrac{\text{W}}{\text{m}^2}$ se producen daños en el aparato auditivo.
Al objeto de cuantificar la sensación auditiva se define la magnitud adimensional sonoridad, que se relaciona con la intensidad acústica de las ondas incidentes en el oído según la ley de Weber-Fechner: $S=10\,\log_{10}\,\dfrac{I}{I_0}$ (recordemos que $I_0$ es la intensidad umbral de sensación auditiva) —nótese que esta magnitud adimensional, la sonoridad, viene dada en decibelios al estar definida mediante el logaritmo de la razón de dos magnitudes, que en este caso son las intensidades—. Puede entenderse de dicha dependencia entre la sonoridad y la intensidad acústica que la primerqa varía de manera lineal, si se hace variar la intensidad acústica de forma exponencial.
Se sabe que la sonoridad depende de la frecuencia del sonido: la máxima sensibilidad en el aparato auditivo humano corresponde a una frecuencia de unos $3000\,\text{Hz}$. La sensibilidad acústica del oído humano disminuye por debajo y por encima de dicha frecuencia; por debajo de $20\,text{Hz}$ ya no se percibe ningún sonido, y tampoco por encima de $20\,000\,\text{Hz}$.
Ejemplo de cálculo con sonoridades
Dos personas, $A$ y $B$, se sitúan sobre una recta perpendicular a un muro $M$, que refleja las ondas de sonido. La distancia entre las dos personas es de $10\,\text{m}$. La persona $A$ es la más próxima al muro. Al llamar $B$ a $A$, la persona $A$ escucha el mensaje con una sonoridad de $20\,\text{dB}$, y, a su vez debería escuchar también el sonido reflejado en $M$. Nos preguntamos: ¿a qué distancia de $A$ debería estar el muro $M$ para que $A$ no percibiese el eco que da el muro?.
Denotemos por $I_{A}$ la intensidad acústica que le llega directamente del mensaje emitido por $B$. Entonces, según los datos, podemos escribir que $20=10\,\log_{10}\,\dfrac{I_{A}}{10^{-12}}$, luego $\dfrac{I_A}{10^{-12}}=10^{20/10}$, esto es, $I_A=10^{-10}\cdot 10^2=10^{-10}\,\dfrac{\text{W}}{\text{m}^2}$
Ahora designemos por $I_{A}^{eco}$ la intensidad acústica que a $A$ le llega del eco en $M$ (además de la señal directa de $B$) y que también, en principio, percibiría. Designemos por $\ell$ la distancia entre $A$ y el muro $M$; entonces la señal que se refleja en $M$ ha de recorrer una distancia igual a $2\ell$ hasta llegar a $A$. Por tanto, según la relación entre las intensidades y las distancias, podemos escribr que $\dfrac{I_{A}^{eco}}{I_A}=\left(\dfrac{10}{10+2\ell}\right)^2$.
Ya hemos calculado el valor de la intensidad acústica que llega a $A$, $I_A=10^{-10}\,\dfrac{\text{W}}{\text{m}^2}$. Ahora, al suponer que la distancia $\ell$ (entre $A$ y el muro $M$) sea tal que $A$ no perciba el eco, se tiene que $I_{A}^{eco}=10^{-12}$ (intensidad umbral de sensibilidad acústica), por lo que $\dfrac{10^{-12}}{10^{-10}}=\left(\dfrac{10}{10+2\ell}\right)^2$. Resolvamos esta ecuación en $\ell$: $$10^{-2}=\left( \dfrac{10}{10+2\ell}\right)^2$$ luego $$10^{1}=\dfrac{10+2\ell}{10} \Rightarrow \ell=45\,\text{m}$$ Por tanto, si la distancia entre el muro y $A$ es igual o superior a este valor, $A$ no percibirá el eco.$\diamond$
Referencias:
[1] vv.aa., Decibel, Wikipedia [https://ca.wikipedia.org/wiki/Decibel], 2022.
[2] M. Labajos, Iniciación al estudio de la Biofísica, Anaya, Madrid, 2005.
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