En el artículo anterior expuse cómo expresar la energía cinética en coordenadas polares (en el plano euclídeo $\mathbb{R}^2$. En éste, simplemente voy a reseñar las expresiones que se obtienen para la energía cinética empleando coordenadas cilíndricas $(r,\theta,z)$ —$\theta$ es aquí el ángulo azimutal— y esféricas $(r,\theta,\Phi)$ —$\phi$ es ahora el ángulo polar y $\theta$ el ángulo azimutal—en el espacio euclídeo $\mathbb{R}^3$. Estas expresiones son de enorme utilidad a la hora de montar la función lagrangiana y la f. hamiltoniana en determinados problemas en los que evitar el empleo de las coordenadas cartesianas simplifica muchos cálculos. El procedimiento para obtener los resultados es análogo al del plano eucídeo en coordenadas polares. Animo a las personas lectoras a seguir todos los pasos del desarrollo.

Expresión de la energía en coordenadas cilíndricas

$$T=\dfrac{1}{2}\,m\,\left(\dot{r}^2+(r\,\dot{\theta})^2+\dot{z}^2\right)$$ Nota: Observemos que si $z=0$ nos restringimos a un plano (dos dimensiones), y por tanto recuperamos la expresión de la energía cinética en polares: $T=\dfrac{1}{2}\,m\left(\,(\dot{r)^2}+(r\,\dot{\theta)^2}\right)$.

Expresión de la energía en coordenadas esféricas

$$T=\dfrac{1}{2}\,m\,\left(r^2\,(\dot{\theta}^2+\phi^2\,\sin^2\,\theta)+\dot{r}^2\right)$$ Nota: Observemos que si $\theta=0$ nos restringimos a un plano (dos dimensiones), y por tanto recuperamos la expresión de la energía cinética en polares: $T=\dfrac{1}{2}\,m\left(\,(\dot{r)^2}+(r\,\dot{\theta)^2}\right)$.

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Referencias:

  [1] M.R. Spiegel; L. Abellanas, Fórmulas y tablas de matemática aplicada, McGraw-Hill, Madrid, 1993.
  [2] M.R. Spiegel, Mecánica teórica, McGraw-Hill, Mexico, 1976.