Valores eficaces de la intensidad y de la tensión en corriente alterna

Las magnitudes eficaces en corriente alterna son las que medimos con el correspondiente aparato de medida. Dicha medida representa el valor medio de las variaciones de la correspondiente magnitud en un periodo. Vamos a justificar que la intensidad eficaz, $I_e$, es igual a la intensidad nominal, $I_0$, dividida por $\sqrt{2}$, y que la tensión eficaz es igual a la tensión nominal dividida por dicho factor.

Consideremos un conductor de resistencia $R$ recorrido por una corriente alterna $I(t)=I_0\,\sin(wt)$, donde $w=\dfrac{2\pi}{T}$, siendo $T$ el periodo. Entonces la energía media disipada (por efecto Joule) en un periodo es $\displaystyle \langle E \rangle:=\dfrac{1}{T}\,\int_{0}^{T}\,R\,(I(t))^2\,dt$, y, por tanto, $\displaystyle \langle E \rangle=\dfrac{1}{T}\,\int_{0}^{T}\,R\,I_{0}^{2}\,\sin^2\,(wt)\,dt=\dfrac{R\,I_{0}^{2}}{T}\,\int_{0}^{T}\,\sin^2\,(wt)\,dt\overset{[2]}{=}\dfrac{R\,I_{0}^{2}}{T}\,\left[ \dfrac{t}{2} - \dfrac{\sin(2wt)}{4w} \right]_{0}^{T}=$
  $\displaystyle = \dfrac{R\,I_{0}^{2}}{T}\,\left( \dfrac{T}{2} - \dfrac{\sin\,(2\,w\,T)}{4w} \right) - (0-0)\overset{w=2\pi/T}{=} \dfrac{R\,I_{0}^{2}}{T}\,\left( \dfrac{T}{2} - \dfrac{\sin\,(4\,\pi)}{4w} \right)=\dfrac{R\,I_{0}^{2}}{T}\,\left( \dfrac{T}{2} - 0 \right)=\dfrac{R\,I_{0}^{2}}{2}$

Esta energía media disipada, $\langle E \rangle$, es la equivalente a la que se disiparía si el conductor fuese recorrido por una corriente continua $I_e$ (intensidad eficaz) en lugar de ser recorrido por una intensidad alterna $I(t)=I_0\,\sin(wt)$ (véase [1]), por tanto cabe establecer la igualdad $$R\,I_{e}^2=\dfrac{R\,I_{0}^{2}}{2}$$ de lo cual se deduce que, despejando $I_e$ del primer miembro: $$I_e=\dfrac{I_0}{\sqrt{2}}$$

Veamos ahora la expresión para la tensión eficaz. Teniendo en cuenta que $\langle E \rangle := V_e\,I_e =\dfrac{1}{2}\,R\,I_{0}^2=\dfrac{1}{2}\,V_0\,I_0 \quad (1)$ y que acabamos de ver que $I_e=\dfrac{I_0}{\sqrt{2}}$, de (1) se tiene que $$V_e\,\dfrac{I_0}{\sqrt{2}}=\dfrac{1}{2}\,V_0\,I_0$$ y por tanto $$\dfrac{1}{\sqrt{2}}\,V_e=\dfrac{1}{2}\,V_0$$ con lo cual $$V_e=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\,I_e=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\,V_0$$ $\diamond$

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Referencias:

  [1] J.M. Vidal, Curso de Física, Grafesa, Barcelona, 1974.
  [2] M. Spiegel; L. Abellanas, Fórmulas y tablas matemáticas, McGraw-Hill, Madrid, 1988.
  [3] P. Alcalde, Electrotecnia, Paraninfo, Madrid, 2020.