Dos cuerpos de masa similar girando alrededor del centro de masas común. Se presupone en este ejercicio que, como caso particular, dichas órbitas son circulares

En el problema de los dos cuerpos que interaccionan gravitatoriamente, a menudo se hace la aproximación de que uno de ellos es mucho más masivo que el otro; de esta manera, el problema se simplifica, pues se puede considerar que el cuerpo menos masivo gira alrededor del (mucho más) masivo. Dicho de otro modo: el centro de masas del sistema formado por los dos cuerpos se sitúa con suficiente aproximación en la posición del cuerpo más masiva. Ahora bien, si la masa de los dos cuerpos es similar, la aproximación ya no es válida. En este ejercicio, vamos a abordar esta situación.

Consideremos dos cuerpos de masas similares, $m_1$ y $m_2$, separados por una distancia $d$ (distancia entre centros) cuando dichos cuerpos están alineados. Debido a la gravitación, estos dos cuerpos giran ambos alrededor del centro de masas común, describiendo sendas órbitas cerradas, que, para no complicar las cosas, supodremos que son circulares (en general, son elípticas), con periodos respectivos, $T_1$ y $T_2$. Pues bien, queremos calcular la razón entre las masas y, también, la razón de dichos periodos en función de las masas.

Para determinar la coordenada $x$ de la posición del punto que corresponde al centro de masas común, tenemos en cuenta que, cuando los cuerpos están alineados, dicho punto se sitúa entre los dos cuerpos, de tal manera que, por ponderación, su distancia al cuerpo de masa $m_1$ (medida desde éste) es $x_1=\dfrac{m_1}{m_1+m_2}\,d \quad (1)$, cantidad que, por tanto, es el radio de la órbita del cuerpo de masa $m_1$ alrededor de dicho centro de masas común. Y, por lo que respecta al cuerpo de masa $m_2$, su distancia al centro de masas común (medida desde este cuerpo) es, por consiguiente, $x_2=d-\dfrac{m_1}{m_1+m_2}\,d=\left(1-\dfrac{m_1}{m_1+m_2}\right)\,d=\dfrac{m_2}{m_1+m_2}\,d\quad (2)$; dicha cantidad es, desde luego, el radio de la respectiva órbita circular que describe este segundo cuerpo alrededor de ese centro de masas común.

Dividiendo miembro a miembro $(1)$ entre $(2)$ se obtiene que, como era de esperar, $$\dfrac{x_1}{x_2}=\dfrac{m_1}{m_2}$$

Demos respuesta ahora a la segunda cuestión. Para el cuerpo de masa $m_1$, según la ley de la gravitación newtoniana, y, por la segunda ley de Newton, podemos escribir que $G\,\dfrac{m_1\,m_2}{x_{1}^2}=m_1\,\dfrac{v_{1}^2}{x_1}$, esto es, $G\,\dfrac{m_2}{x_{1}^2}=\dfrac{v_{1}^2}{x_1} \quad (3)$, y teniendo en cuenta que $v_1=\dfrac{2\,\pi\,x_1}{T_1} \quad (4)$, sustituyendo $(4)$ en $(3)$ y despejando $x_1$, se tiene que $x_1=\sqrt[3]{\dfrac{G\,m_2}{4\,\pi^2}\,T_{1}^2}$, donde $k_1=\dfrac{G\,m_2}{4\,\pi^2}$ es la constante de proporcionalidad que aparece en la tercerca ley de Kepler para el cuerpo de masa $m_1$, $x_{1}^3 \propto T_{1}^2$. Entonces, teniendo en cuenta $(1)$: $\dfrac{m_1}{m_1+m_2}\,d=\sqrt[3]{k_1\,T_{1}^2}$, con lo cual, depejando $T_1$ obtengo: $$T_1= \sqrt{ \dfrac{1}{k_1}\left( \dfrac{m_1\,d}{(m_1+m_2)}\right)^3 }=\sqrt{ \dfrac{4\,\pi^2}{G\,m_2}\left( \dfrac{m_1\,d}{(m_1+m_2)}\right)^3 } \quad (7)$$

Razonando de manera análoga para el cuerpo de masa $m_2$, y teniendo en cuenta ahora que $k_2=\dfrac{G\,m_1}{4\,\pi^2}$ es la constante de proporcionalidad que aparece en la tercerca ley de Kepler para el cuerpo de masa $m_2$, $x_{2}^3 \propto T_{2}^2$, resulta: $$T_2= \sqrt{ \dfrac{1}{k_2}\left( \dfrac{m_2\,d}{(m_1+m_2)}\right)^3 }=\sqrt{ \dfrac{4\,\pi^2}{G\,m_1}\left( \dfrac{m_2\,d}{(m_1+m_2)}\right)^3 } \quad (8)$$

Dividiendo miembro a miembro $(7)$ entre $(8)$ se obtiene (y simplificando la expresión resultante): $$\dfrac{T_1}{T_2}=\sqrt{\left(\dfrac{m_1}{m_2}\right)^4}$$ es decir $$\dfrac{T_1}{T_2}=\left( \dfrac{m_1}{m_2} \right)^2$$

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