Órbitas elípticas. Razones de varias magnitudes entre el afelio y el perihelio

Se considera un satélite de masa $m$ en órbita elíptica alrededor de un planeta de masa $M$. El perihelio es el punto más cercano al planeta, situado en el eje mayor de la elipse, y el afelio, también situado en el eje mayor, es el punto más alejado del planeta. La razón entre los módulos de los radios vectores del afelio, $A$, y del perihelio, $P$, es $\dfrac{r_A}{r_P}=k$, con $k\gt 1$. Se pide que calculemos la razón entre los módulos de la velocidad del satélite entre el afelio y el perihelio; y también, la razón entre las energías cinéticas, las energías potenciales y las energías mecánicas entre dichos puntos.

Situemos el origen del sistema de referencia en la posición del planeta (uno de los focos de la elipse). Al tratarse de un sistema de fuerzas centrales, en cada punto de la órbita, el vector de posición $\vec{r}$ y y el vector fuerza $\vec{F}$ tienen la misma dirección y sentidos opuestos, se tiene pues que en todos los puntos de la órbita $\vec{M}:=\vec{r}\times \vec{F}=\vec{0}$, luego por el teorema de conservación del momento angular tiene el mismo valor en todos los puntos de la órbita, luego en el afelio y en el perihelio $\vec{L}_A=\vec{L}_P \quad (1)$, siendo $\vec{L}:=\vec{r}\times m\,\vec{v}$. Además, sabemos que en dichos puntos (afelio y perihelio), $\vec{r}_A\perp \vec{v}_A$ y $\vec{r}_P\perp \vec{v}_P$, por lo que de $(1)$ se tiene que la igualdad entre los módulos de los momentos angulares en esos puntos se escribe de la forma $m\,r_A\,v_A=m\,r_P\,v_P$, y simplificando, $r_A\,v_A=r_P\,v_P$, luego $\dfrac{v_A}{v_P}=\dfrac{r_P}{r_A}=\dfrac{1}{k}$. Notemos, por tanto que $v_P=k\,v_A \gt v_A \because k\gt 1$

La razón entre las energías cinéticas en el afelio y el perihelio es $$\dfrac{\frac{1}{2}\,m\,v_{A}^{2}}{\frac{1}{2}\,m\,v_{P}^{2}}=\left(\dfrac{v_A}{v_P}\right)^2=\left( \dfrac{1}{k} \right)^2$$ y la razón entre las energías potenciales en esos dos puntos $$\dfrac{-G\,\frac{M\,m}{r_A}}{-G\,\frac{M\,m}{r_P}}=\dfrac{r_P}{r_A}=\dfrac{1}{k}$$ Por otra parte, como la energía mecánica, $E$, que es la suma de la energía cinética y la e. potencial, se conserva en todos los puntos de la órbita, con lo cual, en particular, al ser la misma en el afelio que en el perihelio, $E_A=E_P$, y así podemos decir que $\dfrac{E_A}{E_P}=1$.

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