En corriente alterna trifásica, la tensión entre cada una de las fases, $L_1,L_2,L_3$, y el neutro, $N$, es igual a $\sqrt{3}$ veces la tensión entre cada una de las respectivas fases y el neutro ($V_3,V_2$ y $V_1$); esto es $V_2-V_1=\sqrt{3}\,V_2=\sqrt{3}\,V_1$; $V_3-V_1=\sqrt{3}\,V_3=\sqrt{3}\,V_1$; $V_3-V_2=\sqrt{3}\,V_3=\sqrt{3}\,V_2$. Veamos como se puede justificar este hecho.
En corriente alterna trifásica, la tensión (y la intesidad) entre dos fases tiene un desfase de $120^{\circ}$ (o de $\dfrac{2}{3}\,\pi$ radianes); entonces, podemos escribir las tensiones entre cada una de las fases y el neutro de la forma $V_1(t)=V_0\,\sin(wt)$, $V_2(t)=V_0\,\sin\left(wt+\dfrac{2}{3}\,\pi\right)$ y $V_3(t)=V_0\,\sin\left(wt+\dfrac{4}{3}\,\pi\right)$, siendo $V_0$ la amplitud de la tensión (o tensión nominal).
Entonces, $V_{21}:=V_2-V_1=V_0\,\sin\left(wt+\dfrac{2}{3}\,\pi\right)-V_0\,\sin(wt)=V_0\,\left( \sin\left(wt+\dfrac{2}{3}\,\pi\right)-\sin(wt)\right)=$
$\overset{\text{i.t.:}\; \sin\,A-sin\,B=2\,\cos((A+B)/2)\cdot \sin((A-B)/2)}{=} 2\,V_0\,\cos\,\left( \dfrac{wt+2\pi/3+wt}{2}\right) \cdot \sin\,\left( \dfrac{wt+2\pi/3-wt}{2} \right)=$
$=2\,V_0\,\cos\,\left( \dfrac{2\,w\,t+2\pi/3}{2}\right) \cdot \sin\,\left( \dfrac{2\pi/3}{2} \right)=2\,V_0\,\cos\,(w\,t+\pi/3) \cdot \sin\,( \pi/3 )=2\,\dfrac{\sqrt{3}}{2}\,\cos(w\,t+\pi/3)$
Por tanto, $$V_{21}=\sqrt{3}\,V_0\,\cos\left(w\,t+\dfrac{\pi}{3}\right)$$ luego la amplitud de la tensión alterna $V_{21}$ es $\sqrt{3}$ veces la amplitud de la tensión entre cualquiera de estas dos fases y el neutro $$V_{{21}_{0}}=\sqrt{3}\,V_0$$ y lo mismo se puede decir en cuanto a las otras dos diferencias, vemos que $$V_{{21}_{0}}=V_{{31}_{0}}=V_{{32}_{0}}=\sqrt{3}\,V_0$$ tal como se quería demostrar.
Nota: Mediante una hoja de cálculo podemos comprobar fácilmente la aparición del factor $\sqrt{3}$, aunque ya hayamos demostrado el porqué del mismo: basta poner valores de las tres funciones sinusoidales, desfasadas $120^{\circ}$ unas respecto de otras y restarlarlas de dos en dos en otras tres columnas, para constatar que la amplitud de esas tres es $\sqrt{3}$ veces las de las tres primeras columnas.
Desde luego, la misma relación hay entre los valores eficaces (recordemos que $V_{1_{e}}=V_{2_{e}}=V_{3_{e}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\,V_0$) de las tensiones: $$V_{{21}_{\text{e}}}=V_{{31}_{\text{e}}}=V_{{32}_{\text{e}}}=\sqrt{3}\,V_{0_{\text{e}}}$$
Comentario: En las instalaciones monofásicas en España, la tensión eficaz normalizada entre la (única) fase y el neutro es $V_e=230\,\text{V}$. En instalaciones trifásicas, la tensión eficaz normalizada entre fase y neutro es, también, $V_{e}=230\,\text{V}$, con lo cual las tensiones entre fases son $V_{{21}_{\text{e}}}=V_{{31}_{\text{e}}}=V_{{32}_{\text{e}}}=\sqrt{3}\cdot 230 \approx 400\,\text{V}$. bSin embargo, aún quedan instalaciones trifásicas antiguas cuyas tensiones entre fase y neutro son de $220\,\text{V}$; en esos casos, $V_{{21}_{\text{e}}}=V_{{31}_{\text{e}}}=V_{{32}_{\text{e}}}=\sqrt{3}\cdot 220 \approx 380\,\text{V}$. $\diamond$
Referencias:
[1] P. Alcalde, Electrotecnia, Paraninfo, Madrid, 2020.
[2] J.M. Vidal, Curso de Física, Grafesa, Barcelona, 1974.
