Energía mecánica en órbitas circulares

Consideremos un satélite de masa $m$ en una órbita circular, de radio $r$, alrededor de un planeta de masa $M$, ¿cómo podemos calcular la energía mecánica en cualquier punto de la órbita?

La energía mecánica, $E_m$, es la suma de la energía cinética, $E_{c}=\dfrac{1}{2}\,m\,v^2$ ($v$ es el módulo de la velocidad del satélite, y tiene el mismo valor en cualquier punto de la órbita circular), y de la energía potencial, $U=-G\,\dfrac{m\,M}{r}$. En ausencia de fuerzas disipativas, la energía mecánica se conserva, esto es, es la misma en cualquier punto de la órbita.

Por la segunda ley de Newton, se tiene que en cualquier punto de la órbita: $G\,\dfrac{m\,M}{r^2}=m\,\dfrac{v^2}{r}$, luego $m\,v^2=G\,\dfrac{m\,M}{r}$, por lo que la energía cinética puede expresarse de la forma $E_{c}= G\,\dfrac{m\,M}{2\,r}$. Pues bien, así, podemos escribir la energía mecánica como: $$E_m:=U+E_c=-G\,\dfrac{m\,M}{r}+G\,\dfrac{m\,M}{2\,r}=-G\,\dfrac{m\,M}{2\,r}\lt 0$$ El que esta cantidad sea negativo se explica por el hecho de que la órbita es cerrada.

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Observación 1:
Si variamos la altura del satélite, la energía mecánica de las respectivas órbitas es función del opuesto del inverso de la altura de la órbita; su gráfica corresponde a una hipérbola:

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Observación 2:
Por otra parte, el trabajo necesario, $W$, esto es, la cantidad de energía con la que debe contarse para poner en órbita un satélite, ha de ser igual a la diferencia entre la energía mecánica en la órbita en la que se le quiera situar y la energía mecánica del satélite en el punto de lanzamiento del planeta (antes del lanzamiento): $W=E_{m_{\text{final}}}-E_{m_{\text{inicial}}}=-G\,\dfrac{m\,M}{2\,r}- \left(-G\,\dfrac{m\,M}{r_P}+0\right) =G\,\dfrac{m\,M}{r_P}- G\,\dfrac{m\,M}{2\,r} = G\,m\,M\cdot \left( \dfrac{1}{r_P}-\dfrac{1}{r}\right) \gt 0$, ya que, como $r\gt r_P$ (siendo $r_P$ el radio de la superficie del planeta, en el punto de lanzamiento), $\dfrac{1}{r_P} \gt \dfrac{1}{r}$ y, por tanto, $\dfrac{1}{r_P} - \dfrac{1}{r}\gt 0$. Por consiguiente, cuánto menor sea la altura de la órbita menor es la energía que deberemos suministrar en el lanzamiento para que el satélite alcance dicha órbita.

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Nota (velocidad de escape):
En particular, si se desea lanzar desde un planeta un cuerpo a velocidad de escape, como la energía mecánica final es $0$, el trabajo (la cantidad de energía que debemos suministrar) que hay que realizar es —ojo, que, desde luego, en este problema, la velocidad inicial no es cero—: $$W=E_{m_{\text{final}}}-E_{m_{\text{inicial}}}=0-\left( -G\,\dfrac{m\,M}{r_P}+\dfrac{1}{2}\,m\,v_{e}^2 \right)$$ de donde, despejando la velocidad (de escape) se obtiene que ésta ha de ser igual a $$v_e=\sqrt{\dfrac{2\,G\,M}{r_P}}$$ En vista de lo cual, es muy importante remarcar que la velocidad de escape de un cuerpo no depende de su masa.

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Una manera sencilla de calcular la masa de una estrella, conociendo la distancia media a la estrella y el periodo orbital de uno de sus planetas

Consideremos un planeta en órbita alrededor de una estrella, que por simplicidad supondremos casi circular (una elipse con muy poca excentricidad), podemos calcular calcular la masa de la estrella, que supondremos que es mucho mayor que la del planeta, permitiendo ello que la aproximación que consiste en situar el centro de masas del sistema en la posición de la estrella sea aceptable. Como datos del problema, disponemos de la distancia media a la estrella y de su periodo orbital. Veamos cómo hacerlo:

Con el planeta, de masa $m$ (como veremos enseguida, no es necesario conocerla para conseguir nuestro propósito) en órbita alrededor de su estrella de masa $M$ desconocida, se tiene que (segunda ley de Newton): $$G\,\dfrac{m\,M}{r^2}=m\,\dfrac{v^2}{r}$$ igualdad que, simplificada, queda de la forma $$G\,\dfrac{M}{r}=v^2 \quad (1)$$ donde $G = 6,67 \times 10^{-11}\,\dfrac{\text{N}\,\text{m}^2}{\text{kg}^2}$ es la constante universal de la gravitación
Y teniendo en cuenta que hemos supuesto (razonablemente) que la órbita es prácticamente circular (la velocidad $v$ del planeta es la misma en todoslos puntos de la órbita), podemos escribir $$v=\dfrac{2\,\pi\,r}{T} \quad (2)$$

Pues bien, sustituyendo $(2)$ en $(1)$: $$G\,\dfrac{M}{d}=\left( \dfrac{2\,\pi\,r}{T} \right)^2$$ de donde, despejando $M$ se llega a: $$M=\dfrac{4\,\pi^2}{G}\cdot \dfrac{r^3}{T^2}$$

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Una aplicación de la tercera ley de Kepler

De acuerdo con la tercera ley de Kepler, que se puede deducir directamente de la teoría de la gravitación de Newton, es posible calcular cosas muy interesantes en un sistema planetario. Por ejemplo, imaginemos un sistema planetario sencillo, formado por tres planetas, cada uno en respectiva órbita, y una estrella (mucho más masiva que cada uno de los tres).

Si hemos medido los períodos de cada planeta, $T_1$, $T_2$ y $T_3$, y conocemos la distancia media de uno de ellos a la estrella, pongamos que $d_1$, la cual se puede haber obtenido (de manera muy asequible para un astrónomo aficionado) por el método de paralaje (disponiendo de la información adicional necesaria), es muy sencillo calcular las distancias medias a la estrella de los otros dos planetas, $d_2$ y $d_3$. Veámoslo:

Según la tercera ley de Kepler, para todo planeta del sistema en órbita alrededor de la estrella, se tiene que $T^2\propto d^3$; por consiguiente, la constante de proporcionalidad es igual a $\dfrac{T_{1}^2}{d_{1}^3}=\dfrac{T_{2}^2}{d_{2}^3}=\dfrac{T_{3}^2}{d_{3}^3}$. Entonces, despejando de esta triple igualdad las distancias medias pedidas, $d_2$ y $d_3$, podemos concluir que: $$d_2=d_1\,\sqrt[3]{\left( \dfrac{T_2}{T_1} \right)^2} \quad \text{y}\quad d_3=d_1\,\sqrt[3]{\left( \dfrac{T_3}{T_1} \right)^2}$$

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Dos cuerpos de masa similar girando alrededor del centro de masas común. Se presupone en este ejercicio que, como caso particular, dichas órbitas son circulares

En el problema de los dos cuerpos que interaccionan gravitatoriamente, a menudo se hace la aproximación de que uno de ellos es mucho más masivo que el otro; de esta manera, el problema se simplifica, pues se puede considerar que el cuerpo menos masivo gira alrededor del (mucho más) masivo. Dicho de otro modo: el centro de masas del sistema formado por los dos cuerpos se sitúa con suficiente aproximación en la posición del cuerpo más masiva. Ahora bien, si la masa de los dos cuerpos es similar, la aproximación ya no es válida. En este ejercicio, vamos a abordar esta situación.

Consideremos dos cuerpos de masas similares, $m_1$ y $m_2$, separados por una distancia $d$ (distancia entre centros) cuando dichos cuerpos están alineados. Debido a la gravitación, estos dos cuerpos giran ambos alrededor del centro de masas común, describiendo sendas órbitas cerradas, que, para no complicar las cosas, supodremos que son circulares (en general, son elípticas), con periodos respectivos, $T_1$ y $T_2$. Pues bien, queremos calcular la razón entre las masas y, también, la razón de dichos periodos en función de las masas.

Para determinar la coordenada $x$ de la posición del punto que corresponde al centro de masas común, tenemos en cuenta que, cuando los cuerpos están alineados, dicho punto se sitúa entre los dos cuerpos, de tal manera que, por ponderación, su distancia al cuerpo de masa $m_1$ (medida desde éste) es $x_1=\dfrac{m_1}{m_1+m_2}\,d \quad (1)$, cantidad que, por tanto, es el radio de la órbita del cuerpo de masa $m_1$ alrededor de dicho centro de masas común. Y, por lo que respecta al cuerpo de masa $m_2$, su distancia al centro de masas común (medida desde este cuerpo) es, por consiguiente, $x_2=d-\dfrac{m_1}{m_1+m_2}\,d=\left(1-\dfrac{m_1}{m_1+m_2}\right)\,d=\dfrac{m_2}{m_1+m_2}\,d\quad (2)$; dicha cantidad es, desde luego, el radio de la respectiva órbita circular que describe este segundo cuerpo alrededor de ese centro de masas común.

Dividiendo miembro a miembro $(1)$ entre $(2)$ se obtiene que, como era de esperar, $$\dfrac{x_1}{x_2}=\dfrac{m_1}{m_2}$$

Demos respuesta ahora a la segunda cuestión. Para el cuerpo de masa $m_1$, según la ley de la gravitación newtoniana, y, por la segunda ley de Newton, podemos escribir que $G\,\dfrac{m_1\,m_2}{x_{1}^2}=m_1\,\dfrac{v_{1}^2}{x_1}$, esto es, $G\,\dfrac{m_2}{x_{1}^2}=\dfrac{v_{1}^2}{x_1} \quad (3)$, y teniendo en cuenta que $v_1=\dfrac{2\,\pi\,x_1}{T_1} \quad (4)$, sustituyendo $(4)$ en $(3)$ y despejando $x_1$, se tiene que $x_1=\sqrt[3]{\dfrac{G\,m_2}{4\,\pi^2}\,T_{1}^2}$, donde $k_1=\dfrac{G\,m_2}{4\,\pi^2}$ es la constante de proporcionalidad que aparece en la tercerca ley de Kepler para el cuerpo de masa $m_1$, $x_{1}^3 \propto T_{1}^2$. Entonces, teniendo en cuenta $(1)$: $\dfrac{m_1}{m_1+m_2}\,d=\sqrt[3]{k_1\,T_{1}^2}$, con lo cual, depejando $T_1$ obtengo: $$T_1= \sqrt{ \dfrac{1}{k_1}\left( \dfrac{m_1\,d}{(m_1+m_2)}\right)^3 }=\sqrt{ \dfrac{4\,\pi^2}{G\,m_2}\left( \dfrac{m_1\,d}{(m_1+m_2)}\right)^3 } \quad (7)$$

Razonando de manera análoga para el cuerpo de masa $m_2$, y teniendo en cuenta ahora que $k_2=\dfrac{G\,m_1}{4\,\pi^2}$ es la constante de proporcionalidad que aparece en la tercerca ley de Kepler para el cuerpo de masa $m_2$, $x_{2}^3 \propto T_{2}^2$, resulta: $$T_2= \sqrt{ \dfrac{1}{k_2}\left( \dfrac{m_2\,d}{(m_1+m_2)}\right)^3 }=\sqrt{ \dfrac{4\,\pi^2}{G\,m_1}\left( \dfrac{m_2\,d}{(m_1+m_2)}\right)^3 } \quad (8)$$

Dividiendo miembro a miembro $(7)$ entre $(8)$ se obtiene (y simplificando la expresión resultante): $$\dfrac{T_1}{T_2}=\sqrt{\left(\dfrac{m_1}{m_2}\right)^4}$$ es decir $$\dfrac{T_1}{T_2}=\left( \dfrac{m_1}{m_2} \right)^2$$

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Órbitas elípticas. Razones de varias magnitudes entre el afelio y el perihelio

Se considera un satélite de masa $m$ en órbita elíptica alrededor de un planeta de masa $M$. El perihelio es el punto más cercano al planeta, situado en el eje mayor de la elipse, y el afelio, también situado en el eje mayor, es el punto más alejado del planeta. La razón entre los módulos de los radios vectores del afelio, $A$, y del perihelio, $P$, es $\dfrac{r_A}{r_P}=k$, con $k\gt 1$. Se pide que calculemos la razón entre los módulos de la velocidad del satélite entre el afelio y el perihelio; y también, la razón entre las energías cinéticas, las energías potenciales y las energías mecánicas entre dichos puntos.

Situemos el origen del sistema de referencia en la posición del planeta (uno de los focos de la elipse). Al tratarse de un sistema de fuerzas centrales, en cada punto de la órbita, el vector de posición $\vec{r}$ y y el vector fuerza $\vec{F}$ tienen la misma dirección y sentidos opuestos, se tiene pues que en todos los puntos de la órbita $\vec{M}:=\vec{r}\times \vec{F}=\vec{0}$, luego por el teorema de conservación del momento angular tiene el mismo valor en todos los puntos de la órbita, luego en el afelio y en el perihelio $\vec{L}_A=\vec{L}_P \quad (1)$, siendo $\vec{L}:=\vec{r}\times m\,\vec{v}$. Además, sabemos que en dichos puntos (afelio y perihelio), $\vec{r}_A\perp \vec{v}_A$ y $\vec{r}_P\perp \vec{v}_P$, por lo que de $(1)$ se tiene que la igualdad entre los módulos de los momentos angulares en esos puntos se escribe de la forma $m\,r_A\,v_A=m\,r_P\,v_P$, y simplificando, $r_A\,v_A=r_P\,v_P$, luego $\dfrac{v_A}{v_P}=\dfrac{r_P}{r_A}=\dfrac{1}{k}$. Notemos, por tanto que $v_P=k\,v_A \gt v_A \because k\gt 1$

La razón entre las energías cinéticas en el afelio y el perihelio es $$\dfrac{\frac{1}{2}\,m\,v_{A}^{2}}{\frac{1}{2}\,m\,v_{P}^{2}}=\left(\dfrac{v_A}{v_P}\right)^2=\left( \dfrac{1}{k} \right)^2$$ y la razón entre las energías potenciales en esos dos puntos $$\dfrac{-G\,\frac{M\,m}{r_A}}{-G\,\frac{M\,m}{r_P}}=\dfrac{r_P}{r_A}=\dfrac{1}{k}$$ Por otra parte, como la energía mecánica, $E$, que es la suma de la energía cinética y la e. potencial, se conserva en todos los puntos de la órbita, con lo cual, en particular, al ser la misma en el afelio que en el perihelio, $E_A=E_P$, y así podemos decir que $\dfrac{E_A}{E_P}=1$.

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