Un ejercicio para determinar el origen de coordenadas del sistema de referencia centro de masas de un sistema de partículas aislado

Tres partículas en reposo, de masas $m$, $2m$ y $3m$ se ubican en los vértices de un triángulo equilátero de lado $\ell$ contenido en un plano -recordemos que, a efectos de los cálculos que vendrán, la amplitud angular de los tres ángulos de un triángulo equilátero es de $60^\circ$ y que los tres lados son de igual longitud-, que denotamos por $A$, $B$ y $C$, respectivamente. Se supone que el sistema está aislado (las fuerzas externas son nulas), por lo que nos interesa calcular la posición del centro de masas del sistema, ya que, eligiendo dicho punto como el centro, $O'$, de ese nuevo sistema de referencia (sistema centro de masas), $\sum'$, el movimiento del sistema será rectilíneo y a velocidad constante (con respecto a dicho sistema centro de masas), o, en particular, nulo (que es el caso que nos ocupa), manteniéndose rígidamente la configuración de las tres partículas, unas con respecto de las otras, en todo instante de tiempo.

Ya sabemos que podemo situar el centro de referencia del sistema laboratorio, $\sum$, en un punto arbitrario; en particular, por comodidad, es conveniente situarlo en la posición del punto $A$, es decir $O\equiv A$. Sabemos que la posición del centro del sistema centro de masas es, desde luego, la del punto centro de masas del sistema de tres partículas,$G$; esto es, $O'\equiv G$, luego $$\vec{r}_{\text{O'}}=\dfrac{m\,\vec{r}_{AA}+2m\,\vec{r}_{AB}+2m\,\vec{r}_{AC}}{m+2m+3m}$$ es decir, $$\displaystyle \vec{r}_{\text{O'}}=\dfrac{m\,\vec{0}+2m\,\left( \frac{\ell}{2}\,\hat{i}+\frac{\sqrt{3}}{2}\,\ell\,\hat{j}\right)+3m\,\ell\,\hat{j}}{m+2m+3m}=\dfrac{\vec{0}+4\,\ell\,\hat{i}+\sqrt{3}\,\ell\,\hat{j}}{6}=\dfrac{2}{3}\,\ell\,\hat{i}+\dfrac{\sqrt{3}}{6}\,\ell\,\hat{j}$$

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Un ejercicio sobre masas relativistas

Queremos calcular la velocidad que debería tener un electrón para que su masa relativista sea igual a la masa en reposo de un protón

Sabemos que la relación entre la masa relativista, $m$, de una partícula, con su masa en reposo, $m_0$, y su velocidad, $v$, viene dada por $$m=\dfrac{m_0}{\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}}\quad (1)$$ donde $c$ es la velocidad de la luz en el vacío, $c\approx 2,998 \times 10^8\,\dfrac{\text{m}}{\text{s}}$

La masa en reposo de un electrón es $m_0=9,109 \times 10^{-31}\,\text{kg}$ y la masa en reposo de un protón es $m_0=1,672 \times 10^{-27}\,\text{kg}$

Entonces, según (1), deberá cumplirse que $$1,672 \times 10^{-27}=\dfrac{9,109 \times 10^{-31}}{\sqrt{1-(\frac{v}{2,998 \times 10^8})^2}}$$ por consiguiente, $$\sqrt{1-(\frac{v}{2,998 \times 10^8})^2}=\dfrac{9,109 \times 10^{-31}}{1,672 \times 10^{-27}}$$ luego $$1-\left(\frac{v}{2,998 \times 10^8}\right)^2=\left(\dfrac{9,109 \times 10^{-31}}{1,672 \times 10^{-27}}\right)^2$$ con lo cual, $$\left(\frac{v}{2,998 \times 10^8}\right)^2=1-\left(\dfrac{9,109 \times 10^{-31}}{1,672 \times 10^{-27}}\right)^2$$ y por tanto, $$\frac{v}{2,998 \times 10^8}=\sqrt{1-\left(\dfrac{9,109 \times 10^{-31}}{1,672 \times 10^{-27}}\right)^2}$$ llegando a, $$v=2,998 \times 10^8 \cdot \sqrt{1-\left(\dfrac{9,109 \times 10^{-31}}{1,672 \times 10^{-27}}\right)^2}$$ Teniendo en cuenta que $\left(\dfrac{9,109 \times 10^{-31}}{1,672 \times 10^{-27}}\right)^2 \sim 10^{-7}$ se tiene que $1\gt 1-\left(\dfrac{9,109 \times 10^{-31}}{1,672 \times 10^{-27}}\right)^2$, aunque es prácticamente igual a $1$, y por consiguiente $c\gt v\approx 2,998 \times 10^8 \,\dfrac{\text{m}}{\text{s}}$

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Ecuaciones de movimiento de un sistema de partículas puntuales

Consideremos un sistema de partículas $\{P_i\}$ ($i=1,\ldots,n$) y $P_2$, de masas respectivas $\{m_i\}$ ($i=1,\ldots,n$). Escribiremos las ecuaciones del movimiento del sistema, conforme a la dinámica newtoniana.

Sobre la partícula genérica $i$-ésima, actúa una fuerza externa $\vec{F}_i$ y una fuerza interna (debida a la acción de las otras partículas) que podemos escribir de la forma $\displaystyle \sum_{\underset{j=1}{j\neq i}}^{n}\,\vec{f}_{ij}$. Entonces, aplicando la segunda ley de Newton sobre cada partícula se tiene que $$\displaystyle \vec{F}_i+\sum_{\underset{j=1}{j\neq i}}^{n}\,\vec{f}_{ij}=m_i\,\ddot{\vec{r}_i}\quad \forall i=1,\ldots,n$$ Y, sumando las $n$ ecuaciones vectoriales, miembro a miembro: $$\displaystyle \sum_{i=1}^{n}\,\vec{F}_i+\sum_{i=1}^{n}(\sum_{\underset{j=1}{j\neq i}}^{n}\,\vec{f}_{ij})=\sum_{i=1}^{n}\,m_i\,\ddot{\vec{r}_i}$$ El primer sumatorio del primer miembro es igual a la fuerza externa resultante, $\vec{F}$, sobre el sistema (principio de superposición); y, en cuanto al sumatorio del segundo miembro referido a las fuerzas internas, teniendo en cuenta la tercera ley de Newton, ha de ser cero, pues éstas se anulan por pares, pues $\vec{f}_{ij}=-\vec{f}_{ji}$, para cada par $(i,j)$; así por ejemplo, par $n=3$,
$\displaystyle \sum_{i=1}^{3}(\sum_{\underset{j=1}{j\neq i}}^{3}\,\vec{f}_{ij})=\vec{f}_{12}+\vec{f}_{13}+\vec{f}_{21}+\vec{f}_{23}+\vec{f}_{31}+\vec{f}_{32}=(\vec{f}_{12}+\vec{f}_{21})+(\vec{f}_{23}+\vec{f}_{32})+(\vec{f}_{13}+\vec{f}_{31})=$   $=\left(\vec{f}_{12}+(-\vec{f}_{12})\right)+\left(\vec{f}_{23}+(-\vec{f}_{23})\right)+\left(\vec{f}_{13}+(-\vec{f}_{13})\right)$
    $=\left(\vec{f}_{12}-\vec{f}_{12}\right)+\left(\vec{f}_{23}-\vec{f}_{23}\right)+\left(\vec{f}_{13}-\vec{f}_{13}\right)$
      $=\vec{0}+\vec{0}+\vec{0}$
        $=\vec{0}$
luego concluimos que $$\displaystyle \vec{F}+\vec{0}=\sum_{i=1}^{n}\,m_i\,\ddot{\vec{r}_i}$$ esto es $$\displaystyle \vec{F}=\sum_{i=1}^{n}\,m_i\,\ddot{\vec{r}_i}$$ Evidentemente, a partir de esta ecuación, conociendo las fuerzas, y las condiciones iniciales, al integrarlas llegaríamos también a conocer las velocidades y las posiciones de cada una de las $n$ partículas del sistema.

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