Una partícula describe el siguiente movimiento circular uniforme: $\vec{r}(t)=-3\,\cos(5t)\hat{i}+0\,\hat{j}+3\,\sin(5t)\,\hat{k}$ (en unidades del SI). Voy a calcular la aceleración tangencial, la aceleración normal, y el radio de curvatura (radio de la circunferencia).
Como el movimiento es cicurlar uniforme, es claro que la aceleración tangencial ha de ser nula ($\vec{a}_T=\vec{0}$); que no así, la aceleración normal, ya que, de ser ésta nula, el movimiento sería rectilíneo.
Comentario: Al ser nula la segunda componente del vector de posición genérico, la trayectoria se inscribe en el plano $Oxz$
Calculo la velocidad y la aceleración: $\vec{v}(t):=\dot{\vec{r}}(t)=15\,\sin(5t)\hat{i}+0\,\hat{j}+15\,\cos(5t)\,\hat{k}$; $\vec{a}(t):=\ddot{\vec{r}}(t)=75\,\cos(5t)\hat{i}+0\,\hat{j}-75\,\sin(5t)\,\hat{k}$
Teniendo en cuenta que $\vec{a}=\vec{a}_{T}+\vec{a}_N$, se tiene que $\vec{a}_N=\vec{a}-\vec{a}_{T}$, y como $\vec{a}_{T}=\vec{0}$, $\vec{a}_N=\vec{a}=75\,\cos(5t)\hat{i}+0\,\hat{j}-75\,\sin(5t)\,\hat{k}$
Además, se sabe que en un movimiento circular, el radio de curvatura es constante, y está relacionado con los módulos de la aceleración normal y de la velocidad de la forma $|\vec{a}_{N}|=\dfrac{(|\vec{v}|)^2}{R}$, por tanto $R=\dfrac{(|\vec{v}|)^2}{|\vec{a}_{N}|}=\dfrac{\left(\sqrt{15^2\,\sin^2\,(5t)+0^2+15^2\,\cos^2(5t)}\right)^2}{\sqrt{75^2\,\cos^2\,(5t)+0^2+75^2\,\sin^2(5t)}}=\dfrac{15^2}{75}=3\,\text{m}$
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