Un caso de movimiento circular

Una partícula describe el siguiente movimiento circular uniforme: $\vec{r}(t)=-3\,\cos(5t)\hat{i}+0\,\hat{j}+3\,\sin(5t)\,\hat{k}$ (en unidades del SI). Voy a calcular la aceleración tangencial, la aceleración normal, y el radio de curvatura (radio de la circunferencia).

Como el movimiento es cicurlar uniforme, es claro que la aceleración tangencial ha de ser nula ($\vec{a}_T=\vec{0}$); que no así, la aceleración normal, ya que, de ser ésta nula, el movimiento sería rectilíneo.

Comentario: Al ser nula la segunda componente del vector de posición genérico, la trayectoria se inscribe en el plano $Oxz$

Calculo la velocidad y la aceleración: $\vec{v}(t):=\dot{\vec{r}}(t)=15\,\sin(5t)\hat{i}+0\,\hat{j}+15\,\cos(5t)\,\hat{k}$; $\vec{a}(t):=\ddot{\vec{r}}(t)=75\,\cos(5t)\hat{i}+0\,\hat{j}-75\,\sin(5t)\,\hat{k}$

Teniendo en cuenta que $\vec{a}=\vec{a}_{T}+\vec{a}_N$, se tiene que $\vec{a}_N=\vec{a}-\vec{a}_{T}$, y como $\vec{a}_{T}=\vec{0}$, $\vec{a}_N=\vec{a}=75\,\cos(5t)\hat{i}+0\,\hat{j}-75\,\sin(5t)\,\hat{k}$

Además, se sabe que en un movimiento circular, el radio de curvatura es constante, y está relacionado con los módulos de la aceleración normal y de la velocidad de la forma $|\vec{a}_{N}|=\dfrac{(|\vec{v}|)^2}{R}$, por tanto $R=\dfrac{(|\vec{v}|)^2}{|\vec{a}_{N}|}=\dfrac{\left(\sqrt{15^2\,\sin^2\,(5t)+0^2+15^2\,\cos^2(5t)}\right)^2}{\sqrt{75^2\,\cos^2\,(5t)+0^2+75^2\,\sin^2(5t)}}=\dfrac{15^2}{75}=3\,\text{m}$

-oOo- Nota: A sabiendas de que tratamos con un movimiento circular, el radio de curvatura constante (radio de la circunferencia) puede determinarse también a partir de la ecuación cartesiana de dicha circunferencia: de la ecuación vectorial dada en el enunciado, se puede escribir fácilmente las ecuaciones paramétricas: $\left\{\begin{matrix}x(t)=-3\,\cos(5t) \\ y(t)=3\,\sin(5t) \\ z(t)=0\end{matrix}\right.$, así que, elevando al cuadrado y sumando miembro a miembro: $x(t)^2+y(t)^2+z(t)^2=(-3\,\cos(5t))^2+0^2+(3\,\sin(5t))^2=3^2\cdot (\cos^2\,(5t)+\sin^2(5t))=3^2\cdot 1=3^2$ por consiguiente, reconociendo en dicha ecuación la de una circunferencia centrada en el origen de coordenadas (cuya ecuación es $x(t)^2+y(t)^2+z(t)^2=R^2$), se deduce de inmediato que $R^2=3^2 \Rightarrow R=3\,\text{m}$

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