Un problema de movimientos circulares uniformes

Dos cochecitos de juguete recorren un circuito circular, en sentidos opuestos, cada uno en el respectivo carril. El radio del circuito mide $4\,\text{m}$. Uno de ellos, $A$, se mueve con una velocidad lineal de $1\,\dfrac{\text{m}}{\text{s}}$ y el otro, $B$, a $3\,\dfrac{\text{m}}{\text{s}}$. Los dos coches, separados una distancia de $2\,\text{m}$ (longitud de arco que los separa), arrancan en el mismo instante. ¿Cuánto tardarán en cruzarse? ¿Dónde producirá dicho cruce?

Voy a resolver el problema planteándolo en términos de magnitudes angulares. La velocidad angular de $A$ es $w_A=\dfrac{v_A}{r}=\dfrac{3}{4}\,\dfrac{\text{rad}}{\text{s}}$, y la velocidad angular de $B$, $w_B=\dfrac{v_B}{r}=\dfrac{1}{4}\,\dfrac{\text{rad}}{\text{s}}$. Por otra parte, como la longitud de arco que los separa antes de que se pongan en movimiento es $s_0=2\,\text{m}$, la separación angular correspondiente es $\theta_0=\dfrac{s_0}{r}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}\,\text{rad}$

Situemos el sistema de referencia, pongamos que en la posición de salidad de $A$, entonces la ecuación del movimiento de $A$ es $\theta_{A}(t)=\theta_{0}(A)+w_A\,t=0+\dfrac{1}{4}\,t=\dfrac{1}{4}\,t$, y la ecuación del movimiento de $B$, $\theta_{B}(t)=\theta_{0}(B)+w_B\,t=\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{4}\,t$.

En el cruce, deberá cumplirse que la suma de las posiciones angulares sea igual a una vuelta completa, esto es $2\,\pi\,\text{rad}$, por consiguiente, escribiremos: $\theta_{A}(t)+\theta_{B}(t)=2\,\pi$, ecuación que permite calcular el tiempo que pasa desde que salen hasta que se cruzan:
  $\dfrac{1}{4}\,t+\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{4}\,t=2\,\pi$
    $\dfrac{1}{4}\,t+\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{4}\,t=2\,\pi$
      $t+\dfrac{1}{2}=2\,\pi$
        $t=2\,\pi-\dfrac{1}{2} \approx 4,8 \,\text{s}$

Para calcular la posición angular del punto de cruce referida a la posición de salida de $A$, simplemente calcularemos $\theta_{A}(2\,\pi-\dfrac{1}{2})=\dfrac{1}{4}\cdot (2\,\pi-\dfrac{1}{2})=\dfrac{4\,\pi-1}{8}\,\text{rad}$, que expresada en longitud de arco como distancia al punto de partida de $A$ (basta multiplicar por el valor del radio del circuito) es igual a $(\dfrac{4\,\pi-1}{8})\cdot 4 \text{m} = \dfrac{4\,\pi-1}{2}\,\text{m}$.

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Nota 1: Comprobamos que $\left(\dfrac{4\,\pi-1}{8}\,\text{rad}\right)+\left(\dfrac{12\,\pi+1}{8}\,\text{rad}\right)=\dfrac{16\,\pi}{8}=2\,\pi\,\text{rad}$, como debe ser.

Nota 2: Para calcular la posición angular del punto de cruce referida a la posición de salida de $B$, calcularemos $\theta_{B}(2\,\pi-\dfrac{1}{2})=\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{4}\cdot ( 2\,\pi-\dfrac{1}{2} )=\dfrac{12\,\pi+1}{8}\,\text{rad}$, que expresada en longitud de arco como distancia al punto de partida de $B$ es $(\dfrac{12\,\pi+1}{8})\cdot 4 \,\text{m} = \dfrac{12\,\pi+1}{2} \,\text{m}$

Nota 3: Comprobemos que la suma de las longitudes de arco correspondientes a las posiciones de cruce calculadas (con respecto a la posición de salida de $A$, y de la posición de salida de $B$) sea igual a la longitud de la circunferencia; en efecto: $\dfrac{4\,\pi-1}{2}\,\text{m} + \dfrac{12\,\pi+1}{2} \,\text{m} = \dfrac{16\,\pi}{2}\,\text{m}=8\,\pi\,\text{m}$, que es igual a la longitud de la circunferencia del circuito: $2\,\pi\,r=2\,\pi\cdot 4=8\,\pi\,\text{m}$.

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