Un problema de movimientos circulares uniformes

Dos cochecitos de juguete recorren un circuito circular, en sentidos opuestos, cada uno en el respectivo carril. El radio del circuito mide $4\,\text{m}$. Uno de ellos, $A$, se mueve con una velocidad lineal de $1\,\dfrac{\text{m}}{\text{s}}$ y el otro, $B$, a $3\,\dfrac{\text{m}}{\text{s}}$. Los dos coches, separados una distancia de $2\,\text{m}$ (longitud de arco que los separa), arrancan en el mismo instante. ¿Cuánto tardarán en cruzarse? ¿Dónde producirá dicho cruce?

Voy a resolver el problema planteándolo en términos de magnitudes angulares. La velocidad angular de $A$ es $w_A=\dfrac{v_A}{r}=\dfrac{3}{4}\,\dfrac{\text{rad}}{\text{s}}$, y la velocidad angular de $B$, $w_B=\dfrac{v_B}{r}=\dfrac{1}{4}\,\dfrac{\text{rad}}{\text{s}}$. Por otra parte, como la longitud de arco que los separa antes de que se pongan en movimiento es $s_0=2\,\text{m}$, la separación angular correspondiente es $\theta_0=\dfrac{s_0}{r}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}\,\text{rad}$

Situemos el sistema de referencia, pongamos que en la posición de salidad de $A$, entonces la ecuación del movimiento de $A$ es $\theta_{A}(t)=\theta_{0}(A)+w_A\,t=0+\dfrac{1}{4}\,t=\dfrac{1}{4}\,t$, y la ecuación del movimiento de $B$, $\theta_{B}(t)=\theta_{0}(B)+w_B\,t=\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{4}\,t$.

En el cruce, deberá cumplirse que la suma de las posiciones angulares sea igual a una vuelta completa, esto es $2\,\pi\,\text{rad}$, por consiguiente, escribiremos: $\theta_{A}(t)+\theta_{B}(t)=2\,\pi$, ecuación que permite calcular el tiempo que pasa desde que salen hasta que se cruzan:
  $\dfrac{1}{4}\,t+\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{4}\,t=2\,\pi$
    $\dfrac{1}{4}\,t+\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{4}\,t=2\,\pi$
      $t+\dfrac{1}{2}=2\,\pi$
        $t=2\,\pi-\dfrac{1}{2} \approx 4,8 \,\text{s}$

Para calcular la posición angular del punto de cruce referida a la posición de salida de $A$, simplemente calcularemos $\theta_{A}(2\,\pi-\dfrac{1}{2})=\dfrac{1}{4}\cdot (2\,\pi-\dfrac{1}{2})=\dfrac{4\,\pi-1}{8}\,\text{rad}$, que expresada en longitud de arco como distancia al punto de partida de $A$ (basta multiplicar por el valor del radio del circuito) es igual a $(\dfrac{4\,\pi-1}{8})\cdot 4 \text{m} = \dfrac{4\,\pi-1}{2}\,\text{m}$.

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Nota 1: Comprobamos que $\left(\dfrac{4\,\pi-1}{8}\,\text{rad}\right)+\left(\dfrac{12\,\pi+1}{8}\,\text{rad}\right)=\dfrac{16\,\pi}{8}=2\,\pi\,\text{rad}$, como debe ser.

Nota 2: Para calcular la posición angular del punto de cruce referida a la posición de salida de $B$, calcularemos $\theta_{B}(2\,\pi-\dfrac{1}{2})=\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{4}\cdot ( 2\,\pi-\dfrac{1}{2} )=\dfrac{12\,\pi+1}{8}\,\text{rad}$, que expresada en longitud de arco como distancia al punto de partida de $B$ es $(\dfrac{12\,\pi+1}{8})\cdot 4 \,\text{m} = \dfrac{12\,\pi+1}{2} \,\text{m}$

Nota 3: Comprobemos que la suma de las longitudes de arco correspondientes a las posiciones de cruce calculadas (con respecto a la posición de salida de $A$, y de la posición de salida de $B$) sea igual a la longitud de la circunferencia; en efecto: $\dfrac{4\,\pi-1}{2}\,\text{m} + \dfrac{12\,\pi+1}{2} \,\text{m} = \dfrac{16\,\pi}{2}\,\text{m}=8\,\pi\,\text{m}$, que es igual a la longitud de la circunferencia del circuito: $2\,\pi\,r=2\,\pi\cdot 4=8\,\pi\,\text{m}$.

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Análisis de una trayectoria

En un cierto movimiento de una partícula, su vector de posición es $\vec{r}(t)=t^2\,\hat{i}+\hat{j}+t^2\,\hat{k}$. ¿Es un movimiento acelerado? ¿Se curva la trayectoria?

Para responder a esas preguntas, calcularé la aceleración normal y la aceleración tangencial (a la trayectoria). Si la aceleración normal fuese nula, la trayectoria no se curvaría, y el movimiento sería rectilíneo; en caso contrario, no sería rectilíneo. Por otra parte, si la aceleración fuese nula, se trataría de un movimiento uniforme, y, en caso contrario, de un movimiento acelerado.

El vector velocidad en un instante genérico es $\vec{v}(t):=\dot{\vec{r}}(t)=2\,t\,\,\hat{i}+0\,\hat{j}+2\,t\,\hat{k}$ y el vector aceleración (en un instante genérico) es $\vec{a}(t):=\ddot{\vec{r}}(t)=2\,\,\hat{i}+0\,\hat{j}+2\,\hat{k}=2\,(\hat{i}+0\,\hat{j}+\hat{k}) \neq \vec{0}=$, así que, obviamente, el movimiento no es uniforme.

Ahora, con un poco de atención por nuestra parte, el problema acabaría aquí, ya que si reparamos en el hecho de que, como acabamos de ver, $\vec{a}(t)=2\,\,\hat{i}+0\,\hat{j}+2\,\hat{k}\neq \vec{0}$, esto es, $\vec{a}(t) \propto \vec{v}(t)$ ya que $\vec{v}(t)=t\,\vec{a}(t)$; es decir, al tener el vector aceleración (en un instante genérico) la misma dirección que el vector velocidad (en un instante genérico), la aceleración (total) es tangencial (toda ella) en cualquier punto de la trayectoria, de lo que se deduce que la componente normal de dicha aceleración total es nula, por lo que no hay curvatura, es decir, la trayectoria es rectilínea.

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No obstante, y por si hubiese pasado percibido dicho detalle, calcularé la aceleración normal, para ver cómo es. Para ello, tengamos en cuenta que la aceleración tangencial en un instante genérico es $\vec{a}_T=a_T\,\hat{v}$, donde $\hat{v}$ representa un vector unitario en la misma dirección que $\vec{v}$ (y, por tanto, en la misma dirección que la aceleración tangencial); donde el módulo de dicha aceleración tangencial es $a_{T}:=\dfrac{d}{dt}(|\vec{v}|)$. Además, como $\vec{a}=\vec{a}_N+\vec{a}_T$, conoceremos de ahí la velocidad normal: $\vec{a}_N=\vec{a}-\vec{a}_T$.

Calculo pues lo que hace falta: $|\vec{v}|=\sqrt{(2t)^2+o^2+(2t)^2}=2\,\sqrt{2}\,t$, luego el módulo de la aceleración tangencial es $a_T=\dfrac{d}{dt}(2\,\sqrt{2}\,t)=2\,\sqrt{2} \neq 0$, por lo que ello constanta que el movimiento no es uniforme, pues, por lo menos, es acelerado en la dirección tangencial.

Veamos ahora si la trayectoria se curva, analizando la velocidad normal. Un vector unitario de la velocidad (y por tanto de la aceleración tangencial) es $\hat{v}=\dfrac{1}{|\vec{v}(t)|}\,\vec{v}(t)=\dfrac{1}{2\,\sqrt{2}\,t}\,\left(2\,t\,\hat{i}+0\,\hat{j}+2\,t\,\hat{k}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\,\left(\hat{i}+0\,\hat{j}+\hat{k}\right)$, con lo cual $\vec{a}_T=(2\,\sqrt{2})\cdot \dfrac{1}{\sqrt{2}}\,\left(\hat{i}+0\,\hat{j}+\hat{k}\right) =2\,(\hat{i}+0\,\hat{j}+\hat{k})$, luego $\vec{a}_{N}(t)=\vec{a}(t)-\vec{a}_{T}(t)=2\,(\hat{i}+0\,\hat{j}+\hat{k})-2\,(\hat{i}+0\,\hat{j}+\hat{k})=\vec{0}$, con lo cual, obviamente, se llega, también así, a la misma conclusión a la que se había ya hace rato: el movimiento es rectilíneo y acelerado. $\diamond$

Celeridad media en un recorrido total formado por varios tramos en los que se circula a distinta velocidad

Un ciclista recorre $20$ km a $35$ km/h, y los siguientes $30$ km a $25$ km/h, ¿cuál es la celeridad media en el recorrido total?

El recorrido total es de $20+30=50$ km, y el tiempo empleado es igual a $20/35$ h + $30/25$ h, esto es, $62/35$ h; en consecuencia, la velocidad media pedida es igual a $\dfrac{50}{62/35}=871/31$ km/h $\approx 28,23$ km/h. $\diamond$

De cero a cien ...

Hemos leído en una revista de mecánica que un cierto vehículo es capaz de pasar de una velocidad de cero a cien kilómetros por hora en diez segundos, intervalo de tiempo durante el cual se mueve a aceleración constante. Nos preguntamos, a qué distancia de la salida se encontrará en dicho tiempo.

Necesitaremos calcular la aceleración que actúa sobre el vehículo durante este tiempo de $10\,\text{s}$; para ello, tengamos en cuenta que, al tratarse de un m.r.u.a ($a=\text{constante}$), se tiene que $v(t)=v(0)+a\cdot t$, luego, al ser $v(0)=0\,\dfrac{\text{m}}{\text{s}}$ (se parte del reposo), $a=\dfrac{v(t)}{t}$

La velocidad final, en unidades del SI, es $100\,\dfrac{\text{km}}{\text{h}}=100\,\dfrac{\text{km}}{\text{h}}\cdot \dfrac{1}{1000}\,\dfrac{\text{m}}{\text{km}} \cdot \dfrac{1}{3600}\,\dfrac{\text{h}}{\text{s}}=36\,\dfrac{\text{m}}{\text{s}}$, con lo cual, $a=\dfrac{36}{10}=\dfrac{18}{5}\,\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$. Finalmente, por la ecuación del movimiento referida a la posición que el vehículo tiene en cada instante de tiempo: $x(t)=x(0)+v(0)\,t+\dfrac{1}{2}\,a\,t^2$; y, como hemos colocado el sistema de referencia en la posición de salida, $x(0)=0$, luego $x(10)=0+0\cdot t+\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{18}{5} \cdot 10^2=180$, por consiguiente la distancia pedida es $\ell:=x(10)-x(0)=180\,\text{m}$   $\diamond$

Movimiento uniformemente acelerado en una rampa sin rozamiento

Un objeto está situado en un plano inclinado que forma un ángulo $\alpha$ con respecto al plano horizontal. Se supone que la intensidad del campo gravitatorio es de $g=9,81\,\text{m}\cdot \text{s}^{-2}$. El rozamiento con el plano inclinado se considera despreciable. Toda vez que el objeto empieza a deslizar, ¿cuánto tiempo tarde en alcanzar una velocidad de $4\,\text{m}\cdot \text{s}^{-1}$? ¿Qué longitud se habrá desplazado sobre el plano hasta dicho instante?

Situemos el sistema de referencia en el punto en el que el objeto empieza a deslizar, y en la dirección del movimiento. Por la segunda ley de Newton, la aceleración en la dirección del movimiento, $a$, es tal que $m\,a=m\,g\,\sin\,\alpha$, con lo cual $a=g\,\sin\,\alpha$. Al tratarse de un m.r.u.a, podemos escribir la ecuación de la velocidad: $v(t)=v(0)+a\,t$, donde $v(0)=0\,\text{m}\cdot \text{s}^{-1}$; por tanto, de la información del enunciado, se tiene que $4=0+g\,\sin\,\alpha \Rightarrow t=\dfrac{4}{a}=\dfrac{4}{g\,\sin\,\alpha}$, y, como $x(t)=x(0)+v(0)\cdot t + \dfrac{1}{2}\,a\,t^2$, y teniendo en cuenta que $x(0)=0$ y $v(0)=0\,\text{m}\cdot \text{s}^{-1}$, la longitud de camino recorrida desde el instante inicial en el que empieza a deslizar hasta el instante que alcanza la velocidad propuesta, es, por tanto, la distancia entre estas dos posiciones, esto es, $$\ell:=x\left( \dfrac{4}{g\,\sin\,\alpha}\right)-x(0)=\dfrac{1}{2}\cdot g\, \sin\,\alpha \cdot \left(\dfrac{4}{g\,\sin\,\alpha}\right)^2-0=\dfrac{8}{g\,\sin\,\alpha}$$.

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Así, por ejemplo, si $\alpha=60^{\circ}$, el tiempo que tarda en alcanzar la velocidad de $4\,\text{m}\cdot \text{s}^{-1}$ es $t=\dfrac{4}{9,81\cdot \sin\,60^\circ}\approx 0,47\,\text{s}$ y la longitud de camino recorrida desde que inició el deslizamiento hasta el instante que alcanza dicha velocidad es $\ell:=x(0,47)-x(0)=\dfrac{8}{9,81\cdot \sin\,60^\circ}\approx 0,94\,\text{m}$. $\diamond$

Cálculo de la ecuación de las posiciones a partir de la ecuación de velocidades en un m.r.u

En un cierto m.r.u, la ecuación de la velocidad viene descrita por la siguiente función del tiempo: $v(t)=t^2-2t+4$ (en unidades del SI). Sabiendo que en el instante en el que la velocidad es de $3\,\text{m}\cdot \text{s}^{-1}$, la coordenada de posición es nula, ¿cuál es la ecuación que describe la posición en un instante genérico de $t$?

Como $\dot{x}(t)=:v(t)=t^2-2t+4$, integrando con respecto de $t$ llegamos a $x(t)=\int\,\dot{x}\,dt+C=\dfrac{1}{3}\,t^3-t^2+4t+C \quad (1)$. Y, para determinar el valor de la constante de integración $C$, imponemos la condición dada en el enunciado: $v(3)=0$, luego $3=t^2-2t+4$, esto es, $t^2-2t+1=0 \Rightarrow t=1$. Entonces, de (1), $0=\dfrac{1}{3}\cdot 1^3-1^2+4\cdot 1+C \Rightarrow C=-\dfrac{10}{3}$. Por consiguiente, la ecuación pedida es $$x(t)=\dfrac{1}{3}\,t^3-t^2+4t-\dfrac{10}{3}$$ $\diamond$

Un montacargas sube desde el suelo a una velocidad ...

Un montacargas sube desde el suelo a una velocidad constante de $1,5\,\text{m}\cdot \text{s}^{-1}$. Transcurridos $4\,\text{s}$ desde que el ascensor ha empezado a subir, se desprende del piso del ascensor una arandela. ¿Cuánto tiempo pasa desde que el ascensor ha empezado a subir hasta que la arandela llega al suelo? ¿A qué altura sobre el suelo se encuentra el ascensor en el instante en el que la arandela llega al suelo?.

Calculo en primer lugar la altura (medida desde el suelo) a la que se encuentra el ascensor en el instante $t=4\,\text{s}$. Situando el origen de coordenadas, $Ox$, en la posición de la que ha partido el ascensor, y teniendo en cuenta que el movimiento del ascensor es un movimiento rectilíneo uniforme (m.r.u), se tiene que $x(4)=x(0)+1,5\cdot 4=0+6=6\,\text{m}$. En ese instante, la arandela cae hacia el suelo con movimiento uniformememnte acelerado, para recorrer los $6\,\text{m}$ que la separan del suelo, empleando para ello una cantidad de tiempo $\tau$, por lo que podemos escribir: $6=-4\tau+\dfrac{1}{2}\,g\,\tau^{2}$, esto es, $2g\tau^2-3\tau-12=0$ y, resolviendo esta ecuación, $\tau=\dfrac{-(-3)\pm \sqrt{(-3)^3-4\cdot (-12)\,g}}{2g}=\left\{\begin{matrix}\dfrac{3+\sqrt{9+48g}}{29}\gt 0 \\ \dfrac{3-\sqrt{9+48g}}{2g}\lt 0\end{matrix}\right.$. El valor negativo de la solución de la ecuación cuadrática no tiene sentido físico, por lo que únicamente nos quedamos el valor positivo: $\tau=\dfrac{3-\sqrt{9+48g}}{2g}\overset{g=9,81\,\text{m}\cdot \text{s}^{-2}}{\approx}1,26\,\text{s}$. Por consiguiente, la arandela llega al suelo en el instante $t=4+1,26=5,26\,\text{s}$. Y, por lo que se refiere a la respuesta a la segunda prenguta, es evidente que el ascensor se encuentra entonces a $x(5,26)=1,5\cdot 5,26=7,89\,\text{m}$ del suelo. $\diamond$

Frenado de un móvil que se mueve a velocidad constante

En un movimiento rectilíneo, un móvil lleva una velocidad de $20\,\text{m}\cdot \text{s}^{-1}$. Si se quiere detener en $5\,\text{s}$, ¿qué aceleración (constante) de frenada se necesita?

Se sabe que $v(t)=v_i+a\,t \therefore 0=5+5\,t \Rightarrow a=-1\,\text{m}\cdot \text{s}^{-2}$. $\diamond$