Cálculo de la ecuación de las posiciones a partir de la ecuación de velocidades en un m.r.u

En un cierto m.r.u, la ecuación de la velocidad viene descrita por la siguiente función del tiempo: $v(t)=t^2-2t+4$ (en unidades del SI). Sabiendo que en el instante en el que la velocidad es de $3\,\text{m}\cdot \text{s}^{-1}$, la coordenada de posición es nula, ¿cuál es la ecuación que describe la posición en un instante genérico de $t$?

Como $\dot{x}(t)=:v(t)=t^2-2t+4$, integrando con respecto de $t$ llegamos a $x(t)=\int\,\dot{x}\,dt+C=\dfrac{1}{3}\,t^3-t^2+4t+C \quad (1)$. Y, para determinar el valor de la constante de integración $C$, imponemos la condición dada en el enunciado: $v(3)=0$, luego $3=t^2-2t+4$, esto es, $t^2-2t+1=0 \Rightarrow t=1$. Entonces, de (1), $0=\dfrac{1}{3}\cdot 1^3-1^2+4\cdot 1+C \Rightarrow C=-\dfrac{10}{3}$. Por consiguiente, la ecuación pedida es $$x(t)=\dfrac{1}{3}\,t^3-t^2+4t-\dfrac{10}{3}$$ $\diamond$