Parámetros de un movimiento armónico simple y cálculo de la posición, velocidad y aceleración del móvil en ciertos instantes de tiempo

Un cierto movimiento armónico simple (m.a.s) tiene por ecuación $x(t)=2\,\cos(\pi\,t+\frac{\pi}{3})$, en unidades del SI (y en radianes las unidades de magnitud angular). Voy a extraer de ella información importante: la amplitud, la frecuencia angular, la frecuencia y el periodo. También calcularé cuál es la posición del móvil en el instante inicial, $t=0\,\text{s}$, así como la velocidad y la aceleración en el instante $t=\frac{1}{10}\,\text{s}$

Teniendo en cuenta que la ecuación genérica de la posición en un instante de tiempo $t$ de un m.a.s es $x(t)=A\,\sin\,(wt+\delta)$, en la que $A$ representa la amplitud; $w$ la frecuencia angular, y $\delta$ el desfase en el instante inicial, y, sabiendo que, para un ángulo cualquiera, $\theta$, las funciones trigonométricas seno y coseno está relacionadas mediante la identidad $\cos\,\theta = \sin\,(\theta+\frac{\pi}{2})$, podemos escribir la ecuación del m.a.s dada de la forma $x(t)=2\,\cos(\pi\,t+\frac{\pi}{3})=2\,\sin\,((\pi\,t+\frac{\pi}{3})+\frac{\pi}{2})=2\,\sin\,(\pi\,t+\frac{5}{6}\,\pi) \quad (1)$. Entonces, comparando esta ecuación con la e. genérica, se deduce que el valor de la amplitud es $A=2\,\text{m}$; el valor del desfase en el instante inicial, $\delta=\dfrac{5}{6}\,\pi\,\,\text{rad}$; el valor de la frecuencia angular es $w=\pi\,\dfrac{\text{rad}}{\text{s}}$, y como $w=\dfrac{2\,\pi}{T}$, siendo $T$ el periodo, vemos que $\pi=\dfrac{2\,\pi}{T}$ con lo cual $T=2\,\text{s}$; por consiguiente, como la frecuencia $f$ se define como el inverso del periodo $T$, deducimos que $f=0,5\,\text{s}^{-1}$.

La posición del móvil en el instante inicial es, de $(1)$,

$$x(0)=2\,\sin\,(\pi\cdot 0+\frac{5}{6}\,\pi)=2\,\sin\,(\frac{5}{6}\,\pi)\,\,\text{m}=2\cdot \dfrac{1}{2}\,\,\text{m}=1\,\text{m}$$

Derivando sucesivamente dos veces $(1)$ con respecto de $t$, encontramos las ecuaciones de la velocidad y de la aceleración:

$$v(t):=\dot{x}(t)=2\,\pi \cdot \cos\,(\pi\,t+\frac{5}{6}\,\pi)\quad (2)$$ $$a(t):=\ddot{x}(t)= -2\,\pi^2\,\sin\,(\pi\,t+\frac{5}{6}\,\pi)\quad (3)$$ Por tanto, los valores de la velocidad y de la aceleración del móvil en el instante $t=\frac{1}{10}\,\,\text{s}$, de $(2)$ y $(3)$, son: $$v(\frac{1}{10})=2\,\pi \cdot \cos(\frac{1}{10}\,\pi+\frac{5}{6}\,\pi) = 2\,\pi\cdot \cos(\frac{14}{15}\,\pi) \approx -6\,\dfrac{\text{m}}{\text{s}}$$ $$a(\frac{1}{10})=-2\,\pi^2\,\sin(\frac{1}{10}\,\pi+\frac{5}{6}\,\pi)=-2\,\pi^2\,\sin(\frac{14}{15}\,\pi) \approx -4\,\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$$ $\diamond$