Movimiento uniformemente acelerado en una rampa sin rozamiento

Un objeto está situado en un plano inclinado que forma un ángulo $\alpha$ con respecto al plano horizontal. Se supone que la intensidad del campo gravitatorio es de $g=9,81\,\text{m}\cdot \text{s}^{-2}$. El rozamiento con el plano inclinado se considera despreciable. Toda vez que el objeto empieza a deslizar, ¿cuánto tiempo tarde en alcanzar una velocidad de $4\,\text{m}\cdot \text{s}^{-1}$? ¿Qué longitud se habrá desplazado sobre el plano hasta dicho instante?

Situemos el sistema de referencia en el punto en el que el objeto empieza a deslizar, y en la dirección del movimiento. Por la segunda ley de Newton, la aceleración en la dirección del movimiento, $a$, es tal que $m\,a=m\,g\,\sin\,\alpha$, con lo cual $a=g\,\sin\,\alpha$. Al tratarse de un m.r.u.a, podemos escribir la ecuación de la velocidad: $v(t)=v(0)+a\,t$, donde $v(0)=0\,\text{m}\cdot \text{s}^{-1}$; por tanto, de la información del enunciado, se tiene que $4=0+g\,\sin\,\alpha \Rightarrow t=\dfrac{4}{a}=\dfrac{4}{g\,\sin\,\alpha}$, y, como $x(t)=x(0)+v(0)\cdot t + \dfrac{1}{2}\,a\,t^2$, y teniendo en cuenta que $x(0)=0$ y $v(0)=0\,\text{m}\cdot \text{s}^{-1}$, la longitud de camino recorrida desde el instante inicial en el que empieza a deslizar hasta el instante que alcanza la velocidad propuesta, es, por tanto, la distancia entre estas dos posiciones, esto es,

$$\ell:=x\left( \dfrac{4}{g\,\sin\,\alpha}\right)-x(0)=\dfrac{1}{2}\cdot g\, \sin\,\alpha \cdot \left(\dfrac{4}{g\,\sin\,\alpha}\right)^2-0=\dfrac{8}{g\,\sin\,\alpha}$$ .

-oOo-

Así, por ejemplo, si $\alpha=60^{\circ}$, el tiempo que tarda en alcanzar la velocidad de $4\,\text{m}\cdot \text{s}^{-1}$ es $t=\dfrac{4}{9,81\cdot \sin\,60^\circ}\approx 0,47\,\text{s}$ y la longitud de camino recorrida desde que inició el deslizamiento hasta el instante que alcanza dicha velocidad es $\ell:=x(0,47)-x(0)=\dfrac{8}{9,81\cdot \sin\,60^\circ}\approx 0,94\,\text{m}$. $\diamond$