Análisis de una trayectoria

En un cierto movimiento de una partícula, su vector de posición es $\vec{r}(t)=t^2\,\hat{i}+\hat{j}+t^2\,\hat{k}$. ¿Es un movimiento acelerado? ¿Se curva la trayectoria?

Para responder a esas preguntas, calcularé la aceleración normal y la aceleración tangencial (a la trayectoria). Si la aceleración normal fuese nula, la trayectoria no se curvaría, y el movimiento sería rectilíneo; en caso contrario, no sería rectilíneo. Por otra parte, si la aceleración fuese nula, se trataría de un movimiento uniforme, y, en caso contrario, de un movimiento acelerado.

El vector velocidad en un instante genérico es $\vec{v}(t):=\dot{\vec{r}}(t)=2\,t\,\,\hat{i}+0\,\hat{j}+2\,t\,\hat{k}$ y el vector aceleración (en un instante genérico) es $\vec{a}(t):=\ddot{\vec{r}}(t)=2\,\,\hat{i}+0\,\hat{j}+2\,\hat{k}=2\,(\hat{i}+0\,\hat{j}+\hat{k}) \neq \vec{0}=$, así que, obviamente, el movimiento no es uniforme.

Ahora, con un poco de atención por nuestra parte, el problema acabaría aquí, ya que si reparamos en el hecho de que, como acabamos de ver, $\vec{a}(t)=2\,\,\hat{i}+0\,\hat{j}+2\,\hat{k}\neq \vec{0}$, esto es, $\vec{a}(t) \propto \vec{v}(t)$ ya que $\vec{v}(t)=t\,\vec{a}(t)$; es decir, al tener el vector aceleración (en un instante genérico) la misma dirección que el vector velocidad (en un instante genérico), la aceleración (total) es tangencial (toda ella) en cualquier punto de la trayectoria, de lo que se deduce que la componente normal de dicha aceleración total es nula, por lo que no hay curvatura, es decir, la trayectoria es rectilínea.

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No obstante, y por si hubiese pasado percibido dicho detalle, calcularé la aceleración normal, para ver cómo es. Para ello, tengamos en cuenta que la aceleración tangencial en un instante genérico es $\vec{a}_T=a_T\,\hat{v}$, donde $\hat{v}$ representa un vector unitario en la misma dirección que $\vec{v}$ (y, por tanto, en la misma dirección que la aceleración tangencial); donde el módulo de dicha aceleración tangencial es $a_{T}:=\dfrac{d}{dt}(|\vec{v}|)$. Además, como $\vec{a}=\vec{a}_N+\vec{a}_T$, conoceremos de ahí la velocidad normal: $\vec{a}_N=\vec{a}-\vec{a}_T$.

Calculo pues lo que hace falta: $|\vec{v}|=\sqrt{(2t)^2+o^2+(2t)^2}=2\,\sqrt{2}\,t$, luego el módulo de la aceleración tangencial es $a_T=\dfrac{d}{dt}(2\,\sqrt{2}\,t)=2\,\sqrt{2} \neq 0$, por lo que ello constanta que el movimiento no es uniforme, pues, por lo menos, es acelerado en la dirección tangencial.

Veamos ahora si la trayectoria se curva, analizando la velocidad normal. Un vector unitario de la velocidad (y por tanto de la aceleración tangencial) es $\hat{v}=\dfrac{1}{|\vec{v}(t)|}\,\vec{v}(t)=\dfrac{1}{2\,\sqrt{2}\,t}\,\left(2\,t\,\hat{i}+0\,\hat{j}+2\,t\,\hat{k}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\,\left(\hat{i}+0\,\hat{j}+\hat{k}\right)$, con lo cual $\vec{a}_T=(2\,\sqrt{2})\cdot \dfrac{1}{\sqrt{2}}\,\left(\hat{i}+0\,\hat{j}+\hat{k}\right) =2\,(\hat{i}+0\,\hat{j}+\hat{k})$, luego $\vec{a}_{N}(t)=\vec{a}(t)-\vec{a}_{T}(t)=2\,(\hat{i}+0\,\hat{j}+\hat{k})-2\,(\hat{i}+0\,\hat{j}+\hat{k})=\vec{0}$, con lo cual, obviamente, se llega, también así, a la misma conclusión a la que se había ya hace rato: el movimiento es rectilíneo y acelerado. $\diamond$