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lunes, 6 de mayo de 2024

Velocidad media y aceleración media entre dos instantes de tiempo

Una partícula se mueve según la trayectoria \vec{r}(t)=t^4\,\hat{i}+t^3\,\hat{j}+t^2\,\hat{k}. Voy a calcular la velicidad y la aceleración en un instante de tiempo t genérico, y, finalmente, la velocidad media y la aceleración media entre los instantes de tiempo t_i=1 s y t_f=2 s

Cálculo de la velocidad instantánea: \vec{v}(t):=\dot{\vec{r}}(t)=4\,t^3\,\hat{i}+3\,t^2\,\hat{j}+2\,t\,\hat{k}

Cálculo de la aceleración instantánea: \vec{a}(t):=\ddot{\vec{r}}(t)=12\,t^2\,\hat{i}+6\,t\,\hat{j}+2\,\hat{k}

Cálculo de la velocidad media entre t_i y t_f: \vec{v_{m_{(t_i,t_f)}}}(t):=\dfrac{\vec{v}(t_f)-\vec{v}(t_i)}{t_f-t_i}=\dfrac{\vec{v}(2)-\vec{v}(1)}{2-1}=\dfrac{(4\cdot 2^3\,\hat{i}+3\cdot 2^2\,\hat{j}+2\cdot 2\,\hat{k})-(4\cdot 1^3\,\hat{i}+3\cdot 1^2\,\hat{j}+2\cdot 1\,\hat{k})}{1}

=(32-4)\,\hat{i}+(12-3)\,\hat{j}+(4-2)\,\hat{k}=28\,\hat{i}+9\,\hat{j}+2\,\hat{k}

Cálculo de la aceleración media entre t_i y t_f: \vec{a_{m_{(t_i,t_f)}}}(t):=\dfrac{\vec{a}(t_f)-\vec{a}(t_i)}{t_f-t_i}=\dfrac{\vec{a}(2)-\vec{a}(1)}{2-1}=\dfrac{(12\cdot 2^2\,\hat{i}+6\cdot 2\,\hat{j}+2\,\hat{k})-(12\cdot 1^2\,\hat{i}+6\cdot 1\,\hat{j}+2\,\hat{k})}{1}

=(48-12)\,\hat{i}+(12-6)\,\hat{j}+(2-2)\,\hat{k}= 36\,\hat{i}+6\,\hat{j}+0\,\hat{k}

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