L'oscil·lació del disc lunar

Com podeu veure a les imatges de les fases de la Lluna (video del Goddard Space Flight Center de la NASA), l'oscil·lació del disc lunar ( libració ) es produeix de dues maneres: (a) en la direcció oest-est (libració en longitud), i (b) en la direcció sud-nord (libració en latitud). Per què es produeixen aquestes oscil·lacions ?.


[ font: Goddard Space Flight Center ( NASA ) ]

En primer lloc, tinguem en compte que el període de rotació de la Lluna és el mateix que el de translació al voltant de la Terra; per això, el nostre satèl·lit presenta sempre la mateixa cara. No obstant això, en aquesta afirmació cal afegir alguns matisos/correccions o precisions que, com veurem a continuació, expliquen el fenomen.

En primer lloc, l'òrbita de translació de la Lluna ( al voltant de la Terra ) és el·líptica ( no pas circular ) i, doncs, la velocitat de translació no és la mateixa en tots el punts de l'òrbita; és més gran al perigeu ( quan es troba més propera a la Terra ) i més petita a l'apogeu ( punt més allunyat de la Terra), per tant, el sincronisme entre el moviment de rotació i el moviment de translació no és exacte; per altra banda, el pla equatorial de la Lluna està inclinat respecte al pla de l'eclíptica ( el pla orbital de la Terra al voltant del Sol). Aquestes dues circumstàncies donen al l'efecte d'oscil·lació del perfil de l'ombra de la Terra sobre el disc lunar.

Per bé que, si no consideréssim l'efecte de libració del disc lunar vist des de la Terra, caldria pensar que la Lluna només ens ensenya sempre la mateixa meitat de la seva superfície, cal rectificar en certa mesura l'afirmació que faríem si ignoréssim la libració ( " degut a l'efecte de libració del disc lunar, sí que ha de ser possible visualitzar més del 50% de la seva superfície" ): essent conscients d'aquests efectes d'oscil·lació de la imatge del disc lunar, haurem de concloure que ( degut a l'efecte de libració del disc lunar ) sí que ha de ser possible visualitzar més del 50% de la seva superfície. Es demostra que es pot veure un 59% de la seva superfície ( fent un conjunt complet d'observacions ).

Cal també tenir present que, a més a més, la Lluna no mostra el mateix aspecte ( orientació del perfil de l'ombra de la Terra ) vista des de qualsevol indret de la Terra; aquest aspecte depèn, de la latitud de l'observador.


Referències:
    [1] J. Aloy, 100 Qüestions d'Astronomia. De les Fases de la Lluna a l'Energia Fosca., Edicions Cossetània, Valls, 2013
    [2] Goddard Space Flight Center (NASA)

Un trozo de cuerda reposa sobre una mesa, colgando una una parte del mismo ...

ENUNCIADO
Sobre una mesa reposa un trozo de cuerda ( de densidad lineal, $\delta$, homogénea ), de longitud $l$. Una parte de dicha cuerda cuelga por el borde de la mesa, formando la cuerda un ángulo recto con la arista/borde. El coeficiente de rozamiento de la mesa con la cuerda es $\mu$. Calcúlese la velocidad, $v$, de un punto de la cuerda cuando, en su caída, el extremo que reposaba sobre la mesa pasa por el borde.

SOLUCIÓN
Supondremos que la cuerda empieza a caer con velocidad inicial nula ( equilibrio ) y, por tanto, esto se produce para una cierta longitud del tramo que cuelga, que denominaremos $x_0$. Teniendo en cuenta el principio de conservación de la energía mecánica, y despreciando la pérdida por disipación de calor debida al roce de la cuerda con la mesa, el cambio de energía cinética, $\Delta\,K$, debe ser igual al trabajo realizado, $\Delta\,W$, por la fuerza activa que actúa sobre la cuerda y que da lugar al movimiento de la misma - desde que empieza el movimiento hasta la situación pedida en el enunciado - ( Teorema de las fuerzas vivas ), esto es, $$\Delta\,K=\Delta\,W$$ por tanto $$\dfrac{1}{2}\,m\,v^2-\dfrac{1}{2}\,m\cdot 0^2=\displaystyle \int_{x_0}^{l}\,F(x)\,dx$$ y como la masa, $m$, de la cuerda es $m=\delta\,l$, podemos escribir $$ \dfrac{1}{2}\,\delta\,l\,v^2=\displaystyle \int_{x_0}^{l}\,F(x)\,dx \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad (1)$$
siendo $x$ la longitud de cuerda que cuelga por el borde en cada instante de tiempo

Calculemos el valor de $x_0$ imponiendo la condición de equilibrio: $$g\,(l-x_0)\,\delta\,\mu = x_0\,\delta\,g$$
y de aquí encontramos $$x_0=\dfrac{\mu}{\mu+1}\,l$$

Por otra parte, la función que describe la fuerza global que actúa sobre la cuerda para cada valor de $x$ es $$F(x)=\delta\,g\,x- \delta\,g\,\mu\,(l-x)$$ esto es $$F(x)=\delta\,g\,\left((\mu+1)\,x-\mu\,l\right)$$ Así, el segundo miembro de (1) es igual a $$\displaystyle \delta\,g\,\,\int_{\frac{\mu}{\mu+1}\,l}^{l}\,\left((\mu+1)\,x-\mu\,l\right)\,dx $$ y por, el Primer y el Segundo Teoremas Fundamentales del Cálculo, obtenemos como resultado de dicha integral definida $$\dfrac{1}{2}\,\dfrac{\delta\,g\,l^2}{\mu+1}$$ por lo que la igualdad (1) nos queda $$\dfrac{1}{2}\,\delta\,l\,v^2=\dfrac{1}{2}\,\dfrac{\delta\,g\,l^2}{\mu+1}$$ así que, despejando $v$, llegamos a $$v=\sqrt{\dfrac{g\,l}{\mu+1} }$$

Así, por ejemplo, si $\mu =0,8$ y $l=0,5\, \text{m}$, la longitud del trozo de cuerda que cuelga cuando empieza el movimiento ( posición de equilibrio ) es de $x_0=\dfrac{0,8}{0,8+1}\cdot 0,5 \approx 0,22 \, \text{m}$, y la velocidad de un punto de la cuerda cuando el extremo izquierdo de la misma abandona la mesa es igual a $\sqrt{\dfrac{9,81 \cdot 0,5}{0,8+1}} \approx 1,65\, \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$

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Logros y mejoras en los modelos predictivos de los efectos del cambio climático

Noticia ( A través de Madri+d )

La importancia de la ley de Poiseuille en medicina

La ley de Poiseuille [ Jean Léonard Marie Poiseuille (1797-1869 ) ] nos dice que en un fluido en regimen laminar que fluye por un tubo de sección uniforme se tiene que $$Q=\dfrac{\pi}{8\,\mu}\,\dfrac{r^4\,\Delta P}{L}$$ donde $Q$ es el cauldal, $r$ es el radio del tubo ( supuesto éste de sección circular ), $\mu$ es la viscosidad del fluido, $\Delta P$ es la diferencia de presión entre los extremos del tubo y $L$ es la longitud de dicho tubo. Es muy importante esta ley en medicina, al poder aplicarse a los vasos sanguíneos, por ejemplo.

Démonos cuenta que, fijados los valores de $L$ y $\Delta P$, y, por supuesto de $\mu$, el caudal es directamente proporcional a la cuarta potencia del radio del vaso; así, si se aumenta el doble el valor del radio, el caudal se multiplica por $2^4$, esto es, por $16$. Por el contrario, la obstrucción paricial de una arteria, al reducirse el radio $r$ de la misma, pongamos que en un $10\,%$ ( el nuevo radio es ahora igual a $0,9\cdot r$ ), produce lógicamente una disminución del riego sanguíneo. Veamos en qué medida. El nuevo flujo es $0,9^4 \approx 0,66$ veces menor que el flujo inicial $Q_0$, lo cual supone una tasa de variación relativa del mismo del $\dfrac{\left|0,66\cdot Q_0-Q_0\right|}{Q_0}=0,34=34\,\%$, que es muy significativa. $\square$

Arduino y RaspBerryPi

Si bien soy profesor de matemáticas en Secundaria, dada mi formación de base en Física, desde hace unos meses me he adentrado tímidamente en el mundo de Arduino, participando en un par de cursos de formación, como alumno. Arduino es una placa microcontroladora con la que se puede enseñar programación, robótica y electrónica de una forma asequible a los estudiantes de ESO y Bachillerato.

El coste del equipo es muy asequible, y, mediante placas adicionales de experimentación montadas sobre la placa de Arduino, uno puede omitir la parte de circuitería y centrarse en la programación en sí. El lenguaje nativo de programación nativo recuerda mucho al viejo C y dispone de una enorme colección de librerías. Los proyectos que se pueden llevar a cabo son incontables, robótica, domótica, electrónica, a nivel, claro está, de cada cual.

La comunidad internacional de usuarios de Arduino también va creciendo día a día, y hay que decir que tiene aplicación no sólo en el ámbito de la educación Secundaria, sino también en la Universidad y en el ámbito laboral, por no hablar del humilde -- si bien nada despreciable -- enfoque autodidacta. Pero la cosa no acaba aquí: otro dispositivo igualmente atractivo -- en el que todavía no he metido mi nariz, pero que lo haré más pronto que tarde -- es en el de la placa RaspBerryPi, que es un auténtico ordenador, reducido a lo esencial y admitiendo el aprovechamiento de periféricos de los que ya dispongamos, funciona bajo Linux.

RaspBerryPi se puede compatibilizar con Arduino, con la ventaja añadida de que el coste del aparatito es mucho más bajo que cualquier ordenador de sobremesa; además, es posible conectar varios procesadores Raspberryi, y a su vez a placas Arduino, y ésta con sensores y actuadores, posibilitando el hacer "inventos" y experimentos. El trío Arduino-RaspberryPi-Linux ( Linux es el SO nativo de RaspberryPi, como ya he comentado ) ofrece muy buenas perspectivas en el ámbito de la educación ( ya sea en ingeniería o en ciencias experimentales ): sensores, robots, programación, simulación numérica, adquisición automática de datos, etcétera. Os he puesto los enlaces de ambos para que echéis un vistazo a estas herramientas.

El hardware y el software de Arduino tienen licencia GPL, luego cualquier persona puede legalmenet realizar la manufactura de las placas basadas en Arduino así como distribuir el software. La licencia del hardware de RaspBerryPi es de propietario, pero el coste es, también, muy asequible; el sistema operativo, sin embargo, es Linux; y, como ya sabéis, el sistema operativo Linux sí es libre y abierto pues la licencia de uso del mismo es GNU.

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Relativitat gelileana

Considerem un carret que es mou en linea recta, a velocitat constat. Damunt del carro viatja una persona, que llança enlaire ( verticalment ) una pilota. ¿ Quina trajectòria ( de la pilota ) veurà un observador situat a terra i parat, davant del carret ?

La resposta es una paràbola. Vegeu la següent simulació, feta amb GeoGebra. També es interessant comentar que l'observador que es troba a terra ( en repòs ), veurà que la corba que descriu un punt de la roda del carret es una cicloide: [https://ggbm.at/UXa83tsf]

Per posar en marxa l'animació, marque els botons corresponents a les diverses observacions; desplaceu-vos al fons de la pàgina amb la barra lliscadora lateral, i activeu el botó d'engegar ( que té forma de triangle ), situal al marge inferior esquerra.
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Acerca de la precisión de la Electrodinámica Cuántica

"Si se midiera la distancia de Nueva York a Los Ángeles con la misma precisión que permite la EDC, se apreciaría el grosor de un cabello" [ Richard Feynman ]