En este artículo expongo un estudio de los procesos de carga, mediante una pila de f.e.m $\mathcal{E}$ y resistencia interna $r'$, además de una resistencia $r$ conectada en serie con el condensador. Trataré también, el proceso de descarga de dicho condensador, una vez cargado. Como veremos, los valores de la resistencia de carga, $r$, de la resistencia interna de la pila, $r'$, así como el valor de la capacidad, $C$, del condensador determinan el tiempo necesario para su carga y el perfil de las curvas exponenciales (carga del condensador, diferencia de potencial entre las placas del condensador, intensidad de corriente, y energía potencial eléctrica almacenada) que regulan este proceso. En el proceso de descarga, al desconectar la pila (con la que se ha cargado previamente el condensador) ya no interviene la resistencia interna de la misma, y, por tanto, es el valor de la resistencia, $r$ (en la que se disipa la energía del condensador al irle suministrando su carga eléctrica) y el valor de la capacidad del mismo los que determina el tiempo y el perfil de las curvas de descarga. El diseño del circuito de descarga es interesante como temporizador analógico. Es importante entender bien estos procesos, y las matemáticas ayudan mucho a ello. Juegan un papel muy importante lo que denominamos constante de tiempo (en carga o en la descarga), que es el producto de la resistencia por la capacidad del condensador (cantidad que, como su nombre sugiere, tiene dimensiones de tiempo). Antes de empezar me gustaría hacer otro comentario que me parece también muy interesante: añadiendo una bobina (asunto que no trataré aquí) en el circuito de descarga del condensador conseguiríamos un circuito oscilante en el que la energía se transfiere alternativamente del campo eléctrico al magnético y viceversa.
1. Carga del condensador
Consideremos un condensador de capacidad $C$ descargado. Nos disponemos a cargar el condensador, conectándolo en serie con una resistencia $r$ y alimentando el circuito con una pila de f.e.m $\mathcal{E}$ y resistencia interna $r'$. Por la conexión en serie, podemos operar con la resistencia quivalente $R=r+r'$. Así, la diferencia de potencial eléctrico $V(t)$ entre las placas del condensador en el el instante de tiempo $t$ es tal que $\mathcal{E}=R\,i(t)+V(t)$ (ley de Ohm), luego la intensidad de corriente de carga en el instante $t$ es $i(t):=\dfrac{dq(t)}{dt}=\dfrac{\mathcal{E}-V(t)}{R}$, siendo $q(t)$ es la carga del condensador en el instante $t$; y, como $V(t)=\dfrac{q(t)}{C}$, el proceso de carga vendrá descrito por la siguiente ecuación diferencial ordinaria $$\dfrac{\mathcal{E}-q(t)/C}{R}=\dfrac{dq(t)}{dt}$$ es decir $$\dfrac{dq(t)}{C\,\mathcal{E}-q(t)}=\dfrac{dt}{R\,C}$$
Procedamos a integrarla:
$$\int\,\dfrac{dq(t)}{C\,\mathcal{E}-q(t)}=\int\,\dfrac{dt}{R\,C}$$
$$-\ln\,(C\,\mathcal{E}-q(t))=\dfrac{t}{R\,C}+K \quad (1)$$ donde $K$ es la constante de integración, que determinamos imponiendo la condición inicial $q(0)=0$; así, $-\ln\,(C\,\mathcal{E}-0)=\dfrac{0}{R\,C}+K$, luego $K=-\ln\,(C\,\mathcal{E})$. Sustituyendo esto en (1),
$$-\ln\,(C\,\mathcal{E}-q(t))=\dfrac{t}{R\,C}-\ln\,(C\,\mathcal{E})$$ esto es $\ln\,(C\,\mathcal{E}-q(t))=-\dfrac{t}{R\,C}+\ln\,(C\,\mathcal{E})$ y por tanto $\ln\,(C\,\mathcal{E}-q(t))-\ln\,(C\,\mathcal{E})=-\dfrac{t}{R\,C}$, que podemos expresar de la forma
$\displaystyle \ln\,\left(\dfrac{C\,\mathcal{E}-q(t)}{C\,\mathcal{E}}\right)=-\dfrac{t}{R\,C}$, luego $\displaystyle \dfrac{C\,\mathcal{E}-q(t)}{C\,\mathcal{E}}=e^{-\dfrac{t}{R\,C}}$, es decir, $\displaystyle C\,\mathcal{E}-q(t)=C\,\mathcal{E}\,e^{-\dfrac{t}{R\,C}}$ y por tanto $\displaystyle q(t)=C\,\mathcal{E}-C\,\mathcal{E}\,e^{-\dfrac{t}{R\,C}}$. Es decir, la carga en las placas del condensador evoluciona (con respecto al tiempo) de la siguiente manera: $$\displaystyle q(t)=C\,\mathcal{E}\cdot \left(1-e^{-\dfrac{t}{R\,C}}\right) \quad (2)$$
Observemos que $[RC]=T$, razón por la cual denominamos a $\tau:=RC$ constante de tiempo, con el siguiente significado: si $t=\tau$, entonces la carga que almacena el condensar hasta este instante de tiempo es $$\displaystyle q(\tau)=C\,\mathcal{E}\,\left(1-e^{-1}\right)\approx 0.63\cdot (C\,\mathcal{E})$$ y como $C\,\mathcal{E}$ es la carga máxima, $q_{\text{máx}}$, que puede almacenarse, podemos afirmar que el condensador almacena el $63\,\%$ de su carga máxima cuando el proceso de carga se encuentra en el instante $t=\tau$, esto es $\dfrac{q(\tau)}{q_{máx}} \approx 0.63$.
Ahora, también podemos escribir (2) haciendo aparecer en ella la constante de tiempo, $\tau$, y la carga máxima que puede almacenar el condensador, $q_{\text{máx}}=C\,\mathcal{E}$: $$\displaystyle q(t)=q_{\text{máx}}\cdot \left(1-e^{-\dfrac{t}{\tau}}\right) \quad (3)$$ Observación: nótese que en $t=s$, $q(0)=0$, como debe ser.
Ahora, podemos calcular el tiempo necesario para cargar un determinado tanto por ciento de la carga máxima del condensador; así, por ejemplo, calculemos el tiempo necesario para cargar el condensador al $99\,\%$. De la ecuación (3), con este tanto por ciento se tiene que $0.99\cdot q_{\text{máx}}=q_{\text{máx}}\cdot \left(1-e^{-\dfrac{t}{\tau}}\right)$ —recordemos que $q_{\text{máx}}=\mathcal{E}\cdot C$— y por tanto, despejando $t$, $$t=\tau\cdot \ln\,(1-0,99) \approx 4,6\,\tau$$
Derivando la expresión de la carga (3) con respecto del tiempo, encontramos cómo varía la intensidad de corriente de carga: $$\displaystyle i(t):=\dfrac{q(t)}{dt}=\dfrac{q_{\text{máx}}}{\tau}\,e^{-\dfrac{t}{\tau}} \quad (4)$$ Nótese que la intensidad máxima se da en $t=0$; y, como se puede intuir, es igual a $i_{\text{máx}}=\dfrac{\mathcal{E}}{R}$.
En efecto,
$$i_{\text{máx}}=
\dfrac{q_{\text{máx}}}{\tau}\,e^{-\dfrac{0}{\tau}}=\dfrac{q_{\text{máx}}}{\tau}\cdot 1 =
\dfrac{q_{\text{máx}}}{\tau}=\dfrac{q_{\text{máx}}}{R\,C}=\dfrac{1}{R}\cdot \dfrac{q_{\text{máx}}}{C}= \dfrac{1}{R}\cdot \mathcal{E}=\dfrac{\mathcal{E}}{R}$$
La diferencia de potencial entre las placas del condensador en función del tiempo, de acuerdo con la ley de Ohm, viende dada por: $$\displaystyle V(t)=\mathcal{E}-R\,i(t)=\mathcal{E}-R\cdot \dfrac{q_{\text{máx}}}{\tau}\,e^{-\dfrac{t}{\tau}}\overset{\tau=RC}{=}\,\mathcal{E}\,\left( 1-e^{\dfrac{t}{\tau}}\right) \quad (5)$$
Nótese que la diferencia de potencial entre las placas del condensador mínima, esto es $0$, se da cuando $t=0$ (al inicio del proceso de carga); y, como debe ser, es igual a $\mathcal{E}$. En efecto,
$$V_{\text{mín}}=\mathcal{E}\,\left( 1-e^{\dfrac{0}{\tau}}\right)=\mathcal{E}\,(1-1)=0$$
Por otra parte, la d.d.p (entre las placas del condensador) és máxima, y por tanto igual a $\mathcal{E}$, al final del proceso de carga; en efecto, $$V_{\text{máx}}=\displaystyle \lim_{t \to\, +\infty}\,V(t)=\lim_{t \to\, +\infty}\,\mathcal{E}\,\left( 1-e^{\dfrac{t}{\tau}}\right)=\mathcal{E}\cdot (1-0)=\mathcal{E}$$
La energía almacenada en el condensador en el instante $t$ durante el proceso de carga se calcula teniendo en cuenta que la diferencia de potencial (d.d.p) entre las placas del condensador en un instante de tiempo $t$ viene dada por $V(t):=\dfrac{dE(t)}{dq(t)}$, y por tanto $$dE(t)=V(t)\,dq(t)$$ Diferenciando la expresión (2), vemos que $dq(t)=i(t)\,dt=\dfrac{\mathcal{E}\,C}{\tau}\, e^{-\dfrac{t}{\tau}}\,dt=\dfrac{\mathcal{E}}{R}\, e^{-\dfrac{t}{\tau}}\,dt$.
Entonces, $dE(t)=V(t)\,dq(t) = \mathcal{E}\,\left( 1-e^{\dfrac{t}{\tau}}\right) \cdot \dfrac{\mathcal{E}}{R}\, e^{-\dfrac{t}{\tau}}\,dt = \dfrac{\mathcal{E}^{2}}{R}\,\left( e^{-\dfrac{t}{\tau}} - e^{-\dfrac{2t}{\tau}} \right)\,dt$, con lo que, integrando en ambos miembros,
$$\displaystyle E(t)= \dfrac{\mathcal{E}^{2}}{R}\,\int\,( e^{-\dfrac{t}{\tau}} - e^{-\dfrac{2t}{\tau}})\,dt+K=\dfrac{\mathcal{E}^{2}}{R}\,\left(-\tau\,e^{-\dfrac{t}{\tau}}+\dfrac{\tau}{2}\,e^{-\dfrac{2t}{\tau}}\right)+K=$$
$$\overset{\tau=RC}{=} \dfrac{\mathcal{E}^{2}\,C}{2}\,\left( -2\,e^{-\,\dfrac{t}{\tau}}+e^{-\dfrac{2t}{\tau}} \right)+K$$
Para poder determinar la constante de integración, imponemos la condición inicial $E(0)=0$, por lo que $0 =\dfrac{\mathcal{E}^{2}\,C}{2}\,\left( -2\,e^{-\,\dfrac{0}{\tau}}+e^{-\dfrac{2\cdot 0}{\tau}} \right)+K$, esto es, $0=\dfrac{\mathcal{E}^{2}\,C}{2}\,(-2\cdot e^0+e^0)+K=\dfrac{\mathcal{E}^{2}\,C}{2}\,(-2\cdot 1 +1)+C=-\dfrac{\mathcal{E}^{2}\,C}{2}+K$, luego $K=\dfrac{\mathcal{E}^{2}\,C}{2}$, y por tanto, sustituyendo la constante por su valor: $$\displaystyle E(t)= \dfrac{\mathcal{E}^{2}\,C}{2}\,\left(e^{-\dfrac{2t}{\tau}} -2\,e^{-\,\dfrac{t}{\tau}} \right)+\dfrac{\mathcal{E}^{2}\,C}{2}=\dfrac{\mathcal{E}^{2}\,C}{2}\,\left( e^{-\dfrac{2t}{\tau}} - 2\,e^{-\dfrac{t}{\tau}} +1\right)$$
La energía potencial eléctrica máxima que adquiere el condensador corresponde al final del proceso de carga, esto es $$\displaystyle E_{\text{máx}}=\lim_{t \to\, +\infty}\,E(t)= \lim_{t \to\, +\infty}\,\dfrac{\mathcal{E}^{2}\,C}{2}\,\left( e^{-\dfrac{2t}{\tau}} - 2\,e^{-\dfrac{t}{\tau}} +1\right) = \dfrac{\mathcal{E}^{2}\,C}{2}\,\lim_{t \to\, +\infty}\,\left( e^{-\dfrac{2t}{\tau}} - 2\,e^{-\dfrac{t}{\tau}} +1\right)=$$
$$=\dfrac{\mathcal{E}^{2}\,C}{2}\,\left( e^{-\infty} - 2\,e^{-\infty} +1\right)=\dfrac{\mathcal{E}^{2}\,C}{2}\,(0+0+1)=\dfrac{\mathcal{E}^{2}\,C}{2}$$
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2. Descarga del condensador, una vez completamente cargado
Una vez cargado el condensador, $C$, vamos a imaginar que iniciamos el proceso de descarga. Para ello, desconectamos la fuente de alimentación, y cerramos el circuito resultante formado por la resistencia, $r$, y el condensador (cargado con la carga $q_{\text{máx}}$). A través de la resistencia $r$ se disipará la energía potencial eléctrica almacenada en el condensador. Procedamos a describir este proceso.
En el proceso de descarga, se tiene que $i(t)=-\dfrac{dq(t)}{dt}$; y, por la ley de Ohm, podemos escribir $\dfrac{dq(t)}{dt} \propto V(t)$. Teniendo en cuenta, además, que la diferencia de potencial entre las placas del condensador es igual a $V(t)=\dfrac{q(t)}{C}$ y la ley de Ohm, $$\dfrac{dq(t)}{dt}=-\dfrac{1}{r}\cdot \dfrac{q(t)}{C}$$
Ecuación diferencial que podemos escribir separando las variables, $$\dfrac{dq(t)}{q(t)}=-\dfrac{1}{rC}\,dt$$ y podemos integrar fácilmente
$$\int\,\dfrac{dq(t)}{q(t)}=\int\,-\dfrac{1}{rC}\,dt$$
$$\ln\,q(t)=-\dfrac{1}{rC}\,t+K'$$
Para determinar la constante de integración, $K'$, imponemos la condición inicial $q(0)=q_{\text{máx}}=\mathcal{E}\,C$ (recordemos que $R=r+r'$, siendo $\mathcal{E}$ la f.e.m de la fuente de alimentación con la que, previamente, se ha cargado, y $r'$ su correspondiente resistencia interna.
Entonces, $\ln\,q(0)=-\dfrac{1}{rC}\cdot 0 +K'$ y por tanto $K'=\ln\,q_{\text{máx}}=\ln\,(\mathcal{E}\,C)$, con lo cual, llegamos a $$\ln\,q(t)=-\dfrac{1}{rC}\,t+\ln\,(\mathcal{E}\,C)$$ esto es $$\ln\,q(t)-\ln\,(\mathcal{E}\,C)=-\dfrac{1}{rC}\,t$$ que podemos expresar de la forma
$$\ln\,\dfrac{q(t)}{\mathcal{E}\,C}=-\dfrac{1}{rC}\,t$$ con lo cual vemos que la variación de la carga del condensador evoluciona (yendo a menos, claro) de la forma:
$$\displaystyle q(t)=\mathcal{E}\,C\, e^{-\dfrac{1}{rC}\,t}$$ o lo que es lo mismo,
$$\displaystyle q(t)=q_{\text{máx}}\, e^{-\dfrac{1}{rC}\,t}$$ Teniendo en cuenta que las dimensiones de $rC$ son de tiempo ($[rC]=T$), entendemos esta cantidad como la constante de tiempo en la descarga: $\tau':=rC$ y, por tanto, también podemos escribir que
$$\displaystyle q(t)=q_{\text{máx}}\, e^{-\dfrac{1}{\tau'}\,t} \quad (6)$$ Nota: Si $r'\ll r$, entonces $\tau' \approx \tau$ (constante de tiempo en el proceso de carga) y por tanto, $$\displaystyle q(t)\approx q_{\text{máx}}\, e^{-\dfrac{1}{\tau}\,t}$$
El significado que podemos dar a la constante de tiempo de descarga del condensador, $\tau'$, es el siguiente: en el instante $t=\tau'$, la carga almacenada en el condensador es aproximadamente igual al $37\,\%$ de la carga máxima (la que tenía el condensador al haberlo cargado completamente); en efecto, $\displaystyle q(\tau')=q_{\text{máx}}\, e^{-\dfrac{\tau'}{\tau'}\,t}=q_{\text{máx}}\, e^{-1}=\dfrac{q_{\text{máx}}}{e}\approx 0.37\cdot q_{\text{máx}}=0.37\cdot C\,\mathcal{E}$
Derivando la expresión de la carga (6) con respecto del tiempo, encontramos cómo varía la intensidad de corriente de descarga: $$\displaystyle i(t)\overset{\text{descarga}}{:=}-\dfrac{q(t)}{dt}=\dfrac{q_{\text{máx}}}{\tau'}\,e^{-\dfrac{t}{\tau'}}=\dfrac{\mathcal{E}}{r}\,e^{-\dfrac{t}{\tau'}} \quad (7)$$
Nota: La intensidad máxima se da en el instante en que se inicia la descarga ($t=0$), $i_{\text{máx}}=\dfrac{\mathcal{E}}{r}\,e^{0}=\dfrac{\mathcal{E}}{r}\cdot 1=\dfrac{\mathcal{E}}{r}$, como cabía esperar.
Y, por la ley de Ohm, multiplicando por $r$ la expresión (7), llegamos a la expresión de la variación de la diferencia de potencial entre las placas del condensador a medida que éste se va descargando: $$\displaystyle V(t):=r\cdot i(t)=r\cdot \dfrac{\mathcal{E}}{r}\,e^{-\dfrac{t}{\tau'}}=\mathcal{E}\,e^{-\dfrac{t}{\tau'}} \quad (8)$$ Obsérvese que la diferencia de potencial máxima en el proceso de descarga se da, lógicamente, en el instante en que se inicia la descarga ($t=0$) y, como cabe esperar, es igual a $\mathcal{E}$; en efecto, $V_{\text{máx}}=\mathcal{E}\,e^{0}=\mathcal{E}\cdot 1=\mathcal{E}$.
Voy a calcular ahora la potencia, $P(t)$, que se disipa en la resistencia, $r$, en un instante de tiempo $t$ del proceso de descarga: $$P(t)=r\cdot (i(t))^2=r \cdot \left( \dfrac{\mathcal{E}}{r}\,e^{-\dfrac{t}{\tau'}} \right)^2=\dfrac{\mathcal{E}^2}{r}\,e^{-\dfrac{2t}{\tau'}} \quad (9)$$
La potencia máxima se da en el instante inicial de la descarga, en $t=0$ (función exponencial decreciente), y es igual a $P_{\text{máx}}=\dfrac{\mathcal{E}^2}{r}\,e^{-\dfrac{2\cdot 0}{\tau'}} = \dfrac{\mathcal{E}^2}{r}\cdot 1 = \dfrac{\mathcal{E}^2}{r}$. Habrá que tenerla en cuenta al elegir la resistencia $r$, pues tiene que soportar este valor de potencia; de no ser así, quedaría inutilizada.
Para calcular la energía disipada, en la resistencia, $r$, durante el proceso de descarga, entre dos instantes de tiempo $t_1 \ge 0$ y $t_2 \gt t_1$ —teniendo en cuenta que $P(t):=\dfrac{dE(t)}{dt}$, y por tanto, $dE(t)=P(t)\,dt$, con lo cual $\displaystyle E(t)=\int\,P(t)\,dt+C$—, deberemos calcular la integral definida $$\displaystyle E_{(t_1,t_2)}=\int_{t_1}^{t_2}\,\dfrac{\mathcal{E}^2}{r}\,e^{-\dfrac{2t}{\tau'}}\,dt \quad \quad (10)$$
La energía (total) disipada en la resistencia $r$ una vez terminado el proceso de descarga ha de ser igual a la energía potencial eléctrica almacenada en el condensador, que hemos visto (en el proceso de carga) que es igual a $E_{\text{pot}}=\dfrac{1}{2}\,\mathcal{E}^2\cdot C$. En efecto, de (10), haciendo $t_1=0$ se tiene que $\displaystyle E_{\text{dis}}=\lim_{t_2 \to \,+\infty}\,\int_{0}^{t_2}\,\dfrac{\mathcal{E}^2}{r}\,e^{-\dfrac{2t}{\tau'}}\,dt=\lim_{t_2 \to \,+\infty}\,\dfrac{\mathcal{E}^2}{r}\left[ -\dfrac{\tau'}{2}\,e^{-\dfrac{2t}{\tau'}} \right]_{0}^{t_2}=\lim_{t_2 \to \,+\infty}\,\dfrac{\mathcal{E}^{2}\cdot \tau'}{2\,r}\,\left( e^{-\dfrac{2\,t_2}{\tau'}} - e^{-\dfrac{2\cdot 0}{\tau'}}\right)=$
$\displaystyle\overset{\tau'=r\cdot C}{=}\,\, -\dfrac{\mathcal{E}^{2}\, C}{2}\,\lim_{t_2 \to \,+\infty}\,\left( e^{-\dfrac{2\,t_2}{\tau'}} - 1\right)=-\dfrac{\mathcal{E}^{2}\cdot C}{2}\,\left( 0 - 1\right)=\dfrac{\mathcal{E}^{2}\,C}{2}$
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Referencias:
[1] J.M. Fernández; M.P. Pujal, Iniciación a la Física, Reverté, Barcelona, 1991.
[2] P. Alcalde, Electrónica aplicada, Paraninfo, Madrid, 2020.
[3] P. Alcalde, Electrotecnia, Paraninfo, Madrid, 2020.
