Bolas, urnas, y física estadística

ENUNCIADO. ¿ De cuántas maneras podemos distribuir $n$ monedas idénticas entre $N$ personas ? ¿ De cuántos maneras podemos distribuir $n$ lápices de colores ( todos distintos ) entre $N$ niños ?.

SOLUCIÓN. Un problema análogo al formulado en la primera pregunta es el de distribuir $n$ bolas idénticas en $N$ urnas ( ver el artículo de historia de la ciencia sobre el físico Paul Ehrenfest, en [1] ), que identificamos como un problema de combinaciones con repetición, lo cual suele escribirse de la forma $\text{CR}_{N,n}$ ( o, también, $\left(\binom{N}{n}\right)$, y cuya solución es $\dfrac{(n+(N-1))!}{(N-1)!\,n!}$, expresión que podemos escribir también en forma de números combinatorios $\displaystyle \binom{n+(N-1)}{N-1}=\binom{n+(N-1)}{n}$. En la forma que adopta el problema cuando hablamos de monedas a distribuir entre un determinado número de personas, démonos cuenta de que lo importante no es qué monedas tendrá ( podríamos pensar en una marca que distinga una moneda de otra ) cada persona sino cuántas tiene ( la cuantía de dinero ) que tiene. En lugar de monedas, podríamos buscar un símil físico en términos de energía: las monedas vendrían a ser cuantos de energía, que se distribuyen entre los estados del sistema ( en lugar de entre las personas, en el caso de las monedas ). Así es como se describe estadísticamente un colectivo de partículas cuánticas como, por ejemplo, un gas de fotones, o un gas de electrones, considerando las características cuánticas de los mismos.

La segunda pregunta del enunciado es también análoga al siguiente problema: Si en lugar de entender las bolas como idénticas unas de otras, hacemos uso de algo que las distinga, como por ejemplo un número distinto grabado en cada bola, el número de maneras de distribuir estas $n$ bolas entre $N$ urnas, supone tener en cuenta ahora el orden en que colocamos las bolas, este problema es de variaciones con repetición de $N$ objetos ( las urnas ) tomados en grupos de $n$ elementos ( las bolas ), y, por tanto su solución es $VR_{N,n}=N^n$. En términos de distribución de energía en estados ( de energía ) esto lleva al modelo de un gas clásico de electrones ( sin atender a las características cuánticas del electrón ).

No es de extrañar, por tanto, que los esquemas o modos de distribución de "bolas en urnas" tengan tanta importancia en física estadística.

Referencias:
[1] E. PÉREZ CANALS, "Paul Eherenfest". Revista de Física, 30 ( 2016 ), 60-69.
[2] L. NAVARRO, Einstein, profeta y hereje ( Tusquets, 2009). Primera edición de 1990.
[3] R. FEYNMAN, et. al., The Feynman Lectures on Physics, Mainly Mechanics, Radiations and Heat, Volume 1. ( Pearson Educación, 1998 ). Versión original y primera impresión de Addison-Wesley, 1963.

$\square$

Moviment relatiu ( a un observador parat a terra ) d'una pilota llançada verticalment des d'un carret en moviment uniforme

Considerem un carret que es mou en linea recta, a velocitat constat. Damunt del carro viatja una persona, que llança enlaire ( verticalment ) una pilota. ¿ Quina trajectòria ( de la pilota ) veurà un observador situat a terra i parat, davant del carret ?

La resposta es una paràbola. Vegeu la següent simulació, feta amb GeoGebra. També es interessant comentar que l'observador que es troba a terra ( en repòs ), veurà que la corba que descriu un punt de la roda del carret es una cicloide: [https://ggbm.at/UXa83tsf]

Per posar en marxa l'animació, marque els botons corresponents a les diverses observacions; desplaceu-vos al fons de la pàgina amb la barra lliscadora lateral, i activeu el botó d'engegar ( que té forma de triangle ), situal al marge inferior esquerra.
$\square$

Chopin: Préludes Op. 28, n. 4 en E minor - Largo

Lentes que enfocan sin cambiar la forma ni la posición física

Interesante reseña de Madrid+d que habla de estas lentes experimentales

Curiosidades acaso un poco más acá de la Ciencia Ficción. ¿Puede hacerse realidad la construcción de motores de curvatura?

En este artículo de Madri+d se dan interesantes noticias sobre ello.

Els models matemàtics de Lotka-Volterra

A [1] i a [2] podeu llegir un parell d'articles introductoris sobre aquesta famosa equació que vaig escriure a mode de resum de les notes que vaig prendre i dels càlculs que vaig fer amb el programa DERIVE 6.1 quan vaig abordar el tema fent alguns exercicis, a partir de la lectura d'alguns llibres que es poden considerar com a clàssics en la matèria. L'equació logística (o funció logística) és una de les primeres equacions discretes on es va constatar la presència de caos determinista. L'equació expressa també un model clàssic de la dinàmica d'una població de creixement auto limitat en biologia matemàtica que va ser formulada per primera vegada per Pierre François Verhulst el 1838 i retrobada a posteriori per per Alfred J. Lotka (especialment conegut pels treballs conjunts amb Vito Volterra: equacions de Lotka-Volterra), tant és així que, de vegades, l'equació es cita com a equació de Verhulst-Lotka. Actualment, per altra banda, l'estudi de l'equació logística és també un dels passos obligats per qui comença l'estudi dels sistemes dinàmics i fenòmens no lineals. fotografia de Pierre. F. Verhulst. Crèdit:Wikipedia crèdits de la fotografia de Vito Volterra: http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/BigPictures/Volterra_6.jpeg Els càlculs els vaig fer amb el programa DERIVE 6.1, un eina especialment encarada al càlcul amb funcions recursives. Les figures que he posat a sota mostren tres comportaments quant a la solució i el procés numèric recursiu per trobar-la els quals estan en funció del valor inicial de partida amb què es comença el procés recursiu i també, és clar, del valor del paràmetre d'estructura de l'equació. La primera mostra la presència d'un cicle al voltant d'un valor al qual no s'hi acaba d'arribar mai; la tercera, caos; i la sogona, una convergència estable. A sota podeu veure el programa escrit amb el llenguatge propi de DERIVE que consta d'una funció recursiva amb els corresponents arguments que figuren entre parèntesi, així com una mostra de com s'engega la funció amb el valor dels arguments. La funció es crida a ella mateixa n vegades, valor que entrem quan engeguem la funció, juntament amb el valor del paràmetre d'estructura a, i el valor inicial de x.

Les piles de combustible ( piles d'hidrògen )

El hidrógeno y los motores eléctricos Hay dos maneras de utilizar el hidrógeno para obtener la energía que mueva el motor (de un vehículo, por ejemplo). Una de ellas, la más explosiva - nunca mejor dicho -, consiste en utilizar el hidrógeno (por ejemplo a partir del propergol) como combustible en un motor de combustión, además del oxígeno, claro, como comburente. Dichos motores son propios de cohetes para situar una nave espacial en órbita, no de otro tipo de vehículos. Son muchos los problemas de este tipo de motor, el principal es su peligrosidad por la posibilidad de explosionar el hidrógeno, su alto consumo de combustible y su alto nivel de ruido, principalmente su peligrosidad, puesto que además, una vez iniciada la reacción no se puede detener hasta haber agotado el combustible. Los motores eléctricos de pila de hidrógeno. La otra forma de utilizarlo, sin explosiones, sin gases contaminantes ni altas temperaturas, se basa en la obtención de una corriente eléctrica a partir de una reacción de oxidación-reducción que, como únicos reactivos, requiere hidrógeno y oxígeno. Dicha reacció proporciona energía eléctrica que luego, de forma ya muy conocida, se convierte en energía mecánica mediante un motor eléctrico. Muy probablemente los motores de combustión y los motores de explosión estén llamados a ir dejando paso a esta nueva generación de sistemas de propulsión. Así mismo, la pila de hidrógeno puede utilizarse para almacenar energía (química), facilmente convertible en eléctrico cuando la necesitemos; es por ello que en un futuro, posiblemente incluso llegue a sustituir las baterías convencionales, algunas de ellas muy contaminantes (por su contenido en metales pesados: niquel, cadmio, mercurio, plomo). Dichos dispositivos reciben nombres equivalentes: "pila de hidrógeno", "celdas de combustible", o "pilas de combustible", entre otras. Una celda de combustible consiste básicamente en una membrana catalizadora (actualmente suele ser polímerica) conductora de protones (iones de hidrógeno cargados positivamente) que separa el ánodo del cátodo y hace las veces de electrolito. Para que esto funcione se necesita, como reactivos, hidrógeno y oxígeno (el contenido en el aire del ambiente). Los electrodos, ánodo y cátodo, a diferencia de los de una batería que reaccionan y cambina, en una pila de combustible son catalíticos - propician la reacción pero no intervienen en ella, luego, son, en principio, estables químicamente. En el lado del ánodo, el hidrógeno esparcido en el catalizador se disocia en protones y electrones. Los primeros van a parar al cátodo, a través de la membrana de polímero conductor que hace las veces de electrólito, y los electrones circulan por el circuïto externo (he aquí la corriente eléctrica que movera el motor (eléctrico, claro). Por otra parte, en el cátodo, los protones reaccionan con las moléculas de oxígeno del aire, dando como producto de la reacción vapor de agua y, claro, calor. El rendimiento de una pila de combustible que funcione con hidrógeno (70 ) suele ser más bajo que el de una batería convencional (90 ), pero las ventajas son evidentes (contaminación - por lo menos en cuanto a la reacción en sí se refiere - nula y motores más limpios y silenciosos). Cada pila (celda) de combustible crea una tensión de 0,8 V, aproximadamente. Por lo tanto se suelen agrupar en serie para obtener la tensión necesaria para mover un motor eléctrico. Hay muchas esperanzas depositadas en esta tecnología, en especial, atendiendo los efectos paliativos del cambio climático originado por las sociedades humanas tecnificadas. Cómo almacenar el hidrógeno en un vehículo ? Por supuesto, el almacenamiento del hidrógeno es uno de los procesos clave. El hidrógeno se encuentra en estado gaseoso en condiciones normales de presión y temperatura. Hasta ahora, se ha almacenado el hidrógeno licuado, con lo que, para ello se requiere muy alta presión. A bordo del vehículo, ello entraña peligro, coste y dificultades. Uno de los objetivos es precisamente coseguir almacenar el hidrógeno de forma que puedan evitarse estos importantes problemas. Ya de por sí, tal cosa sería inviable en determinados tipos de vehículos (un automovil o una pequeña embarcación, por ejemplo). Pero, hay otra forma de hacerlo: la adsorción de hidrógeno entre las moléculas de nuevos materiales (nanoporosos). Muchos equipos de investigación en Ciencias de Materiales están persiguiendo este objetivo. Se está investigando con materiales compuestos de carbón activado, zeolitas y arcillas apilaradas. Estos materiales cumplen cuatro requisitos: tienen resistencia mecánica y son seguros, además de ser ligeros y barato. Se utilizaron ya las pilas de combustible en el proyecto Apolo (NASA) que llevó al ser humano a pisar la Luna hace ya casi 40 años (en concreto la pila AFC, acrónimo de "alkaline fuell cell", sin embargo, su auge se ha visto enlentecido por directrices económicas y políticas que gobiernan el mundo. Existen ya submarinos que están provistos de pilas de combustible y que les conceden una gran autonomia y habitabilidad. Visto como va todo en lo que se refiere a la necesidad de reducir las emisiones de dióxido de carbono a la atmosfera, parece probable que las celdas de combustible sustituirán también a las baterías convencionales en un futuro no muy lejano de forma generalizada, con lo cual se reducirá la contaminación por metales pesados (plomo, cadmio, mercurio ...), materiales que en las baterías y pilas convencionales se usan como electrodos y que, claro, se alteran químicamente. El hidrógeno puede obtenerse de la disociación de la molécula de agua, invirtiendo energía de otras fuentes; de ahí, por ejemplo, los paneles de células fotovoltaicas que haría las veces de "gasolinera" para las celdas de combustible al ayudar a suministrar la energía necesaria para romper las moléculas de agua e ir llenando así el depósito de hidrógeno. También se puede obtener el hidrógeno de otras moléculas que lo contengan - diesel, metanol, etcétera -, pero claro, en ese caso, hay otros productos de reacción, como por ejemplo, el dióxido de carbono. En cualquier caso, todo esto, amigos, tiene mucho futuro, especialmente, si pensamos en aplicarlo a los motores auxiliares de nuestros veleros. Queda, por supuesto, mucho camino por recorrer.