Catenaria

Valle del Lozoya, verano de 2021

Las espirales en las estructuras de la vida

Altafulla, 2012

¿Y el tiempo? ¿Qué es?

Madrid, primavera de 2013

Acerca de la velocidad a la que se propaga una señal eléctrica a través de un conductor

Los portadores de carga en un conductor son los electrones libres, como ya sabemos. Estos se mueven lentamente, su velocidad depende claro está de la sección del conductor y de la naturaleza particular de éste. Esta velocidad es de unos milímetros por segundo; sin embargo, las señales eléctrica que transmitimos a través del conductor se desplazan a enormes velocides, tal y como podemos comprobar cuando nos comunicamos por mensajería electrónica (en «tiempo real») con otra persona. ¿Cómo podemos explicar esta aparente contradicción?.

Este hecho nos causa una compresible sorpresa, y la explicación es bien simple: el conductor está repleto de electrones libres, y unos empujan a otros al someter al conductor a un campo eléctrico electromagnético. Sucede algo análogo cuando en un vagón de metro repleto de viajeros en contacto entre sí, en el extremo del mismo un empujón que una viajero da a otro en la dirección del eje del vagón se transmite rápidamente a otra persona situada en el otro extremo del vagón; la velocidad de desplazamiento de los viajeros es muy pequeña, pero el efecto del empujón se transmite muchísimo más rápido. Así que, dicho esto, ya sabemos a qué velocidad se desplaza una señal: a la velocidad de la luz (trescientos mil kilómetros por segundo, aproximadamente), habida cuenta de que estamos hablando de señales electromagnéticas. $\diamond$

¿Qué es un álgebra de Clifford?

La estructura general de álgebra sobre un cuerpo $K$ —no debemos confundir la noción de K álgebra de la que hablo aquí con lo que se entiende por «álgebra» de Boole, la estructura (esencialmente un retículo distributivo) tan familiar en el cálculo de probabilidades y también en electrónica digital y lógica de primer orden—, da lugar a álgebras específicas que son de gran utilidad en Física Teórica. Dado un espacio lineal (espacio vectorial) $V$ sobre un cuerpo $K$ y una forma cuadrática $Q$ sobre $V$, un álgebra de Clifford se define sobre $T(V)/I(V)$, donde $T(V)$ es un álgebra tensorial sobre $V$ e $I(V)$ es un ideal particular de $T(V)$. Los espinores son vectores de dos componentes con los que se pueden describir tanto los fermiones como los bosones. Dichos objetos matemáticos se manejan mediante las álgebras de Clifford. Con las algebras tensoriales (véase la noción de tensor así como las de cálculo tensorial y álgebra tensorial) que no sean de Clifford pueden manejarse los bosones, pero no los fermiones. $\diamond$

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Referencias:
[1] vv.aa., Estructuras algebraicas (de la Wikipedia en inglés): https://en.wikipedia.org/wiki/Algebraic_structure
(para dar un vistazo general)
[2] vv.aa., Estructura de grupo: https://es.wikipedia.org/wiki/Grupo_(matemática)
[3] vv.aa., Estructura de anillo: https://es.wikipedia.org/wiki/Anillo_(matemática)
[4] vv.aa., Estructura de un ideal de un anillo: https://es.wikipedia.org/wiki/Ideal_(teoría_de_anillos)
[5] vv.aa., Estructura de cuerpo K: https://es.wikipedia.org/wiki/Cuerpo_(matemáticas)
[6] vv.aa., Estructura de espacio vectorial (o espacio lineal): https://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_vectorial
[7] vv.aa., Estructura de álgebra sobre un cuerpo K: https://es.wikipedia.org/wiki/Álgebra_sobre_un_cuerpo
[8] vv.aa., Tensores y aplicaciones multilineales: https://es.wikipedia.org/wiki/Tensor

[9] vv.aa., Cálculo tensorial: https://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_tensorial

[10] vv.aa., Estructura de álgebra tensorial: https://es.wikipedia.org/wiki/Álgebra_tensorial
[11] vv.aa., Forma cuadrática: https://es.wikipedia.org/wiki/Forma_cuadrática
[12] vv.aa., Estructura de álgebra de Clifford: https://es.wikipedia.org/wiki/Álgebra_de_Clifford
[13] vv.aa., Espinores: https://es.wikipedia.org/wiki/Espinor
[14] WolframMathWorld, Clifford's Algebra: https://mathworld.wolfram.com/CliffordAlgebra.html

¿Construye la la Naturaleza sus estructuras únicamente con procedimientos de «regla y compás»?

la geometría de «regla y compás» —la de la geometría en la que se fundamenta la antigua matemática griega— es la geometría euclídea, y seguimos utilizándola para muchas cosas; aunque ni mucho menos para todo. Nuestra experiencia sensorial tiende a hecernos pensar que esa geometría es la que rige la realidad. Se sabe, por ejemplo, que algunas espirales pueden construirse con procedimientos de «regla y compás», tal es el caso de la espiral de Durero —construída mediante la iteración de rectángulos áureos— sin embargo, otras no, como la espiral de Arquímedes —su tasa de crecimiento radial es igual a la de crecimiento angular—, y la espiral logarítmica —espiral que crece manteniendo la abertura angular constante, y que se parece a la e. de Durero, si bien no es la misma—. ¿Será, por tanto, que, por ejemplo, en relación a las estructuras de crecimiento naturales —ya sean éstas de tipo espiral o bien de cualquier otro tipo como son las fractales— que la Naturaleza construye sus estructuras únicamente con procedimientos de «regla y compás»? ¿Son todas las demás tan sólo meras invenciones de una mente matemática?.

Veamos que no es así. Obsevando no sólo las estructuras biológicas a ojo desnudo, podemos comprobar que la Naturaleza no se restringe a las geometrías euclídeas. La Física nos enseña que en el Universo no todo puede explicarse mediante la geometría euclídea. Así por ejemplo, el camino que seguimos al movernos con un rumbo fijo que forme un cierto ángulo con los meridianos describe una espiral sobre la superficie de una esfera —entendemos la superficie de la Tierra como casi esférica— que se estrecha progresivamente hasta llegar a uno de los dos polos de la Tierra. A dicha curva en una superficie esférica la llamomos loxodrómica. Y, desde luego, la Naturaleza no puede construirla con procedimientos de regla y compás, pues la geometría euclídea no sirve ya para describir este tipo de curvas, que, por supuesto, también son curvas naturales, tanto como pueda serlo la espiral del caparazón del Nautilus (una espiral de Durero). Tampoco se puede construir con regla y compás el camino de longitud mínima entre dos puntos de una superficie esférica, a la que llamamos ortodrómica.

Acabo de mencionar un par de ejemplos de sistuaciones en las que no basta la geometría euclídea, y los que debemos recurrir a gemetrías no euclídeas, como es el caso de la superficie de una esfera; y podemos pensar en muchos otras formas en las que no podemos usar esa geometría basada en la regla y el compás; en general, no es válida para otras superficies que no sean «planas». Podríamos hablar también de otro ejemplo en el que no rige la geometría euclídea: la superficie del espacio-tiempo cuatridimensional de la Relativad General de Einstein, mediante el cual describimos la gravedad no como una fuerza en el sentido newtoniano sino como la deformación de ese tejido espacio-temporal por parte toda masa/energía. Es otro claro ejemplo de la necesidad de recurrir a otra geometría no euclídea para entender cómo funciona la Naturaleza.

Así pues, parece ser que la respuesta a la pregunta que nos hacemos en el título de este artículo es negativa: la Naturaleza, no se limita a la regla y al compás; necesitamos otras geometrías «no planas» para entenderla. $\diamond$

-oOo- Referencias:
[1] vv.aa., Los secretos del infinito, Ilus Books, Barcelona, 1012
[2] vv.aa., La espiral dorada: https://es.wikipedia.org/wiki/Espiral_dorada, Wikipedia
[3] vv.aa., La espiral logarítmica: https://es.wikipedia.org/wiki/Espiral_logarítmica, Wikipedia
[4] vv.aa., La espiral de Arquímedes, https://es.wikipedia.org/wiki/Espiral_de_Arquímedes, Wikipedia
[5] vv.aa., La espiral de Arquímedes: https://es.wikipedia.org/wiki/Espiral_de_Arquímedes, Wikipedia
[6] vv.aa., Loxodrómica: https://es.wikipedia.org/wiki/Loxodrómica
[7] vv.aa., Ortodrómica: https://es.wikipedia.org/wiki/Ortodrómica
[8] vv.aa., El espacio-tiempo de la relatividad general: https://es.wikipedia.org/wiki/Espacio-tiempo
[9] vv.aa., Fractales: https://es.wikipedia.org/wiki/Fractal, Wikipedia

Modelos matemáticos de la transmisión de enfermedades infecciosas

La necesidad de prever la evolución de una pandemia es crucial a la hora de poder disponer de los medios sanitarios necesarios para atender a la población infectada.

La modelización matemática, así como el estudio de las simetrías geométricas en el caso de los virus, y la elaboración e implementación de los modelos computacionales sobre los aspectos biofísicos de los microorganismos infecciosos (física de membranas y proteínas), y el trabajo experimental en esta dirección —véase la raeferencia [3]— pueden ayudar a encontrar medicamentos que permitan encontrar vacunas (Wikipedia) eficaces, y acaso también vacunas inmunizantes.
  Las dos conferencias referidas abajo —vénase las raeferencias [1] y [2]— se centran principalmente en la exposición de diversos modelos matemáticos de transmisión de enfermedades infecciosas en una población, tales como el ya veterano modelo SIR —consistente en el plateamiento y resolución de un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias— y los diversos modelos derivados de éste, tales como el modelo SEIR. También se habla de los modelos basados en el estudio de series temporales, y de los modelos estocásticos, como por ejemplo los basados en cadenas de Markov.
  Para dar un vistazo al estado actual de la investigación en estos (y otros) campos se sugiere la consulta en el repositorio de prepublicaciones científicas arXiv.org.

Nota:
SE me ocurre que puede ser importante el tener en cuenta que, con respecto a los modelos predictivos basados en ecuaciones diferenciales (SIR, SEIR, y otros), su implementación computacional podría presentar sensibilidad extrema a las condiciones iniciales, esto es, lo que viene a denominarse caos determinista (Wikipedia), tal y como sucede, por ejemplo, con el célebre sistema de ecuaciones diferenciales de Lorenz para la predicción computacional en meteorología.

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Para saber más...
  Materiales de divulgación en vídeo (conferencias):
    [1] Manuel de León (matemático): Las matemáticas de la pandemia (grabación de la conferencia, disponible en el canal de YouTube de la Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales)
    [2] Carlos Pena (físico teórico): Física de partículas en la lucha contra la pandemia (grabación de la conferencia, disponible en el canal de YouTube del Instituto de Física Teórica)
  Materiales de divulgación en vídeo sobre algunas investigaciones relevantes en biofísica acerca del estudio de proteínas y membranas:
    [3] varios autores: Acerca de la investigación en membranas y proteínas (Presentación de las actividades de investigación en biofísica del Centro de Física de la Materia Condensada de la UAM