Algunas cosas básicas sobre los fenómenos ondulatorios

En un medio, independientemente de su naturaleza, y en el que se ha generado una perturbación, ocurre que, mediante fenómenos ondulatorios, se transporta energía sin que haya una traslación neta de las partículas del medio en la dirección de la propagación de la onda.

Ondas en medios materiales: ondas transversales y o. longitudinales

Puede suceder que la oscilación de las partículas alrededor de su centro de equilibrio sea perpendicular a la dirección en que se propaga la perturbación —hablaremos entonces de ondas transversales—, o bien que la vibración/oscilación se produzca en la misma dirección que la de la propagación de la perturbación, en cuyo caso hablaremos de ondas longitudinales.

Las ondas transversales y su ecuación de onda.

Ejemplos de propagación de una perturbación del medio por ondas transversales son el de las ondas que se producen en la superficie de un estanque al lanzar una piedra, o el de las olas en el mar. Si bien, como ya se ha dicho, la ola no transporta materia en el sentido de avance de la misma, sí que hay un movimiento local de las partículas del medio, cada una de las cuales sigue una trayectoria circular alrdedor de la posición de equilibrio.

Si consideramos el punto $P$ en el que impacta la piedra en la superficie del estanque, éste describe un movimiento perpendicular a la dirección de propagación de tal manera que la coordenada en un instante de tiempo $t$, $y_{P}(t)$, es razonable que sigue un movimiento armónico simple, $y_{P}(t)=A\,\cos(wt)$, donde $A$ es la amplitud de la onda y la pulsación es $w=\dfrac{2\,\pi}{T}$, donde $T$ es el periodo de la onda (recordemos que $T=\dfrac{1}{f}$, siendo $f$ la frecuencia de la misma) . Al llegar la perturbación a un punto arbitrario situado a cierta distancia $x$ de $P$, lo hará al cabo de un tiempo igual a $\dfrac{x}{c}$, siendo $c$ la velocidad de propagación de la onda (la longitud de onda es pues $\lambda=T\,c$). Entonces podemos escribir que las posiciones de dicho punto (perpendiculares a la dirección de propagación de la onda) siguen la ecuación $y(t)=A\,\cos\,\left(w(t-x/c)\right)$, que puede escribirse también como $y(t)=A\,\cos\,(wt-kx)$, siendo $k=\dfrac{w}{c}=\dfrac{2\,\pi}{T\,c}=\dfrac{2\,\pi}{\lambda}$ el parámetro denominado número de onda.

Propagación del sonido. Las ondas longitudinales y su ecuación de onda

Ejemplos de propagación por ondas longitudinales son el de la propagación en un medio elástico, como es el caso del sonido al propagarse en un gas, o el de las ondas sísmicas al propagarse en medios sólidos. Dichas ondas de sonido son ondas de presión, lo cual puede comprobarse en un secillo montaje experimental con un tubo cerrado por un émbolo, con el cual puede ejercerse el aumento de presión que da origen a la onda de presión, esto es, a la onda de sonido. Aunque no se dé un transporte neto de partículas del medio en la propagación de la onda, sí que se produce un vaivén (hacia adelante y atrás) de las partículas alrededor de sus posiciones de equilibrio.$\diamond$

Teniendo en mente el experimento del émbolo que empuja (desplazándolo a un velocidad $v$) las moléculas de un gas para producir una onda de sonido, y siguiendo con el modelo del oscilador armónico simple, podemos decir que la variación de presión del medio (que origina el sonido) en un punto cualquiera responde a la ecuación $\Delta\,p(t)=\Delta\,p_{\text{máx}}\,\cos\,(wt-kx)$ donde $\Delta\,p_{\text{máx}}$ es la amplitud de la variación de presión (valor máximo de la variación de presión).

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En relación con las ondas de sonido es interesante hablar de algunos otros conceptos. Es razonable pensar que la variación de presión es proporcional a la velocidad de desplazamiento del émbolo: $\Delta\,p \propto v$, y se demuestra que dicha relación es de la forma $\Delta\,p=\rho\,c\,v$, donde $\rho$ es la densidad del gas y $c$ la velocidad de propagación de la onda de sonido. El producto $\rho\,c$ se denomina impedancia acústica (nombre que viene inspirado por la teoría de circuitos eléctricos), de manera que suele escribirse que $\Delta\,p=Z\,v$.

Otro concepto importante relacionado con el transporte de energía por la onda es el de intensidad acústica, $I$, que se define como la energía transmitida por unidad de tiempo y por unidad de superficie: $I:=\dfrac{F\,v}{A}$, donde $F$ es la fuerza que actua sobre la sección transversal al desplazamiento y $v$ es la velocidad de desplazamiento del émbolo, luego $I=\dfrac{\Delta\,p \cdot A \cdot v}{A}=\Delta\,p \cdot v=Z\,v^2=\dfrac{(\Delta\,p)^2}{Z}$ (teniendo en cuenta la definición de impedancia acústica).

Como un cambio de presión en el gas comporta un cambio de volumen (y recíprocamente), podemos hacer referencia al módulo de compresibiliad del gas $\mathcal{K}:=-\dfrac {\Delta p}{\Delta V/V}$ y, salvando el signo, podemos escribir $\mathcal{K}=\Delta\,p \dfrac {V}{\Delta V}$ y teniendo en cuenta que el volumen del gas en un instante dado es $V=A \cdot c \cdot t$ y que la variación (disminución) de volumen que ocupa el gas al accionar el émbolo en ese mismo instante es $\Delta\,v= A \cdot v\, t$, se tiene que $\mathcal{K} = \Delta\,p \cdot \dfrac {c}{v}$, y teniendo en cuenta la relación citada antes $\Delta\,p=\rho\cdot c \cdot v$, llegamos a $\mathcal{K} = \rho \cdot c\,\cdot v \cdot \dfrac {c}{v}=\rho\cdot c^2$, con lo cual $c=\sqrt{\dfrac{\mathcal{K}}{\rho}}$; es decir, la velocidad de propación aumenta al aumentar el módulo de compresibilidad y disminuye conforme aumenta la densidad del gas.

En un medio homogéneo e isótropo (por ejemplo el aire o el agua en reposo), las ondas sonoras son esféricas. Entonces, si no hay pérdida de energía por disipación en el medio, entre dos puntos del espacio se tiene que al ser la potencia (que denotaremos por $P$) igual en cada uno de los frentes de onda esféricos en los que situamos dichos puntos se tiene que $P=A\cdot I=$constante (la potencia es igual al área por intensidad acústica), y por tanto $I_1\cdot A_1=I_2\cdot A_2$, y al ser la forma (de las ondas) esférica, $4\,\pi\,r_{1}^2\,I_1=4\,\pi\,r_{2}^2\,I_2$ ($r_1$ y $r_2$ son los radios de las ondas esféricas en el primer y el segundo punto, respectivamente), luego $r_{1}^2\,I_1=r_{2}^2\,I_2$. Por consiguiente, si $r_2\gt r_1$ (el segundo punto está más alejado que el primero de la fuente de la onda sonora) entonces $I_1\gt I_2=\left(\dfrac{r_1}{r_2}\right)^{2}\cdot I_1$; es decir, la intensidad acústica es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia al origen del sonido.

Observación: En el agua y en los sólidos el sonido se propagan con mayor rapidez; así, por ejemplo, en el aire la velocidad de propagación del de $340$ m/s; en el agua a unos $1500$ m/s, y en el acero a $6100$ m/s, aproximadamente.

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Ondas electromagnéticas

Quiero hacer aquí un breve comentario sobre las ondas electromagnéticas (luz, ondas de radio, rayos X, rayos gamma). Éstas pueden propagarse también en el vacío —no es necesaria la presencia de partículas materiales en el medio para que se propague la perturbación— (a diferencia de las ondas de sonido, las olas del mar, o de las ondas sísmicas), pues se generan por la oscilación de un campo eléctrico y la oscilación de un campo magnético en direcciones perpendiculares entre sí, propagándose la onda en la dirección perpendicular a sendos campos. En otros artículos sobre electromagnetismo trataré de las ondas electromagnéticas en profundidad.

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Referencias:

  [1] A.M. Prójorov, et al., Diccionario enciclopédico de la Física, Editorial Mir-Rubiños 1860 S.A., Madrid, 1996.
  [2] M. Labajos, Iniciación al estudio de la Biofísica, Anaya, Madrid, 2005.

La razón de ser de la definición de decibelio, y su enorme importancia en teoría de la señal (electrónica, biofísica,...): relación entre una señal saliente con respecto a una señal entrante en un sistema (dispositivo)

En muchas ocasiones interesa expresar la medida de magnitud (potencia, tensión, intensidad eléctrica, intensidad sonora, etcétera) en relación a un nivel de referencia de la misma, pudiendo manejar así una cantidad adimensional. Ello tiene sus ventajas, por diversas razones; una de las más importantes es el poder expresar dicha medida relativa en una escala numérica manejable, con nuúmeros que no sean ni muy grandes ni muy pequeños si, por contra, estos aparecieran directamente en la medida de la magnitud. Una forma de conseguirlo es utilizar el logaritmo de la razón de la medida abasoluta y la medida de referencia; a lo que resulta se le denomina bel, en honor a Alexander Graham Bell (1847-1922). De esta manera, podemos expresar la ganancia o la atenuación en una cierta magnitud a la salida de un cierto sistema (medio o dispositivo) con respecto al nivel de la misma en la entrada.

Se define entonces el belio (B) como la unidad adimensional de medida de una magnitud $\mathcal{X}$, que, en un momento dado, tome un cierto valor $x_1$, y ello con respecto a un valor convenido de la misma, $x_0$, utilizando el logaritmo decimal de la razón $\dfrac{x_0}{x_1}$, al que denominaremos $L_B$. Así, $$L_B:=\log_{10}\,\dfrac{x_1}{x_0}$$ con lo cual $x_1=x_0\,10^{L_B}$; en particular si $x_1=x_0$, entonces la ganancia/atenuación, es de $L_B=0$ B, ya que $1=10^0$, o lo que es lo mismo $L_B=0=\log_{10}\,1$. Notemos además que si se da un incremento (positivo), $x_1\gt x_0$, entonces $L_B>0$; y, en el caso de darse un decremento, si $x_1\lt x_0$, entonces $L_B\lt 0$.

Comunmente, a efectos prácticos, se utiliza del decibel (dB) en lugar del bel (B) con el mismo propósito que acabo de exponer (tener una expresión de una medida relativa a un nivel de referencia de la misma magnitud): $1\,\text{B}=10\,\text{dB}$, con lo cual podemos escribir que la medida relativa en decibelios de $x_1$ con respecto a $x_0$ es $$L_{dB}:=10\cdot \log_{10}\,\dfrac{x_1}{x_0}$$ y por tanto $$x_1=x_0 \cdot 10^{L_{dB}/10}=x_0\,10^{L_{B}}$$

En determinadas situaciones, tratando con fenómenos ondulatorios, en las que describimos qué ocurre con la energía, y sabiendo que ésta es proporcional al cuadrado de la amplitud de onda (sonido, corrientes y tensiones en un circuito eléctrico o electrónico, etcétera), resulta que la ganancia/atenuación en energía expresada en decibelios, tal como se ha expuesto, viene dada por $10\cdot \log_{10}\,\dfrac{a_{1}^2}{a_{0}^2}$, siendo $a_1$ y $a_0$ los valores de las amplitudes; esto es, como $10\cdot \log_10\,\left(\dfrac{a_1}{a_0}\right)^2=2\cdot 10 \log_{10}\,\dfrac{a_1}{a_0}=20\,\log_{10}\,\dfrac{a_1}{a_0}$. Por ello, solemos escribir $$G_{dB}=20\,\log_{10}\,\dfrac{a_1}{a_0}$$

A menudo, conviene fijar la cantidad de referencia $x_0$ (o $a_0$); por ejemplo, tratándose de la potencia ($P$), si establecemos que $p_0=1\,\text{mW}$, entonces convenimos en escribir $L_{dBmW}=10\cdot \log_{10}\,\dfrac{p_1}{1}$. Así, si $p_1=p_0=1\,\text{mW}$ (no hay variación en la salida con respecto a la entrada), tenemos que $L_{dBmW}=10\cdot \log_{10}\,1=0\,\text{dBmW}$.

Por tanto, para un cierto valor fijado de la magnitud de entrada (en este caso se trata de la potencia eléctrica), $p_0$, y dado un valor de la ganancia/atenuación expresado en decibelios, podemos determinar el valor de la magnitud de salida (poténcia de salida), $p_1$, en términos absolutos. Por ejemplo, una variación de la potencia de salida (con respecto a la de entrada), pongamos que de $p_1=2\,\text{dBmW}$, esto es, $p_1=2\,\text{dBmW}$ superior a $0\,\text{dBmW}$, significa que $2=10\,\log_{10}\,\dfrac{p_1}{1}$ y por tanto, tendremos que el valor de la potencia de salida es $p_1=10^{\frac{2}{10}}\,\text{mW}\approx 1,6\,\text{mW}$.

Podemos hacer lo propio, especificando la unidad de referencia de la magnitud que estemos tratando, con lo cual tratermos de $\text{dBV}$ (para la tensión eléctrica expresada en voltios), $\text{dBmV}$ (expresándola en milivolotios); $\text{dBHz}$ (si tratamos con la frecuencia, expresada en hercios), etcétera.$\diamond$

Caso de la percepción del sonido por el oído humano. La sonoridad

Se sabe que la intensidad acústica —véase el siguiente artículo en este mismo blog: Algunas cosas básicas sobre los fenómenos ondulatorios— que el oído humano es capaz de percibir se encuentra en el intervalo $\left(10^{-12}, 1\right)\, \dfrac{\text{W}}{\text{m}^2}$. Por debajo del extremo inferior, $I_0=10^{-12}$, no se percibe ninguna sensación acústica; y, por encima, del extremo superior, $1\,\dfrac{\text{W}}{\text{m}^2}$ se producen daños en el aparato auditivo.

Al objeto de cuantificar la sensación auditiva se define la magnitud adimensional sonoridad, que se relaciona con la intensidad acústica de las ondas incidentes en el oído según la ley de Weber-Fechner: $S=10\,\log_{10}\,\dfrac{I}{I_0}$ (recordemos que $I_0$ es la intensidad umbral de sensación auditiva) —nótese que esta magnitud adimensional, la sonoridad, viene dada en decibelios al estar definida mediante el logaritmo de la razón de dos magnitudes, que en este caso son las intensidades—. Puede entenderse de dicha dependencia entre la sonoridad y la intensidad acústica que la primerqa varía de manera lineal, si se hace variar la intensidad acústica de forma exponencial.

Se sabe que la sonoridad depende de la frecuencia del sonido: la máxima sensibilidad en el aparato auditivo humano corresponde a una frecuencia de unos $3000\,\text{Hz}$. La sensibilidad acústica del oído humano disminuye por debajo y por encima de dicha frecuencia; por debajo de $20\,text{Hz}$ ya no se percibe ningún sonido, y tampoco por encima de $20\,000\,\text{Hz}$.

Ejemplo de cálculo con sonoridades

Dos personas, $A$ y $B$, se sitúan sobre una recta perpendicular a un muro $M$, que refleja las ondas de sonido. La distancia entre las dos personas es de $10\,\text{m}$. La persona $A$ es la más próxima al muro. Al llamar $B$ a $A$, la persona $A$ escucha el mensaje con una sonoridad de $20\,\text{dB}$, y, a su vez debería escuchar también el sonido reflejado en $M$. Nos preguntamos: ¿a qué distancia de $A$ debería estar el muro $M$ para que $A$ no percibiese el eco que da el muro?.

Denotemos por $I_{A}$ la intensidad acústica que le llega directamente del mensaje emitido por $B$. Entonces, según los datos, podemos escribir que $20=10\,\log_{10}\,\dfrac{I_{A}}{10^{-12}}$, luego $\dfrac{I_A}{10^{-12}}=10^{20/10}$, esto es, $I_A=10^{-10}\cdot 10^2=10^{-10}\,\dfrac{\text{W}}{\text{m}^2}$

Ahora designemos por $I_{A}^{eco}$ la intensidad acústica que a $A$ le llega del eco en $M$ (además de la señal directa de $B$) y que también, en principio, percibiría. Designemos por $\ell$ la distancia entre $A$ y el muro $M$; entonces la señal que se refleja en $M$ ha de recorrer una distancia igual a $2\ell$ hasta llegar a $A$. Por tanto, según la relación entre las intensidades y las distancias, podemos escribr que $\dfrac{I_{A}^{eco}}{I_A}=\left(\dfrac{10}{10+2\ell}\right)^2$.

Ya hemos calculado el valor de la intensidad acústica que llega a $A$, $I_A=10^{-10}\,\dfrac{\text{W}}{\text{m}^2}$. Ahora, al suponer que la distancia $\ell$ (entre $A$ y el muro $M$) sea tal que $A$ no perciba el eco, se tiene que $I_{A}^{eco}=10^{-12}$ (intensidad umbral de sensibilidad acústica), por lo que $\dfrac{10^{-12}}{10^{-10}}=\left(\dfrac{10}{10+2\ell}\right)^2$. Resolvamos esta ecuación en $\ell$: $$10^{-2}=\left( \dfrac{10}{10+2\ell}\right)^2$$ luego $$10^{1}=\dfrac{10+2\ell}{10} \Rightarrow \ell=45\,\text{m}$$ Por tanto, si la distancia entre el muro y $A$ es igual o superior a este valor, $A$ no percibirá el eco.$\diamond$

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Referencias:

  [1] vv.aa., Decibel, Wikipedia [https://ca.wikipedia.org/wiki/Decibel], 2022.
  [2] M. Labajos, Iniciación al estudio de la Biofísica, Anaya, Madrid, 2005.

Tensiones entre fase y fase en los sitemas trifásicos de corriente alterna

En corriente alterna trifásica, la tensión entre cada una de las fases, $L_1,L_2,L_3$, y el neutro, $N$, es igual a $\sqrt{3}$ veces la tensión entre cada una de las respectivas fases y el neutro ($V_3,V_2$ y $V_1$); esto es $V_2-V_1=\sqrt{3}\,V_2=\sqrt{3}\,V_1$; $V_3-V_1=\sqrt{3}\,V_3=\sqrt{3}\,V_1$; $V_3-V_2=\sqrt{3}\,V_3=\sqrt{3}\,V_2$. Veamos como se puede justificar este hecho.

En corriente alterna trifásica, la tensión (y la intesidad) entre dos fases tiene un desfase de $120^{\circ}$ (o de $\dfrac{2}{3}\,\pi$ radianes); entonces, podemos escribir las tensiones entre cada una de las fases y el neutro de la forma $V_1(t)=V_0\,\sin(wt)$, $V_2(t)=V_0\,\sin\left(wt+\dfrac{2}{3}\,\pi\right)$ y $V_3(t)=V_0\,\sin\left(wt+\dfrac{4}{3}\,\pi\right)$, siendo $V_0$ la amplitud de la tensión (o tensión nominal).

Entonces, $V_{21}:=V_2-V_1=V_0\,\sin\left(wt+\dfrac{2}{3}\,\pi\right)-V_0\,\sin(wt)=V_0\,\left( \sin\left(wt+\dfrac{2}{3}\,\pi\right)-\sin(wt)\right)=$
  $\overset{\text{i.t.:}\; \sin\,A-sin\,B=2\,\cos((A+B)/2)\cdot \sin((A-B)/2)}{=} 2\,V_0\,\cos\,\left( \dfrac{wt+2\pi/3+wt}{2}\right) \cdot \sin\,\left( \dfrac{wt+2\pi/3-wt}{2} \right)=$
    $=2\,V_0\,\cos\,\left( \dfrac{2\,w\,t+2\pi/3}{2}\right) \cdot \sin\,\left( \dfrac{2\pi/3}{2} \right)=2\,V_0\,\cos\,(w\,t+\pi/3) \cdot \sin\,( \pi/3 )=2\,\dfrac{\sqrt{3}}{2}\,\cos(w\,t+\pi/3)$
Por tanto, $$V_{21}=\sqrt{3}\,V_0\,\cos\left(w\,t+\dfrac{\pi}{3}\right)$$ luego la amplitud de la tensión alterna $V_{21}$ es $\sqrt{3}$ veces la amplitud de la tensión entre cualquiera de estas dos fases y el neutro $$V_{{21}_{0}}=\sqrt{3}\,V_0$$ y lo mismo se puede decir en cuanto a las otras dos diferencias, vemos que $$V_{{21}_{0}}=V_{{31}_{0}}=V_{{32}_{0}}=\sqrt{3}\,V_0$$ tal como se quería demostrar.

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Nota: Mediante una hoja de cálculo podemos comprobar fácilmente la aparición del factor $\sqrt{3}$, aunque ya hayamos demostrado el porqué del mismo: basta poner valores de las tres funciones sinusoidales, desfasadas $120^{\circ}$ unas respecto de otras y restarlarlas de dos en dos en otras tres columnas, para constatar que la amplitud de esas tres es $\sqrt{3}$ veces las de las tres primeras columnas.

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Desde luego, la misma relación hay entre los valores eficaces (recordemos que $V_{1_{e}}=V_{2_{e}}=V_{3_{e}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\,V_0$) de las tensiones: $$V_{{21}_{\text{e}}}=V_{{31}_{\text{e}}}=V_{{32}_{\text{e}}}=\sqrt{3}\,V_{0_{\text{e}}}$$

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Comentario: En las instalaciones monofásicas en España, la tensión eficaz normalizada entre la (única) fase y el neutro es $V_e=230\,\text{V}$. En instalaciones trifásicas, la tensión eficaz normalizada entre fase y neutro es, también, $V_{e}=230\,\text{V}$, con lo cual las tensiones entre fases son $V_{{21}_{\text{e}}}=V_{{31}_{\text{e}}}=V_{{32}_{\text{e}}}=\sqrt{3}\cdot 230 \approx 400\,\text{V}$. bSin embargo, aún quedan instalaciones trifásicas antiguas cuyas tensiones entre fase y neutro son de $220\,\text{V}$; en esos casos, $V_{{21}_{\text{e}}}=V_{{31}_{\text{e}}}=V_{{32}_{\text{e}}}=\sqrt{3}\cdot 220 \approx 380\,\text{V}$. $\diamond$

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Referencias:

  [1] P. Alcalde, Electrotecnia, Paraninfo, Madrid, 2020.
  [2] J.M. Vidal, Curso de Física, Grafesa, Barcelona, 1974.

Valores eficaces de la intensidad y de la tensión en corriente alterna

Las magnitudes eficaces en corriente alterna son las que medimos con el correspondiente aparato de medida. Dicha medida representa el valor medio de las variaciones de la correspondiente magnitud en un periodo. Vamos a justificar que la intensidad eficaz, $I_e$, es igual a la intensidad nominal, $I_0$, dividida por $\sqrt{2}$, y que la tensión eficaz es igual a la tensión nominal dividida por dicho factor.

Consideremos un conductor de resistencia $R$ recorrido por una corriente alterna $I(t)=I_0\,\sin(wt)$, donde $w=\dfrac{2\pi}{T}$, siendo $T$ el periodo. Entonces la energía media disipada (por efecto Joule) en un periodo es $\displaystyle \langle E \rangle:=\dfrac{1}{T}\,\int_{0}^{T}\,R\,(I(t))^2\,dt$, y, por tanto, $\displaystyle \langle E \rangle=\dfrac{1}{T}\,\int_{0}^{T}\,R\,I_{0}^{2}\,\sin^2\,(wt)\,dt=\dfrac{R\,I_{0}^{2}}{T}\,\int_{0}^{T}\,\sin^2\,(wt)\,dt\overset{[2]}{=}\dfrac{R\,I_{0}^{2}}{T}\,\left[ \dfrac{t}{2} - \dfrac{\sin(2wt)}{4w} \right]_{0}^{T}=$
  $\displaystyle = \dfrac{R\,I_{0}^{2}}{T}\,\left( \dfrac{T}{2} - \dfrac{\sin\,(2\,w\,T)}{4w} \right) - (0-0)\overset{w=2\pi/T}{=} \dfrac{R\,I_{0}^{2}}{T}\,\left( \dfrac{T}{2} - \dfrac{\sin\,(4\,\pi)}{4w} \right)=\dfrac{R\,I_{0}^{2}}{T}\,\left( \dfrac{T}{2} - 0 \right)=\dfrac{R\,I_{0}^{2}}{2}$

Esta energía media disipada, $\langle E \rangle$, es la equivalente a la que se disiparía si el conductor fuese recorrido por una corriente continua $I_e$ (intensidad eficaz) en lugar de ser recorrido por una intensidad alterna $I(t)=I_0\,\sin(wt)$ (véase [1]), por tanto cabe establecer la igualdad $$R\,I_{e}^2=\dfrac{R\,I_{0}^{2}}{2}$$ de lo cual se deduce que, despejando $I_e$ del primer miembro: $$I_e=\dfrac{I_0}{\sqrt{2}}$$

Veamos ahora la expresión para la tensión eficaz. Teniendo en cuenta que $\langle E \rangle := V_e\,I_e =\dfrac{1}{2}\,R\,I_{0}^2=\dfrac{1}{2}\,V_0\,I_0 \quad (1)$ y que acabamos de ver que $I_e=\dfrac{I_0}{\sqrt{2}}$, de (1) se tiene que $$V_e\,\dfrac{I_0}{\sqrt{2}}=\dfrac{1}{2}\,V_0\,I_0$$ y por tanto $$\dfrac{1}{\sqrt{2}}\,V_e=\dfrac{1}{2}\,V_0$$ con lo cual $$V_e=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\,I_e=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\,V_0$$ $\diamond$

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Referencias:

  [1] J.M. Vidal, Curso de Física, Grafesa, Barcelona, 1974.
  [2] M. Spiegel; L. Abellanas, Fórmulas y tablas matemáticas, McGraw-Hill, Madrid, 1988.
  [3] P. Alcalde, Electrotecnia, Paraninfo, Madrid, 2020.

En el artículo anterior expuse cómo expresar la energía cinética en coordenadas polares (en el plano euclídeo $\mathbb{R}^2$. En éste, simplemente voy a reseñar las expresiones que se obtienen para la energía cinética empleando coordenadas cilíndricas $(r,\theta,z)$ —$\theta$ es aquí el ángulo azimutal— y esféricas $(r,\theta,\Phi)$ —$\phi$ es ahora el ángulo polar y $\theta$ el ángulo azimutal—en el espacio euclídeo $\mathbb{R}^3$. Estas expresiones son de enorme utilidad a la hora de montar la función lagrangiana y la f. hamiltoniana en determinados problemas en los que evitar el empleo de las coordenadas cartesianas simplifica muchos cálculos. El procedimiento para obtener los resultados es análogo al del plano eucídeo en coordenadas polares. Animo a las personas lectoras a seguir todos los pasos del desarrollo.

Expresión de la energía en coordenadas cilíndricas

$$T=\dfrac{1}{2}\,m\,\left(\dot{r}^2+(r\,\dot{\theta})^2+\dot{z}^2\right)$$ Nota: Observemos que si $z=0$ nos restringimos a un plano (dos dimensiones), y por tanto recuperamos la expresión de la energía cinética en polares: $T=\dfrac{1}{2}\,m\left(\,(\dot{r)^2}+(r\,\dot{\theta)^2}\right)$.

Expresión de la energía en coordenadas esféricas

$$T=\dfrac{1}{2}\,m\,\left(r^2\,(\dot{\theta}^2+\phi^2\,\sin^2\,\theta)+\dot{r}^2\right)$$ Nota: Observemos que si $\theta=0$ nos restringimos a un plano (dos dimensiones), y por tanto recuperamos la expresión de la energía cinética en polares: $T=\dfrac{1}{2}\,m\left(\,(\dot{r)^2}+(r\,\dot{\theta)^2}\right)$.

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Referencias:

  [1] M.R. Spiegel; L. Abellanas, Fórmulas y tablas de matemática aplicada, McGraw-Hill, Madrid, 1993.
  [2] M.R. Spiegel, Mecánica teórica, McGraw-Hill, Mexico, 1976.

Posición, velocidad, aceleración y energía cinética en coordenadas polares

En muchos problemas de mecánica, nos interesará expresar el vector de posición $\vec{r}$, el vector de velocidad $\vec{v}=\dfrac{d\vec{r}}{dt}$, el de aceleración $\vec{a}=\dfrac{d\vec{v}}{dt}$, así como la expresión de la energía cinética,$T=\dfrac{1}{2}\,m\,(|\vec{v}|)^2$, en todo instante de tiempo $t$, en coordenadas polares $(r,\theta)$.

Ello será de particular ayuda para montar la función lagrangiana o bien la función hamiltoniana del sistema, de manera que los cálculos no salgan demasiado embrollados. En este artículo desarrollo los cálculos, que parten de obtener otra base ortonormal del plano vectorial apropiada —la base canónica no nos servirá en sí misma—, de manera que uno de los vectores (de la nueva base) apunte en la dirección de $\vec{r}$ y otro en la dirección perpendicular.

Consideremos el movimiento en un plano de una partícula de masa $m$, a la cual apunta en todo momento el vector de posición $\vec{r}=x\,\hat{i}+y\,\hat{j}=r\,\cos\,\theta\,\hat{i}+r\,\sin\,\theta\,\hat{j} \quad (1)$, siendo $r$ el módulo de dicho vector de posición y $\theta$ el ángulo (polar) que forma dicho vector de posición con el eje de abscisas del sistema de referencia cartesiano. Notemos que $\vec{r}=x\,\hat{i}+y\,\hat{j}=r\,\cos\,\theta\,\hat{e}_r+r\,\sin\,\theta\,\hat{e}_r$, donde $\{\hat{i}=(1,0),\hat{j}=(0,1)\}$ son los vectores de la base canónica.

Así, $\hat{e}_r=\dfrac{\dfrac{\partial\,\vec{r}} {\partial \,r}} {\left|\dfrac{\partial\,\vec{r}} {\partial \,r}\right|}$, puesto que el numerador es un vector tangente a la curva $\theta=$constante; por otra parte, un vector unitario y ortogonal a $\hat{e}_r$ es $\hat{e}_\theta=\dfrac{\dfrac{\partial\,\vec{r}} {\partial \,\theta}} {\left|\dfrac{\partial\,\vec{r}} {\partial \,\theta}\right|}$, habida cuenta de que el numerador es un vector tangente a la curva $r=$constante.

Estos vectores forman pues una (nueva) base ortonormal, y por tanto, también euclídea —distinta de la base canónica— que es apropiada para nuestro cometido: $\{\hat{e}_r,\hat{e}_\theta\}$. Procedo a calcularlos: $\dfrac{\partial\,\vec{r}} {\partial \,r}\overset{(1)}{=}\cos\,\theta\,\hat{i}+\sin\,\theta\,\hat{j}$, y como $\left| \sqrt{\cos^2\,\theta+\sin^2\,\theta} \right|=1$, resulta que $\hat{e}_r=\cos\,\theta\,\hat{i}+\sin\,\theta\,\hat{j} \quad (2)$; por otra parte, $\dfrac{\partial\,\vec{r}} {\partial \,\theta}\overset{(1)}{=}r\,(-\sin\,\theta\,\hat{i}+\cos\,\theta\,\hat{j})$, y como $\left|\dfrac{\partial\,\vec{r}} {\partial \,\theta}\right|= \sqrt{r^2(\cos^2\,\theta+\sin^2\,\theta)}=\sqrt{r\cdot 1}=r$, con lo cual $\hat{e}_\theta=-\sin\,\theta\,\hat{i}+\cos\,\theta\,\hat{j} \quad (3)$

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Comprobamos que los vectores de la nueva base son ortogonales. En efecto, $\vec{e}_r \cdot \vec{e}_\theta = (\cos\,\theta\,\hat{i}+\sin\,\theta\,\hat{j})\cdot (-\sin\,\theta\,\hat{i}+\cos\,\theta\,\hat{j})=\cos\,\theta\,(-\sin\,\theta)\,\hat{i}\cdot \hat{i}+\cos\,\theta\,(\cos\,\theta)\,\hat{i}\cdot \hat{j}+$ $+\sin\,\theta\,(-\sin\,\theta)\,\hat{j}\cdot \hat{i}+\sin\,\theta\,(\cos\,\theta)\,\hat{j}\cdot \hat{j}=\cos\,\theta\,(-\sin\,\theta)+\sin\,\theta\,(\cos\,\theta)=0$, ya que $\hat{i} \perp \hat{j}$ y $|\hat{i}|=|\hat{j}|=1$.

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Ahora, vamos a expresar $\hat{i}$ y $\hat{j}$ en función de los vectores de la nueva base (cambio de base): $\hat{e}_r$ y $\hat{e}_\theta$: multiplicando sendos miembros de (2) por $\cos\,\theta$ y los dos de (3) por $\sin\,\theta$, y sumando las dos igualdades que se obtienen, se llega a $$\hat{i}=\cos\,\theta\,\hat{e}_r-\sin\,\theta\,\hat{u}_\theta$$ y multiplicando los dos miembros de (2) por $\sin\,\theta$, y sendos miembros de (3) por $\cos\,\theta$, y sumando las dos igualdades resultantes, se llega a $$\hat{j}=\sin\,\theta\,\hat{e}_r+\cos\,\theta\,\hat{u}_\theta$$

Por consiguiente, ya podemos dar el vector de posición en coordenadas esféricas. Por lo dicho en el primer párrafo, $\vec{r}=r(\,\cos\,\theta\,\hat{i}+\,\sin\,\theta\,\hat{j})\overset{(2)}{=}r\,\hat{e}_r$

Expresemos ahora el vector velocidad en coordenadas esféricas. $$\vec{v}=\dfrac{d\vec{r}}{dt}=\dfrac{d\,(r\,\hat{e}_r)}{dt}=\dot{r}\,\hat{e}_r+r\,\dfrac{d\,\hat{e}_r}{dt} \quad (4)$$ donde $$\dfrac{d\,\hat{e}_r}{dt}=\dfrac{\partial\,\hat{e}_r}{\partial\,r}\,\dfrac{d\,r}{dt}+\dfrac{\partial\,\hat{e}_r}{\partial\,\theta}\,\dfrac{d\,\theta}{dt}=\vec{0}\,\dot{r}+(-\sin\,\theta\,\hat{i}+\cos\,\theta\,{j})\,\dot{\theta}\overset{(3)}{=}\dot{\theta\,}\hat{e}_\theta \quad (5)$$ con lo cual (4) nos queda: $$\vec{v}=\dot{r}\,\hat{e}_r+r\,\dot{\theta}\,\hat{e}_\theta \quad (6)$$

Y ahora, el vector aceleración:
$$\vec{a}=\dfrac{d\vec{v}}{dt}=\dfrac{d(\dot{r}\,\hat{e}_r+r\,\dot{\theta}\,\hat{e}_\theta)}{dt}=\ddot{r}\,\hat{e}_r+\dot{r}\,\dfrac{d\,\hat{e}_r}{dt}+\dot{r}\,\dot{\theta}\,\hat{e}_\theta=r\,\ddot{\theta}\,\hat{e}_\theta+r\,\dot{\theta}\,\dfrac{d\,\hat{u}_\theta}{dt} \quad (7)$$ donde $$\dfrac{d\,\hat{e}_\theta}{dt}=\dfrac{\partial\,\hat{e}_\theta}{\partial\,\theta}\,\dfrac{d\,\theta}{dt}+\dfrac{\partial\,\hat{e}_r}{\partial\,\theta}\,\dfrac{d\,\theta}{dt}=-(\cos\,\theta\,\hat{i}+\sin\,\theta\,{j})\,\dot{\theta}+\vec{0}\,\dot{\theta}\overset{(2)}{=}-\dot{\theta}\,\hat{e}_r \quad (9)$$ Así pues, agrupando términos con el correspondiente versor, (7) nos queda $$\vec{a}=\left( \ddot{r}-r\,(\dot{\theta)^2}\right)\,\hat{u}_r+\left(r\,\ddot{\theta}+2\,\dot{r}\,\dot{\theta}\right)\,\hat{u}_\theta \quad (10)$$

Y, para acabar, expresomos la energía cinética en coordenadas polares:
$T=\dfrac{1}{2}\,m\,(|\vec{v}|)^2=\dfrac{1}{2}\,m\,\vec{v}\cdot \vec{v}\overset{(4)}{=}\dfrac{1}{2}\,m\,\left( \dot{r}\,\hat{e}_r+r\,\dot{\theta}\,\hat{e}_\theta \right)\cdot \left( \dot{r}\,\hat{e}_r+r\,\dot{\theta}\,\hat{e}_\theta\right)\overset{\hat{e}_r \perp \hat{e}_\theta\,,\,|\hat{e}_r|=|\hat{e}_\theta|=1}{=}$
  $=\dfrac{1}{2}\,m\left(\,(\dot{r)^2}+(r\,\dot{\theta)^2}\right) \quad (11)$
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Referencias:

  [1] M.R. Spiegel; L. Abellanas, Fórmulas y tablas de matemática aplicada, McGraw-Hill, Madrid, 1993.
  [2] M.R. Spiegel, Mecánica teórica, McGraw-Hill, Mexico, 1976.