Ecuaciones de movimiento de un sistema de partículas puntuales

Consideremos un sistema de partículas $\{P_i\}$ ($i=1,\ldots,n$) y $P_2$, de masas respectivas $\{m_i\}$ ($i=1,\ldots,n$). Escribiremos las ecuaciones del movimiento del sistema, conforme a la dinámica newtoniana.

Sobre la partícula genérica $i$-ésima, actúa una fuerza externa $\vec{F}_i$ y una fuerza interna (debida a la acción de las otras partículas) que podemos escribir de la forma $\displaystyle \sum_{\underset{j=1}{j\neq i}}^{n}\,\vec{f}_{ij}$. Entonces, aplicando la segunda ley de Newton sobre cada partícula se tiene que $$\displaystyle \vec{F}_i+\sum_{\underset{j=1}{j\neq i}}^{n}\,\vec{f}_{ij}=m_i\,\ddot{\vec{r}_i}\quad \forall i=1,\ldots,n$$ Y, sumando las $n$ ecuaciones vectoriales, miembro a miembro: $$\displaystyle \sum_{i=1}^{n}\,\vec{F}_i+\sum_{i=1}^{n}(\sum_{\underset{j=1}{j\neq i}}^{n}\,\vec{f}_{ij})=\sum_{i=1}^{n}\,m_i\,\ddot{\vec{r}_i}$$ El primer sumatorio del primer miembro es igual a la fuerza externa resultante, $\vec{F}$, sobre el sistema (principio de superposición); y, en cuanto al sumatorio del segundo miembro referido a las fuerzas internas, teniendo en cuenta la tercera ley de Newton, ha de ser cero, pues éstas se anulan por pares, pues $\vec{f}_{ij}=-\vec{f}_{ji}$, para cada par $(i,j)$, luego concluimos que $$\displaystyle \vec{F}=\sum_{i=1}^{n}\,m_i\,\ddot{\vec{r}_i}$$ Evidentemente, a partir de esta ecuación, conociendo las fuerzas, y las condiciones iniciales, al integrarlas llegaríamos también a conocer las velocidades y las posiciones de cada una de las $n$ partículas del sistema.

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Estudio del movimiento de un sistema de dos partículas con respecto al sistema de referencia centro de masas

Consideremos de nuevo un sistema aislado -la resultante de las fuerzas externas es nula- formado por dos partículas, $P_1$ y $P_2$, de masas respectivas $m_1$ y $m_2$ que interaccionan mútuamente. Vamos a ver que el problema del movimiento de este sistema de dos partículas es interesante también estudiarlo con respecto al sistema de referencia centro de masas, $\sum'$. Veremos qué conclusiones podemos extraer de ello.

Ya sabemos que, con respecto a un sistema de referencia inercial $\sum$, al que llamaremos sistema laboratorio, la posición de las dos partículas en todo instante $t$ viene dada por los vectores $\vec{r}_1$ y $\vec{r}_2$. El vector que desde $P_2$ apunta a $P_1$ viene dado por tanto por la relación $\vec{r}=\vec{r}_1 - \vec{r}_2 \quad (1)$ y, en consecuencia, la velocidad y la aceleración de $P_1$ con respecto de $P_2$ son $\vec{v}:=\dot{\vec{r}}=\dot{\vec{r}_1} - \dot{\vec{r}_2} \quad (2)$ y $\vec{a}:=\ddot{\vec{r}}=\ddot{\vec{r}_1} - \ddot{\vec{r}_2} \quad (3)$, respectivamente.

Situemos ahora el origen del sistema de referencia $\sum'$ en el centro de masas del sistema, cuya posición con respecto de $\sum$ viene dada por $$\vec{r}_G=\dfrac{m_1\,\vec{r}_1+m_2\,\vec{r}_2}{m_1+m_2}$$

Así pues, con respecto del sistema centro de masas, $\sum'$, la posición de las partículas (en todo instante de tiempo $t$) viene dada por:

• $\vec{r'_1}=\vec{r}_1-\vec{r}_G=\vec{r}_1-\dfrac{m_1\,\vec{r}_1+m_2\,\vec{r}_2}{m_1+m_2}=\dfrac{m_2}{m_1+m_2}\,(\vec{r}_1-\vec{r}_2)=\dfrac{m_2}{m_1+m_2}\,\vec{r}$
• $\vec{r'_2}=\vec{r}_2-\vec{r}_G=\vec{r}_2-\dfrac{m_1\,\vec{r}_1+m_2\,\vec{r}_2}{m_1+m_2}=\dfrac{m_1}{m_1+m_2}\,(\vec{r}_2-\vec{r}_1)=-\dfrac{m_1}{m_1+m_2}\,(\vec{r}_1-\vec{r}_1)=-\dfrac{m_1}{m_1+m_2}\,\vec{r}$

En consecuencia, al derivar una vez con respecto de $t$:

• $\vec{v_1'}:=\dot{\vec{r_1'}}=\dfrac{m_2}{m_1+m_2}\,\dot{\vec{r}}=\dfrac{m_2}{m_1+m_2}\,\vec{v}$
• $\vec{v_2'}:=\dot{\vec{r_2'}}=-\dfrac{m_1}{m_1+m_2}\,\dot{\vec{r}}=-\dfrac{m_1}{m_1+m_2}\,\vec{v}$

El momento lineal de cada una de las dos partículas con respecto a $\sum'$ es pues:

• $\vec{p_1'}:=m_1\,\dot{\vec{v_1'}}=\dfrac{m_1\,m_2}{m_1+m_2}\,\vec{v}=\mu\,\,\vec{v}$   (recordemos que $\mu=\dfrac{m_1\,m_2}{m_1+m_2}$ es la masa reducida del sistema de partículas)
• $\vec{p_2'}:=m_2,\dot{\vec{v_2'}}=-\dfrac{m_1\,m_2}{m_1+m_2}\,\vec{v}=-\mu\,\vec{v}$

Llegamos aquí a una conclusión importante: la suma de los momentos lineales de las dos partículas es nula, esto es, el momento lineal total del sistema de dos partículas con respecto del sistema centro de masas es nulo $$\vec{p'}_{\text{total}}:=\vec{p_1'}+\vec{p_2'}=\mu\,\,\vec{v}+(-\mu\,\,\vec{v})=(\mu-\mu)\,\vec{v}=\vec{0}$$ Los momentos lineales de las dos partículas, con respecto al sistema de referencia centro de masas $\sum'$, son iguales y de sentido opuesto.

Por otra parte, derivando las velocidades:

• $\vec{a_1'}:=\dot{\vec{v_1'}}=\dfrac{m_2}{m_1+m_2}\,\ddot{\vec{r}}$
• $\vec{a_2'}:=\dot{\vec{v_2'}}=-\dfrac{m_1}{m_1+m_2}\,\ddot{\vec{r}}$

Y, por la segunda ley de Newton, teniendo en cuenta que el sistema es aislado (las fuerzas externas son nulas):

• $\vec{f}_{12}=m_1\,\vec{a_1'}=m_1\cdot \dfrac{m_2}{m_1+m_2}\,\ddot{\vec{r}}=\dfrac{m_1\,m_2}{m_1+m_2}\,\ddot{\vec{r}}=\mu\,\ddot{\vec{r}}$
• $\vec{f}_{21}=m_2\,\vec{a_2'}=m_2\cdot \left(-\dfrac{m_1}{m_1+m_2}\,\ddot{\vec{r}}\right)=-\dfrac{m_1\,m_2}{m_1+m_2}\,\ddot{\vec{r}}=-\mu\,\ddot{\vec{r}}$

con lo cual, la suma de las fuerzas internas es nula: $\vec{f}_{12}+\vec{f}_{21}=\mu\,\ddot{\vec{r}}+(-\mu\,\ddot{\vec{r}})=\vec{0}$, de donde recuperamos la tercera ley de Newton: $\vec{f}_{12}=-\vec{f}_{21}$

Es importante también decir que, al no actuar fuerzas externas sobre el sistema de partículas, la aceleración del centro de masas es nula, luego el movimiento de dicho centro de masas es rectilíneo y su velocidad es constante; lo cual no está en contradicción con lo deducido arriba de que el momento lineal total del sistema (la suma de los momentos lineales de las dos partículas) sea nulo. Podemos decir por tanto que el sistema de referencia centro de masas $\sum'$ es un sistema inercial. $\diamond$

Estudio del movimiento de un sistema de dos partículas. Masa reducida

Consideremos un sistema aislado -la resultante de las fuerzas externas es nula- formado por dos partículas, $P_1$ y $P_2$, de masas respectivas $m_1$ y $m_2$ que interaccionan mútuamente. Vamos a ver que el problema del movimiento de este sistema de dos partículas puede reducirse al problema del movimiento de una sóla partícula de masa reducidad $\mu$ que está sometida a una fuerza central.

Con respecto a un sistema de referencia inercial $\sum$, al que llamaremos sistema laboratorio, la posición de las dos partículas en todo instante $t$ viene dada por los vectores $\vec{r}_1$ y $\vec{r}_2$. El vector que desde $P_2$ apunta a $P_1$ viene dado por tanto por la relación $\vec{r}=\vec{r}_1 - \vec{r}_2 \quad (1)$

Entonces, las ecuaciones del movimiento del sistema de partículas vienen dadas (segunda ley de Newton) por $m_1\,\ddot{\vec{r}}_1=\vec{f}_{12} \quad (2)$ y $m_2\,\ddot{\vec{r}}_2=\vec{f}_{21}\quad (3)$, siendo $\vec{f}_{12}$ la fuerza que la partícula $P_2$ ejerce sobre $P_1$; y, $\vec{f}_{21}$ la fuerza que la partícula $P_1$ ejerce sobre $P_2$

Derivando (1) dos veces con respecto de $t$, se tiene que $\ddot{\vec{r}}=\ddot{\vec{r}_1} - \ddot{\vec{r}_2}$, y teniendo en cuenta (2) y (3), $\ddot{\vec{r}}_1=\dfrac{1}{m_1}\,\vec{f}_{12}$ y $\ddot{\vec{r}}_2=\dfrac{1}{m_2}\,\vec{f}_{12}$, y por tanto, $\ddot{\vec{r}}=\dfrac{1}{m_1}\,\vec{f}_{12}-\dfrac{1}{m_2}\,\vec{f}_{12} \quad (4)$; ahora bien, por la tercera ley de Newton, $\vec{f}_{12}=-\vec{f}_{21}$, con lo cual puede escribirse (4) de la forma, $$\ddot{\vec{r}}=\left(\dfrac{1}{m_1}-\dfrac{1}{m_2}\right)\,\vec{f}_{12}$$ es decir, $$\vec{f}_{12}=\left(\dfrac{1}{m_1}-\dfrac{1}{m_2}\right)^{-1}\,\ddot{\vec{r}}$$ esto es, $$\vec{f}_{12}=\left(\dfrac{m_1\,m_2}{m_1+m_2}\right)\,\ddot{\vec{r}}$$ Y entendiendo $\mu:=\left(\dfrac{m_1\,m_2}{m_1+m_2}\right) \quad (5)$ como la masa reducida del sistema, ésto suele escribirse de la forma $$\vec{f}_{12}=\mu\,\ddot{\vec{r}} \quad (6)$$

Observaciones:

1. En el caso de que $m_2 \gg m_1$, entonces de (5) se tiene que $\mu \approx m_1$ (la masa reducida es igual a la masa de la partícula más ligera), y por tanto (6) puede aproximarse como $$\vec{f}_{12}\approx \,m_1\,\ddot{\vec{r}}$$
2. En el caso de que $m_2 \sim m_1$, entonces de (5) se tiene que $\mu \approx \dfrac{1}{2}\,m_1$ (la masa reducida es igual a la masa de la partícula más ligera), y por tanto (6) puede aproximarse como $$\vec{f}_{12}\approx \,\dfrac{1}{2}\,m_1\,\ddot{\vec{r}}$$

Ejemplo:
El estudio del movimiento del sistema Tierra-Luna, entendiéndolo como un sistema aislado, puede reducirse al estudio del problema de una sóla partícula $P$, de masa reducida $\mu=\dfrac{m_T\,m_L}{m_T+m_L}$, sobre la que actúa una fuerza que representa la atracción de La Tierra sobre la Luna, $\vec{f}_{LT}$: $$\vec{f}_{LT}=\left(\dfrac{m_T\,m_L}{m_T+m_L}\right)\,(\ddot{\vec{r}_T}-\ddot{\vec{r}_L})$$ Siendo $m_T \approx 6\times 10^{24}\,\text{kg}$ y $m_L \approx 7\times 10^{22}\,\text{kg}$, se tiene que $\mu \sim 10^{22}\,\text{kg}$, esto es $\mu \approx m_L$, y por tanto, $$\vec{f}_{LT}\approx m_L\,(\ddot{\vec{r}_T}-\ddot{\vec{r}_L})$$ $\diamond$

El péndulo balístico: ¿Cómo medir la velocidad de un proyectil?

Un bloque de madera blanda está colgado del techo mediante un hilo inextensible. Se dispara un proyectil de masa $m$ a una cierta velocidad (a determinar) el cual al impactar contra el bloque (choque totalmente inelástico) se queda incrustado en él, despreciando la energía necesaria para producir la deformación en el bloque así como el calor disipado. A partir de ese instante, el conjunto proyectil+bloque se eleva según una trayectoria pendular (péndulo simple) hasta alcanzar una altura $h$ con respecto al punto más bajo de la misma. Nos proponemos calcular la velocidad con la que fue disparado el proyectil.

Por una parte, al no actuar fuerzas externas, el momento lineal, antes y después del impacto, permanece constante, en consecuencia, $m\,v=(m+M)\,V \quad (1)$, donde $V$ es la velocidad del conjunto bloque-proyectil en cuánto éste empieza a elevarse según la trayectoria pendular.

Inmediatamente después de que el proyectil se haya incrustado en el bloque -el conjunto empieza a moverse a una velocidad $V$- la energía mecánica total es igual a la suma de la energía cinética más la energía potencial del conjunto proyectil-bloque, y estableciendo el origen de potencial (cero de pontencial gravitatorio) en el punto más bajo de la trayectoria pendular, la energía mecánica total en ese instante es igual a $\dfrac{1}{2}\,(m+M)\,V^2$

Cuando el conjunto bloque-proyectil alcance el punto más elevado de la trayectoria pendular, la energía mecánica total en dicho instante en el que la velocidad es nula, es íntegramente energía potencial gravitatoria, $(m+m)\,g\,h$

En consecuencia, por el principio de conservación de la energía mecánica total, se tiene que $$\dfrac{1}{2}\,(m+M)\,V^2=(m+M)\,g\,h \quad (2)$$

Despejando $V$ de (1) y sustituyendo la expresión resultante en (2), podemos escribir: $$\dfrac{1}{2}\,(m+M)\cdot \left(\dfrac{m}{m+M}\,v\right)^2=(m+M)\,g\,h$$ y simplificando, $$v^2=\left(1+\dfrac{M}{m}\right)^2\cdot 2\,g\,h$$ luego $$v=\left(1+\dfrac{M}{m}\right)\cdot \sqrt{2\,g\,h}$$ En la expresión del segundo miembro, todas las cantidades son conocidas: las masa del proyectil, la masa del bloque (antes de que el proyectil quede incrustado en él) y la altura que alcanza el bloque en el punt más elevado del recorrido pendular, con lo cual podemos calcular así la velocidad con la que se disparó el proyectil. $\diamond$

Un ejemplo de aplicación de la conservación del momento lineal en ausencia de fuerzas externas al sistema

Un tripulante, de masa $m$, se encuentra inicialmente en la popa de una embarcación, que tiene una masa $M$ y está en resposo, flotando frente a la orilla. El tripulante, que se encontraba en popa, se pone a andar hacia la proa de la embarcación a velocidad constante, recorriendo una distancia $\Delta\,e$ de la eslora $e$. La barca está orientada perpendicularmente a la orilla de un lago, y su proa se encuentra a una distancia $\ell$ de dicha orilla. ¿A qué distancia estará la proa de la orilla cuando el tripulante haya raecorrido toda la eslora de la embarcación?

Si en un intervalo de tiempo $\Delta\,t$, el tripulante recorre sobre la embarcación una distancia $\Delta\,e$, la velocidad media del tripulante en dicho intervalo es $v_t=\dfrac{\Delta\,e}{\Delta\,t}$.

En la situación inicial, antes de que el tripulante empiece a andar, la cantidad de movimiento, $p_i$, del sistema embarcación-tripulante es es igual a $0$ puesto que no hay movimiento alguno, y al no actuar fuerzas externas sobre el sistema, dicha cantidad de movimiento ha de conservarse, por lo que en la situación final, al avanzar el tripulante hacia proa, la embarcación se alejará de la orilla a una velocidad $v_b=-\dfrac{\Delta\,\ell}{\Delta\,t}$.

Veamos pues a qué distancia de la orilla se encontrará la proa de la embarcación transcurrido ese intervalo de tiempo. Como la cantidad de movimiento en el instante final es $p_f=-\dfrac{\Delta\,\ell}{\Delta\,t}\cdot M + \dfrac{\Delta\,e}{\Delta\,t}\cdot m$ y ésta tiene que ser igual a la cantidad de movimiento en el instante inicial, que es $0$: $$-\dfrac{\Delta\,\ell}{\Delta\,t}\cdot M + \dfrac{\Delta\,e}{\Delta\,t}\cdot m=0$$ luego $$-\Delta\,\ell\cdot M + \Delta\,e \cdot m=0$$ y por tanto, $$\Delta\,\ell = \Delta\,e \cdot \dfrac{m}{M}$$ En consecuencia, la distancia de la proa de la embarcación a la orilla, $\ell+\Delta\,\ell$, será ahora igual a $$\ell+ \Delta\,e \cdot \dfrac{m}{M}$$

Observacines: (1) Es claro que si $m \ll M$, entonces $\dfrac{m}{M} \rightarrow 0$, y por tanto la nueva distancia a la orilla no habrá cambiado; (2), si si $m \approx M$, entonces $\dfrac{m}{M} \approx 1$, y por tanto la nueva distancia a la orilla es en este caso igual a $\ell+\Delta\,e$ (la distancia inicial más la longitud recorrida por el tripulante hacia proa); (3), si la masa de la embarcación fuese muy pequeña, $M\ll m$, entonces $\dfrac{m}{M} \rightarrow \infty$ y por tanto, en este otro caso extremo, la nueva distancia a la orilla (tras haberse desplazado el tripulante hacia proa) sería infinita.

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Veamos un ejemplo con datos concretos para el caso de una embarcación ligera (comparada con la masa del tripulante): Supongamos que $\ell=3\,\text{m}$ (distancia inicial de la proa a la orilla); $\Delta\,e=1\,\text{m}$ (longitud recorrida por el tripulante sobre la embarcación, hacia la proa); $m=80\,\text{kg}$ (masa del tripulante) y $M=30\,\text{kg}$ (masa de la embarcación, que, en este caso es ligera). Con esos datos, la nueva distancia de la proa a la orilla será igual a $$3+ 1 \cdot \dfrac{80}{40}=3+1\cdot 2=5\,\text{m}$$

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¿Cómo medir el coeficiente de rozamiento dinámico, $\mu_d$, entre la cara de contacto de un bloque y la superficie de una rampa (que forma un determinado ángulo, $\theta$, con el plano horizontal) sobre la que dicho bloque empieza a deslizar manteniendo su velocidad constante?

Démonos cuenta de que, como datos del problema, tenemos la aceleración $a$, que es nula -por deslizar por la rampa a velocidad constante- y, también, el ángulo mínimo que forma la rampa con el plano horizontal para que se produzca el deslizamiento. No tenemos información sobre la masa del bloque, pero veremos enseguida que el resultado no depende de ella.

Descomponiendo las fuerzas actuantes en las direcciones de los ejes perpendiculares (el eje Ox en la dirección del movimiento, y el eje Oy, en la dirección perpendicular a la superficie de la rampa), se tiene que:
  En la dirección y sentido de Ox: $m\,g\,\sin(\theta)-\mu\,m\,\cos(\theta)=m\,a=0 \quad (1)$ (como el deslizamiento es a velocidad constante, $a=0$)
  En la dirección y sentido de Oy: $m\,g\,\cos(\theta)-N=0 \quad (2)$, donde $N$ es la fuerza normal a la supeficie de la rampa
Es claro que de (2) no obtenemos información, ésta la obtenemos sólo de (1), que podemos simplificar (cancelando la masa de ambos miembros) de la forma,
  $g\,\sin(\theta)-\mu\,\cos(\theta)=0$
de donde, despejando nuestra incógnita $\mu$ (todo lo demás es datos), se llega al resultado pedido
$$\mu_d = \dfrac{g\,\sin(\theta)}{\cos(\theta)}=g\,\tan(\theta)$$

Observación:
Hay que tener en cuenta que lo que estamos midiendo empíricamente de esta manera es el coeficiente de rozamiento dinámico. Éste, es menor que el coeficiente de rozamiento estático, $\mu_e$, el cual corresponde al de la fuerza máxima, $F_{e_{\text{máxima}}}$, que podemos ejercer sobre el cuerpo antes de que éste inicie el movimiento, y como $F_{e_{\text{máxima}}}=\mu_e\cdot N$, se tiene que $\mu_e=\dfrac{F_{e_{\text{máxima}}}}{N}$, luego $\mu_d \lt \mu_e$. En cambio, el coeficiente de rozamiento dinámico (que es el que acabamos de evaluar en este diseño de experimento) corresponde a la fuerza activa mínima necesaria, $F_{d_{\text{mínima}}}$ que hay que ejercer sobre el cuerpo -lo conseguimos variando el ángulo de inclinación de la rampa- para iniciar el movimiento y que éste se mantenga a velocidad constante, luego $\mu_d=\dfrac{F_{d_{\text{mínima}}}}{N}$. Tanto el coeficiente de rozamiento dinámico como el estático dependen de la naturaleza de las superficies en contacto, pero (prácticamente) no dependen del área de las mismas.

-oOo- A continuación, y como curiosidad útil, transcribo una table comparativa entre los coeficientes dinámico y estático, para distintos materiales en contacto (fuente: [http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica3/]):

Superficies en contacto              | µ_estático     |	µ_dinámico
-------------------------------------------------------------------
Cobre sobre acero	                 |    0,53 	      |   0,36
Acero sobre acero	                 |    0,74	      |   0,57
Aluminio sobre acero	                 |    0,61	      |   0,47
Caucho sobre concreto	                 |    1,0	      |   0,8
Madera sobre madera	                 |entre 0,25 y 0,5    |	  0,2
Madera encerada sobre nieve húmeda       |  0,14	      |   0,1
Teflón sobre teflón	                 |    0,04	      |   0,04
Articulaciones sinoviales en humanos     |    0,01	      |  0,003

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Un ejemplo de conservación del momento angular en ausencia de fuerzas externas

Consideremos dos enengranaje macizos en un mismo eje, los cuales pueden embragarse lateralmente. El engranaje A tiene 20 cm de radio y una masa de 2 kg, y gira libremente a una velocidad de 2000 vueltas por minuto. Supondremos que no hay rozamiento entre el eje y el ajuste de la rueda en él. En el mismo eje tenemos un engranaje B, que no gira (la holgura de su orificio central con el eje es suficiente para que ello sea posible), cuyo radio es de 10 cm y una tien una masa de 1 kg; y, al igual que con A, tampoco hay rozamiento entre el eje y el engranaje B. Así las cosas, embragamos B con A por la cara lateral común, de manera que ahora ambos engranajes giran como un solo cuerpo, a una nueva velocidad. En estas condiciones, estamos interesados en calcular la velocidad angular de los dos engranajes al girar solidariamente.

Antes de embragar lateralmente la segunda rueda a la primera, el momento angular del sistema es $L_i=I_A\,w_{i_{A}}+I_B\,w_{i_{B}}$. Y, como $w_{i_{B}}=0$, se tiene que el momento angular inicial del conjunto es $L_i=I_A\,w_{i_{A}}+0=I_A\,w_{i_{A}}$

Después de embragar lateralmente la segunda rueda a la primera, y suponiendo que el radio del eje es mucho menor que el de los engranajes, el momento angular del sistema es $L_f=I_A\,w_{f_{A}}+I_B\,w_{f_{B}}$. Y, como los dos engranajes giran ahora a la misma velocidad $w_{f_{A}}=w_{f_{B}}=:w_f$, el momento angular final del conjunto es $L_f=I_A\,w_f+I_B\,w_f=(I_A+I_B)\,w_f$

Al no actuar ninguna fuerza externa, el momento angular ha de conservarse, $L_i=L_f$, y por tanto, $I_A\,w_{i_{A}}=(I_A+I_B)\,w_f$, de donde, despejando $w_f$, llegamos a $w_f=\dfrac{I_A}{I_A+I_B}\,w_{i_{A}} \quad (1)$. Recordemos que el momento de inercia respecto al eje de giro de un cilindro macizo de radio $r$ es igual a $\dfrac{1}{2}\,m\,r^2$, por lo que, al asemejar las ruedas dentadas macizas a cilindros macizos (salvando los huecos de los dientes), con lo cual $I_A=\dfrac{1}{2}\,m_A\,r_{A}^{2}$ y $I_B=\dfrac{1}{2}\,m_B\,r_{B}^{2}$. Por consiguiente, de (1), $w_f=\dfrac{\frac{1}{2}\,m_A\,r_{A}^2}{\frac{1}{2}\,m_A\,r_{A}^2+\frac{1}{2}\,m_B\,r_{B}^2}\,w_{i_{A}}=\dfrac{m_A\,r_{A}^2}{m_A\,r_{A}^2+m_B\,r_{B}^2}\,w_{i_{A}}$, y con los datos numéricos del problema, $$w_f=\dfrac{2\cdot (20\cdot 10^{-2})^2}{ 2\cdot (20\cdot 10^{-2})^2+ 1\cdot (10\cdot 10^{-2})^2}\cdot 2\,000 \approx 1\,778\,\dfrac{\text{vueltas}}{\text{min}}$$ $\diamond$