Razonamientos sobre la energía cinética de las cargas eléctricas en movimiento y el potencial eléctrico. Caso de un circuito de corriente continua

En el seno de un campo eléctrico, una carga testigo circula desde los puntos de mayor energía potencial (eléctrica) hacia los puntos de menor energía potencial. Veamos cómo justificar esta afirmación.

Consideremos un campo eléctrico y una pequeña carga testigo, que, en un principio se sitúa en un punto $A$. La carga testigo, viéndose sometida a la acción del campo eléctrico, se dirigirá a otro punto $B$, cambiando su estado de movimiento. Para ello, el sistema deberá aportar una energía (interna) $\Delta\,W$ que es igual a la variación de energía potencial de la carga testigo, $\Delta\,U$, entre los puntos $A$ y $B$. Por el principio de conservación de la energía, deberá cumplirse que $\Delta\,W+\Delta\,U=0 \,\therefore\, \Delta\,W=-\Delta\,U$. Por otra parte, la variación de energía potencial se traduce en la variación de energía cinética de dicha carga testigo, esto es, $\Delta\,W=\Delta\,T$, con lo cual se tiene $-\Delta\,U=\Delta\,T$, donde $\Delta\,T:=T_B-T_A$, en su camino desde el punto $A$ al punto $B$; y, como $T_B\gt T_A$ al ser mayor la velocidad de la carga testigo en el punto $B$ que en el punto $A$, es claro que $\Delta\,T\gt 0$, y por tanto, $-\Delta\,U\gt 0$, es decir, $\Delta\,U := U_B-U_A \lt 0\,\therefore\, U_A \gt U_B$. Nota: en el artículo usamos el Sistema Internacional de unidades.

Corriente eléctrica. Potencial eléctrico en un punto $A$, $V_A$. Diferencia de potencial eléctrico, $\Delta\,V_{BA}=V_B-V_A$, entre un punto $B$ y un punto $A$

Es bien sabido que, en un circuito eléctrico de corriente continua, los electrones (su carga eléctrica es negativa) libres, que son los portadores de carga eléctrica, circulan por el exterior del circuito impulsados por un generador —puede ser de diversos tipos: pilas, baterías, fuentes de alimentación (proporcionan corriente continua a partir de corriente alterna), células de combustible (reacción del hidrógeno con el oxígeno), células fotovoltaicas, etcétera— desde el borne negativo del generador eléctrico al borne positivo del mismo, dando lugar a una corriente eléctrica (de electrones). La velocidad media de los electrones en un conductor es del orden $1\,\dfrac{\text{mm}}{\text{s}}$; sin embargo, las señales eléctricas a través de un conductor viajan a velocidades del orden de la velocidad de la luz, y esa aparente contradicción se explica de la siguiente manera.

Acabamos de ver que toda carga eléctrica circula desde los puntos en los que su energía potencial (eléctrica) es mayor hacia los puntos en los que su energía potencial es menor. Se define ahora la diferencia de potencial eléctrico entre dos puntos de un circuito entre dos puntos $A$ y $B$ —suponemos aquí que la corriente va de $A$ a $B$—, como la variación de energía potencial eléctrica, $\Delta\,U_{BA}:=U_B-U_A$ proporcionada por el generador por unidad de carga eléctrica: $\Delta\,V:=\dfrac{\Delta\,U}{Q}$, donde $Q$ se mide culombios (C), esto es, $V_B-V_A:=\dfrac{1}{Q}\,(U_B-U_A)$, y tiene dimensiones de $\dfrac{\text{J}}{\text{C}}$, unidad a la que llamamos voltio (V). Pues bien, veremos a continuación, que dicha corriente eléctrica (corriente de electrones), lo hace de tal de modo que el potencial eléctrico (también llamado voltaje) en $A$, $V_A$, es menor que el potencial eléctrico (voltaje) en $B$, $V_B$. Usualmente, denominamos también caída de tensión eléctrica entre los puntos $B$ y $A$, y lo denotamos por $V_{BA}$.
    En efecto, hemos demostrado antes que $U_A-U_B\gt 0$, y por tanto $U_B-U_A\lt 0$; entonces, como $V_B-V_A\equiv\dfrac{U_B-U_A}{Q}\gt 0$ ya que $Q\lt 0$ (recordemos que estamos hablando de una corriente de electrones), por consiguiente $V_B \gt V_A$; y, como los electrones viajan desde el borne negativo al borne positivo del generador, se deduce de ello que el potencial eléctrico en el borne negativo del generador es menor que el del borne positivo del mismo, $V_{+} \gt V_{-}$.

Fuerza electromotriz (f.e.m.), $\mathcal{E}$, de un generador eléctrico

El generador eléctrico impulsa a los electrones por el circuito exterior, transfiriéndoles energía. Se denomina fuerza electromotriz de dicho generador a la cantidad de energía que suministra por unidad de carga eléctrica, esto es, como $\mathcal{E}:=\dfrac{W}{Q}$, donde $Q$ designa la cantidad de carga eléctrica, y se expresa en culombios (C). Nótese que, dimensionalmente, $[ \mathcal{E}]=[W/Q]=J/C=V$.

1. Circuito de c.c. compuesto de un generador y una resistencia externa conectados en serie

La corriente de electrones que circula por el circuito exterior del generador, atraviesa una resistencia ohmica $R$; además, debe haber también un movimiento de cargas eléctricas dentro del propio generador, entre el ánodo (+) y el cátodo (-), por lo que éste tiene también una resistencia ohmica, que designaremos por $r$, y que, a efectos de cálculo, la consideramos dispuesta en serie con la resistencia $R$. Entonces, en un incremento $\Delta\,t$, el generador, al mover una cantidad de carga $\Delta\,Q$, proporciona una cantidad de energía $\Delta\,W=\Delta\,Q\cdot\mathcal{E} \quad (1)$, lo cual viene de la definición $\mathcal{E}:=\dfrac{W}{Q}$. Por otra parte, podemos escribir que $\Delta\,Q=I\,\Delta\,t$, donde $I$ denota la intensidad de corriente, que se expresa en amperios (A): $[I]=\left[\dfrac{Q}{\Delta\,t}\right]=\text{C}/\text{s}=\text{A}$, por tanto, (1) nos queda $\Delta\,W=I\cdot \mathcal{E}\,\Delta\,t$. Y como las resistencias ohmicas disipan energía por medio de calor, dicha energía disipada es igual a $\Delta\,W_{\text{disipada}}=-(R+r)\,I^2\,\Delta\,t$; y, por el teorema de conservación de la energía: $\Delta\,W+\Delta\,W_{\text{disipada}}=0$, esto es $I\cdot \mathcal{E}\cdot \Delta\,t+(-(R+r)\,I^2\,\Delta\,t)=0\,\therefore\, \mathcal{E}=(R+r)\,I \Rightarrow I=\dfrac{\mathcal{E}}{R+r}$

Caída de tensión entre los extremos $L$ y $M$ de una resistenca externa $R$. Intensidad de corriente.

Para la resistencia $R$ (resistencia de carga del circuito), es evidente, que al ir la corriente de $L$ hacia $M$, se tiene que $V_{ML}\equiv V_M-V_L \lt \mathcal{E}\equiv V_{+}-V_{-}$. Como la intensidad de corriente que atraviesa $R$ es $I=\dfrac{\mathcal{E}}{R+r}$, la caída de tensión en $R$ es $$V_{ML}=I\,R=\dfrac{\mathcal{E}}{R+r}\,R \quad \quad (1)$$

Rendimiento de un generador al conectar (únicamente) una resistencia externa al circuito

La resistencia $R$ —la resistencia de carga del circuito, o resistencia externa se considera un receptor, que convierte energía eléctrica en calor; hay otros tipos de receptores: motores, células electroquímicas, zumbadores, lumínicos, etcétera—, es el elemento en el que nos centraremos para calcular el rendimiento del generador —veámosla como la resistencia de un calentador eléctrico—. Se define el rendimiento del generador como el cociente de energías, $\mu_{\text{generador}}:=\dfrac{P_{\text{útil}}}{P_{\text{entregada por el generador}}}$ ($P$ indica cantidad de energía por unidad de tiempo, potencia). En nuestro caso, la potencia útil corresponde aproximadamente —suponemos que $R$ es considerablemente mayor que $r$— a la disipación por calor en la resistencia de carga $R$, luego $P_{\text{útil}}=R\,I^2$, y $P_{\text{entregada por el generador}}=\mathcal{E}\,I$. Por consiguiente, $$\mu_{\text{generador}}=\dfrac{R\,I^2}{\mathcal{E}\,I}=\dfrac{R\,I}{\mathcal{E}}=\dfrac{V_{ML}}{\mathcal{E}}\overset{\text{por}\,(1)}{=}\dfrac{R}{R+r}$$

2. Circuito de c.c. compuesto por un generador, una resistencia externa y un motor eléctrico, conectados en serie

Fuerza contraelectromotriz de un motor, intensidad de corriente que circula, caída de tensión entre los bornes de un motor, rendimiento del motor, y rendimiento del generador

Otro tipo de receptor de corriente es el motor eléctrico, el cual convierte la la energía la suministrada por el generador en energía mecánica y, también, en calor (por efecto disipativo de los elementos que lo componen). Caracterizaremos un motor mediante una fuerza contraelectromotriz $\mathcal{E}'$, que se define como la energía eléctrica empleada por el motor por unidad de carga eléctrica, y una resistencia ohmica de resitencia $r'$, que disipa energía en forma de calor.

La intensidad de corriente, $I$, que circula por el circuito la podemos calcular de la siguiente manera. Como la potencia entregada por el generador es igual a $\mathcal{E}\,I$, ésta deberá ser igual a la suma de la potencial mecánica que entrega el motor y la energía disipada en forma de calor por las resistencias ohimicas $R$ (externa), $r$ (r. interna del generador) y $r'$ (r. ohmica del motor), luego por el principio de conservación de la enrgía: $$\mathcal{E}\,I=\mathcal{E}'\,I+(R+r+r')\,I^2\,\therefore\,I=\dfrac{\mathcal{E}-\mathcal{E}'}{R+r+r'}\quad \quad (2)$$

Calculemos ahora la caída de tensión entre los bornes del motor, $\Delta\,V_{\text{bornes del motor}}$, bornes que designamos, para mayor comprensión, por $M$ y $N$ —conectamos el motor a la derecha de la resistencia externa— (la corriente de electrones libres va de $M$ a $N$). Para calcular $\Delta\,V_{\text{bornes del motor}}=V_{NM}$ —recordemos, por cierto, la notación: $V_{NM}\equiv V_N-V_M$—, hay que tener en cuenta también la resistencia interna del motor, a través de la cual disipa parte de la energía que le llega en forma de calor. Como la potencia eléctrica entregada al motor (entre sus bornes), $V_{NM}\cdot I$, ha de ser igual a la transformación de la misma en: a) energía mecánica $\mathcal{E}'\cdot I$, y b) energía disipada por efecto Joule (calor) en la resistencia interna del mismo, $r'\,I^2$, podemos escribir: $$V_{NM}\cdot I=\mathcal{E}'\cdot I+ r'\, I^2\,\therefore\,\Delta\,V_{\text{bornes del motor}}=\mathcal{E}'+r'\,I\overset{\text{por}\,(2)}{=}\dfrac{\mathcal{E}'\cdot (R+r+r')}{\mathcal{E}'\cdot (R+r)+\mathcal{E}\,r'}$$

Finalmente, calculemos el rendimiento del motor. Como la potencia útil (mecánica) es $P_{\text{mecánica útil}}=I\,\mathcal{E}'$; y, por otra parte, la potencia disipada en él ha de ser igual a la caída de tensión entre sus bornes por la intensidad que pasa por él, se tiene que $\mu_{\text{motor}}=\dfrac{I\cdot \mathcal{E}'}{I\cdot \Delta\,V_{\text{bornes del motor}}}=\dfrac{\mathcal{E}'}{\Delta\,V_{\text{bornes del motor}}}=\dfrac{\mathcal{E}'}{\mathcal{E}'+r'\,I}$.

En cuanto al rendimiento del generador, $\mu_{\text{generador}}$, habría ahora que recalcularlo, siguiendo los mismos razonamientos que habíamos hecho en la sección anterior, pero teniendo en cuenta también el añadido del elemento motor, y podemos comprobar fácilmente que, ahora, es $$\mu_{\text{generador}}=\dfrac{R}{R+r+r'}\,\left(1-\dfrac{\mathcal{E}'}{\mathcal{E}}\right)$$

3. Circuito de c.c. compuesto por un generador, una resistencia externa y un celda electroquímica (c.e.), conectados en serie

Fuerza contraelectromotriz de una c.e., intensidad de corriente que circula, caída de tensión entre los bornes de la c.e., rendimiento de la c.e., y rendimiento del generador

Una celda electroquímica es un tipo de receptor de corriente que convierte la energía la energía eléctrica en energía química —un buen ejemplo es la carga de una batería mediante un generador—. Como en todo receptor, habrá una pérdida de energía en forma de calor (por efecto disipativo de los elementos que lo componen dicho dispositivo). Caracterizaremos una celda electroquímica mediante una fuerza contraelectromotriz $\mathcal{E}^{''}$, que se define como la energía eléctrica empleada por la c.e. por unidad de carga eléctrica, y una resistencia ohmica de resitencia $r''$ ohmica, que disipa energía en forma de calor. Hay que tener en cuenta que es importante respetar la polaridad de la celda: el ánodo debe ir conectado al borne positivo del generador, y el cátodo al borne negativo.

De manera análoga, repitiendo los pasos de la sección anterior, podemos comprobar fácilmente que la intensidad de corriente, $I$, que circula por el circuito es $$I=\dfrac{\mathcal{E}-\mathcal{E}''}{R+r+r''}$$ siendo la caída de tensión entre los bornes de la c.e.: $$\Delta\,V_{\text{c.e.}}=\mathcal{E}''+r''\cdot I$$ El rendimiento de la c.e. —pensando en términos análogos a los de las secciones anteriores— podemos entenderlo como el cociente entre diferencia de potencial entre el ánodo y el cátodo de la celda, $\Delta\,V_{AK}$, y la fuerza electromotriz $\mathcal{E}$ del generador.

Cálculo de la intensidad que circula por un circuito formado por la asociación en serie de más de un receptor, de más de un generador, y por una resistencia de carga $R$ (externa)

De todo lo dicho anteriormente en cuanto al cálculo de la intensidad de corriente, fácilmente podemos hacer la siguiente generalización, para el caso de tener $\mathcal{E}_i$ ($i=1,\ldots,n$) generadores (con sus respectivas resistencias internas, $r_i$), $\mathcal{E}_{j}^{'}$ ($j=1,\ldots,m$) receptores (con sus respectivas resistencias internas, $r_{j}^{'}$), y una resistencia $R$ (que puede también considerarse como otro recptor): $$I=\dfrac{\displaystyle \sum_{i=1}^{n}\,\mathcal{E}_{i} -\displaystyle \sum_{j=1}^{m}\,\mathcal{E}_{j}^{'} }{\displaystyle \sum_{i=1}^{n}\,r_{i}+\displaystyle \sum_{j=1}^{m}\,r_{j}^{'}+R}$$ El rendimiento del generador y de los receptores se calculan siguiendo los mismos razonamientos que los descritos para los casos de circuitos sencillos (con un sólo receptor y un sólo generador) pero teniendo en cuenta, desde luego, las asociaciones.

Observación: Los generadores conectados con la polaridad invertida con respecto a la establecida podemos considerarlos con fuerza electromotriz negativa. Esto es fácil de comprender si atendemos al hecho de que un circuito con dos generadores con polaridad inversa uno con respecto al otro equivale a tener efecto nulo a la hora de crear una corriente eléctrica, pues el campo eléctrico en el conductor es nulo, resultado de sumar los campos correspondiente a sendos gneradores: son de igual módulo pero de signo opuesto.

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Referencias:

  [1] S. Serra; M. Armengol; J. Mercadé, Física de Batxillerat; tomo I. McGraw-Hill, Madrid, 2008.
  [2] J. Fernández; M. Pujal, Iniciación a la Física; tomo II. Reverté, Barcelona, 1991.
  [3] vv.aa., Sistema Internacional de Unidades, Wikipedia [https://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_Internacional_de_Unidades]

Estudio de la máquina doble de Atwood

En los artículos de los enlaces (archivos PDF) he realizado el ejercicio de análisis de este sistema (masas de las poleas despreciables, al igual que la masa de las dos cuerdas) mediante dos procedimientos: (a) aplicando las ecuaciones de Newton tal cual a cada subsistema, y (b) empleando el formalismo de Lagrange. Los resultados son, obviamente, los mismos; sin embargo, siempre es interesante y educativo resolver un mismo problema desde varios enfoques:

1. Planteando las ecuaciones de Newton en cada subsistema
2. Empleando el formalismo de Lagrange
3. Empleando el formalismo de Hamilton

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Referencias:

  [1] J.B. Marion, Mecánica clásica de las partículas y sistemas, Reverté, Barcelona, 1998.
  [2] H. Goldstein, Mecánica clásica, Reverté, Barcelona, 1990.

Aplicación del formalismo hamiltoniano a una máquina de Atwood simple

En otro artículo del blog he expuesto la aplicación del formalismo lagrangiano a la máquina de Atwood. Recordemos una vez más que la máquina de Atwood consiste en dos masas, $m_1$ y $m_2$ unidas por una cuerda inelástica (de longitud $\ell$) y de masa despreciable que pasa por una polea ideal (de masa también despreciable) —ésta, por tanto, no gira (la cuerda desliza, sin rozamiento, por la ranura de la misma—. En este artículo voy a exponer como se aplica el formalismo hamiltoniano a este mismo sistema holónomo, encontrando así la ecuación del movimiento (ya conocida, aplicando Lagrange o bien, simplemente, las ecuaciones de Newton).

Figura 1

El sistema de referencia se coloca en la línea horizontal que pasa por el centro de la polea —en la figura 1 se muestran las coordenadas de posición de sendas masas en un instante arbitrario—; como $x_1+x_2=\ell$ (constante), se tiene que $\dot{x}_1+\dot{x}_2=0$, luego $\dot{x}\equiv \dot{x}_1=-\dot{x}_2$

Como el sistema es conservativo, hemos visto que la función lagrangiana podemos escribirla de la forma: $\mathcal{L}:=T-U$, donde $T$ es la energía cinética, y por tanto, $T=\dfrac{1}{2}\,m_1\,\dot{x}_{1}^{2}+\dfrac{1}{2}\,m_1\,\dot{x}_{2}^{2}=\dfrac{1}{2}\,m_1\,\dot{x}^{2}+\dfrac{1}{2}\,m_1\,(-\dot{x})^{2}=\dfrac{1}{2}\,(m_1+m_2)\,\dot{x}^2$
y $U$ es la energía potencial, luego, $U=-m_1\,g\,x_1-m_2\,g\,x_2=-m_1\,g\,x_1-m_2\,g\,(\ell-x_1)=-(m_1-m_2)\,g\,x-m_2\,g\,\ell$.

Construyamos la función hamiltoniana, que dependerá de la coordenada generalizada $q\equiv x$ y del correspondiente momento generalizado $p\equiv p_x:=m\,\dot{x}$. Así:
$\mathcal{H}(x,p_x)=T+U=$
          $=\dfrac{1}{2}\,(m_1+m_2)\,\dot{x}^2-(m_1-m_2)\,g\,x-m_2\,g\,\ell$
              $\overset{\text{aclaración (1)}}{=}\dfrac{p_{x}^2}{2\,(m_1+m_2)}-(m_1-m_2)\,g\,x-m_2\,g\,\ell \quad \quad (2)$

--- Aclaración (1): De la función lagrangiana
  $\mathcal{L}(x,\dot{x}):=\dfrac{1}{2}\,(m_1+m_2)\,\dot{x}^2-\left(-(m_1-m_2)\,g\,x-m_2\,g\,\ell\right)$     $=\dfrac{1}{2}\,(m_1+m_2)\,\dot{x}^2+(m_1-m_2)\,g\,x+m_2\,g\,\ell$, obtenemos el momento generalizado $p_x$; en efecto, a partir de $$p_x=\dfrac{\partial\,\mathcal{L}}{\partial\,\dot{x}}=(m_1+m_2)\,\dot{x}$$ se deduce que $$\dot{x}=\dfrac{p_x}{m_1+m_2} $$ De esta manera, podemos expresar la función hamiltoniana $\mathcal{H}$, que en un principio la habíamos escrito en función de $x$ y $\dot{x}$, en función de $x$ y $p_x$ (2), como debe ser. ---

Ahora escribamos las ecuaciones de Hamilton:
$$\left\{\begin{matrix}-\dfrac{\partial\,\mathcal{H}}{\partial\,x}=\dot{p}_x & \quad \quad (3)\\ \dfrac{\partial\,\mathcal{H}}{\partial\,p_x}=\dot{x} & \quad \quad (4) \end{matrix}\right.$$ y teniendo en cuenta la expresión (2) $$\left\{\begin{matrix}(m_1-m_2)\,g=\dot{p}_x & \quad \quad (3')\\ \dfrac{p_x}{m_1+m_2}=\dot{x} & \quad \quad (4') \end{matrix}\right.$$ De (4') vemos que $\dot{p}_x=(m_1+m_2)\,\dot{x}$ —que también se ha obtenido a partir de la función lagrangiana [aclaración (1)]—; sustituyendo esto en (3'), llegamos a $(m_1-m_2)\,g=(m_1+m_2)\,\ddot{x}$, esto es, $\ddot{x}=\dfrac{m_1-m_2}{m_1+m_2}\,g$ (resultado obtenido ya por otros procedimientos en otros artículos).

Con las condiciones iniciales del movimiento, $\{x(t=0)=x_0\,\dot{x}(t=0)=v_0\}$, podemos integrar fácilmente la ecuación (2), obteniendo $\dot{x}(t)=v_0+\dfrac{m_1-m_2}{m_1+m_2}\,g\,t$; y, de ésta,$$x(t)=x_0+v_0\,t+\dfrac{1}{2}\,\dfrac{m_1-m_2}{m_1+m_2}\,g\,t^2$$ $\diamond$

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Referencias:

  [1] K.R. Symon, Mecánica, Aguilar, Madrid, 1977.
  [2] M.R. Spiegel, Mecánica teórica, McGraw-Hill, Mexico, 1976.

Aplicación del formalismo hamiltoniano a un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (m.r.u.a.)

Presento en este artículo un sencillo ejemplo de aplicación del formalismo hamiltoniano. Se trata de obtener la ecuación del movimiento (unidimensional) a partir de las ecuaciones canónicas de Hamilton para la caída libre de un cuerpo de masa $m$ en un campo gravitatorio newtoniano (m.r.u.a.) cuya intensidad sea constante y tome el valor $g$. Consideraré que las fuerzas de rozamiento con el medio durante la caída son despreciables.

Recordemos que la función hamiltoniana se define como $\mathcal{H}:=\displaystyle \sum_{i=1}^{n}\,p_i\,\dot{q}_i-\mathcal{L}$, donde $\mathcal{L}$ es la función lagrangiana., y $n$ designa el número de grados de libertad del sistema. La función hamiltoniana depende de las variables $p_i$ (cantidades de movimiento) y $q_i$ (posiciones) de las $N$ partículas del sistema. Entonces, el sistema viene descrito por las ecuaciones canónicas de Hamilton: $$\left\{\begin{matrix}-\dfrac{\partial\,\mathcal{H}}{\partial\,q_i}=\dot{p_i} \\ \dfrac{\partial\,\mathcal{H}}{\partial\,p_i}=\dot{q_i}\\ \end{matrix}\right.\, i=1,2,\ldots,n$$

Si el sistema es conservativo —las fuerzas del sistema vienen dadas a partir de una función pontencial—, se demuestra que $\mathcal{H}=T+U$, siendo $T$ la energía cinética (que vendrá expresada en función de los momentos) y $U$ la energía potencial (que se expresa en función de las posiciones); éste es nuestro caso.

Al tratarse de un movimento unidimensional y constar el sistema de solamente una partículas, éste tiene solamente un grado de libertad ($n=1$). Las variables que intervienen son $q\equiv x$ (distancia al origen del sistema de referencia, que situamos en el punto en el que se inicia el movimiento), siendo $p=mv=m\,\dot{x}$ el momento lineal (cantidad de movimiento). La energía cinética puede escribirse en función del momento lineal: $T=\dfrac{1}{2}\,m\,v^2\overset{p:=mv}{=}\dfrac{p^2}{2m}$, y la energía potencial es $U=-mgx$. Así pues, $$\mathcal{H}=\dfrac{p^2}{2m}-mgx$$ y las ecuaciones canónicas de Hamilton son $$\left\{\begin{matrix}-\dfrac{\partial\,\mathcal{H}}{\partial\,x}=\dot{p} \\ \dfrac{\partial\,\mathcal{H}}{\partial\,p}=\dot{x}\\ \end{matrix}\right.$$ donde $-\dfrac{\partial\,\mathcal{H}}{\partial\,x}=-(-mg)=mg$ y $-\dfrac{\partial\,\mathcal{H}}{\partial\,p}=\dfrac{2p}{2m}=\dfrac{p}{m}$, luego, como $p=m\,\dot{x}$, y a partir de la primer ecuación, podemos integrar las ecuaciones del movimiento del m.r.u.a., teniendo en cuenta las condiciones iniciales del mismo: $x(t=0)=x_0$ y $\dot{x(t=0)}=v_0$: $$\left\{\begin{matrix}m\,g=\dot{(m\,\dot{x})}=m\,\ddot{x} \Rightarrow \ddot{x}=g \Rightarrow \dot{x}=g\,t+v_0 \Rightarrow x=x_0+v_0\,t+\dfrac{1}{2}\,g\,t^2 \\ \dfrac{p}{m}=\dot{x} \Rightarrow p=m\,\dot{x}\;\text{, resultado éste, de esta segunda ecuación, que, en este caso, resulta trivial}\end{matrix}\right.$$ $\diamond$

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Referencias:

  [1] H. Goldstein, Mecánica clásica, Reverté, Barcelona, 1990.
  [2] M.R. Spiegel, Mecánica teórica, McGraw-Hill, Mexico, 1976.

Aplicación del formalismo lagrangiano a una máquina de Atwood simple

Consideremos la máquina de Atwood de la figura 1. Recordemos que la máquina de Atwood consiste en dos masas, $m_1$ y $m_2$ unidas por una cuerda inelástica (de longitud $\ell$) y de masa despreciable que pasa por una polea ideal (de masa también despreciable) —ésta, por tanto, no gira (la cuerda desliza, sin rozamiento, por la ranura de la misma—. En este artículo voy a exponer como se aplica el formalismo lagrangiano a este sencillo sistema holónomo, que nos permite calcular la ecuación del movimiento.

Procedimiento 1

Figura 1

El sistema de referencia se coloca en la línea horizontal que pasa por el centro de la polea —en la figura 1 se muestran las coordenadas de posición de sendas masas en un instante arbitrario—; como $x_1+x_2=\ell$ (constante), se tiene que $\dot{x}_1+\dot{x}_2=0$, luego $\dot{x}\equiv \dot{x}_1=-\dot{x}_2$, por lo que el sistema de ecuaciones de Euler-Lagrange se reducirá a una sola ecuación (en función de $\dot{x}$ y de $x$): $$\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{\partial\,\mathcal{L}}{\partial\,\dot{x}}\right)-\dfrac{\partial\,\mathcal{L}}{\partial\,x}=0\quad \quad (1)$$

Construyo el lagrangiano: $\mathcal{L}:=T-U$, donde $T$ es la energía cinética, y por tanto, $T=\dfrac{1}{2}\,m_1\,\dot{x}_{1}^{2}+\dfrac{1}{2}\,m_1\,\dot{x}_{2}^{2}=\dfrac{1}{2}\,m_1\,\dot{x}^{2}+\dfrac{1}{2}\,m_1\,(-\dot{x})^{2}=\dfrac{1}{2}\,(m_1+m_2)\,\dot{x}^2$
y $U$ es la energía potencial, luego, $U=-m_1\,g\,x_1-m_2\,g\,x_2=-m_1\,g\,x_1-m_2\,g\,(\ell-x_1)=-(m_1-m_2)\,g\,x-m_2\,g\,\ell$. Entonces, $$\mathcal{L}=\dfrac{1}{2}\,(m_1+m_2)\,\dot{x}^2-\left(-(m_1-m_2)\,g\,x-m_2\,g\,\ell\right)=\dfrac{1}{2}\,(m_1+m_2)\,\dot{x}^2+(m_1-m_2)\,g\,x+m_2\,g\,\ell$$ Por consiguiente, $\dfrac{\partial\,\mathcal{L}}{\partial\,\dot{x}}=(m_1+m_2)\,\dot{x} \therefore \dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{\partial\,\mathcal{L}}{\partial\,\dot{x}}\right)=(m_1+m_2)\,\ddot{x}$, y $\dfrac{\partial\,\mathcal{L}}{\partial\,x}=(m_1-m_2)\,g$.

Sustituyendo todo esto en (1), se llega a la ecuación de la aceleración $$(m_1+m_2)\,\ddot{x}-(m_1-m_2)\,g=0\quad \quad (2)$$ y por tanto $$\ddot{x}=\dfrac{m_1-m_2}{m_1+m_2}\,g\quad \quad (3)$$ Recordemos que, como $x\equiv x_1=(\ell-x_2)$, $\dot{x}\equiv \dot{x}_1=-\dot{x}_2$, con lo cual, $\ddot{x}\equiv \ddot{x}_1=-\ddot{x}_2$, y, como debe ser en este sistema con polea de masa nula: $$\ddot{x}_2=-\dfrac{m_1-m_2}{m_1+m_2}\,g$$

--- Observación 1: En el caso de que $m_1$ sea igual a $m_2$, se tiene que $\ddot{x}_1=0$, como cabría esperar, ya que en estas condiciones el sistema está en equilibrio.

Observación 2: En el caso de que $m_1$ sea igual a $m_2$ ($m_1=m_2\dot{=}m$), se tiene que $$T_1=T_2=\dfrac{2\,m^2}{2\,m}\,g=m\,g$$ que es como debe ser, ya que en estas condiciones de equilibrio, las masas penden de cada lado, sin que haya movimiento.

Observación 3: Con las condiciones iniciales del movimiento, $\{x(t=0)=x_0\,\dot{x}(t=0)=v_0\}$, podemos integrar fácilmente la ecuación (2), obteniendo $\dot{x}(t)=v_0+\dfrac{m_1-m_2}{m_1+m_2}\,g\,t$; y, de ésta,$x(t)=x_0+v_0\,t+\dfrac{1}{2}\,\dfrac{m_1-m_2}{m_1+m_2}\,g\,t^2$ ---

Cálculo de la tensión de la cuerda

Obsérvese que las tensiones no aparecen directamente en la (única) ecuación de Lagrange que hemos planteado. Para calcular las tensiones en un sistema mecánico a partir de las ecuaciones de Euler-Lagrange, es necesario incluir explícitamente las tensiones como fuerzas de ligadura, con las respectivas ecuaciones de Lagrange adicionales, tal como haremos, más abajo, en el Procedimiento 2. Pero también (y sencillamente) podemos escribir la segunda ley de Newton (tal cual) para cada subsistema, a lo cual ya estamos acostumbrados desde los primeros cursos de física. Nótese que al no tener masa la polea, las tensiones en los subsistemas izquierdo y derecho son iguales (por comodidad denomino $\tau$ a esa tensión), ya que la cuerda inelástica es un medio continuo y toda tensión se transmite por igual a todos sus puntos. Bastará con elegir uno de los dos substistemas y escribir en él la segunda ley de Newton; en el de la izquierda, por ejemplo: $m_1\,g-\tau=m_1\,\ddot{x}$, esto es, $(m_1-\ddot{x}\,g=\tau$, y, teniendo en cuenta (3) puede escribirse que $\tau=\left(1-\dfrac{m_1-m_2}{m_1+m_2}\right)\,g\,m_1$ y, simplificando la expresión dentro del paréntesis, se llega a $$\tau_1=\tau_2=\dfrac{2\,m_1\,m_2}{m_1+m_2}\,g$$

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Procedimiento 2

Otra forma de obtener la tensión —que entendemos como una fuerza de ligadura—, a la vez que la ecuación del movimiento, mediante las ecuaciones de Lagrange, consiste en utilizar al principio de los trabajos virtuales —se desprende del principio de d'Alembert—, recurriendo para ello al artificio de considerar «variable» la longitud de la cuerda en los desplazamientos virtuales (aún sin ser consecuentes con la ligadura real del problema: longitud de la cuerda constante). Con este planteamineto, deberemos escribir la energía cinética del sistema de la forma $$T=\dfrac{1}{2}\,m_1\,\dot{x}^2+\dfrac{1}{2}\,m_2\,(\dot{\ell}-\dot{x})^2 \quad \quad (4)$$ Tendremos por tanto dos coordenadas en lugar de una sola: $x$ y $\ell$, que, por otra parte, entendemos como coordenadas generalizadas $q_1\equiv x$ y $q_2\equiv \ell$. Es claro que tendremos dos ecuaciones en el sistema de ecuaciones de Lagrange y no solamente una, como en el caso de obtener solamente la ecuación del momiviento.

La tensión (fuerza de ligadura) de la cuerda, $\tau$, no deriva de una función potencial, y, por tanto, tampoco la fuerza generalizada asociada a $\ell$, por lo que no podremos escribir las ecuaciones de Lagrange en la forma (1), sino únicamente en términos de la energía cinética, que como sabemos bien (referencias), son de la forma: $$\left\{ \begin{matrix} \dfrac{d}{dt} \,\left( \dfrac{\partial\,T} {\partial\,\dot{x}_1} \right) - \dfrac{\partial\,T} {\partial\,x} =Q_{x} & \quad \quad (6)\\ \dfrac{d}{dt} \,\left( \dfrac{\partial\,T} {\partial\,\dot{\ell}} \right) - \dfrac{\partial\,T} {\partial\,\ell} =Q_{\ell} & \quad \quad (7) \end{matrix}\right.$$
De (4) obtenemos: $\dfrac{\partial\,T}{\partial\,\dot{x}}=(m_1+m_2)\,\dot{x} \,\therefore \, \dfrac{d}{dt}\,\left( \dfrac{\partial\,T}{\partial\,\dot{x}}\right)=(m_1+m_2)\,\ddot{x}$; $\dfrac{\partial\,T}{\partial\,\dot{\ell}}=m_2\,(\dot{\ell}-\dot{x}_1) \,\therefore \, \dfrac{d}{dt}\,\left( \dfrac{\partial\,T}{\partial\,\dot{\ell}}\right)=m_2\,(0-\ddot{x}_1)=-m_2\,\ddot{x}_1$; $\dfrac{\partial\,T}{\partial\,\ell}=0$; por tanto, las ecuaciones (6) y (7) quedan de la forma $$\left\{ \begin{matrix} (m_1+m_2)\,\ddot{x}=Q_{x} & \quad \quad (6')\\ -m_2\,\ddot{x} =Q_{\ell} & \quad \quad (7') \end{matrix}\right.$$
Veamos a continuación cuáles son las fuerzas generalizadas, $Q_{x_1}$ y $Q_{\ell}$, asociadas a las coordenadas generalizadas $x_1$, y $\ell$

Teniendo en cuenta que las fuerzas que actúan sobre la masa $m_1$ (lado izquierdo) es $m_1\,g-\tau$ y que las fuerzas que actúan sobre $m_2$ (lado derecho) es $-(m_2\,g-\tau)$, y teniendo en cuenta un incremento $\delta\,x$ de $x$ (manteniendo $\ell$ constante), el trabajo realizado por la fuerza neta en un desplazamiento $\delta\,x$ es $\delta\,W=\left((m_1\,g-\tau)-(m_2\,g-\tau)\right)\,\delta\,x=(m_1-m_2)\,g\,\delta\,x$, luego la fuerza generalizada asociada a la coordenada generalizada $x$ es $$Q_{x}=(m_1-m_2)\,g \quad \quad (8)$$ Nota: observemos que esta expresión es independiente de $\tau$

Por otra parte, considerando un incremento $\delta\,\ell$ de $\ell$ (manteniendo $x$ constante), y habida cuenta de que la fuerza neta sobre $m_2$, que es $m_2\,g-\tau$ —según el primer miembre de la ecuación (7'), ésta describe la dinámica de la masa $m_2$—, vemos que el trabajo realizado es $\delta\,W=(m_2\,g-\tau)\,\delta\,\ell$, luego la fuerza generalizada asociada a la coordenada generalizada $\ell$ es $$Q_{\ell}=m_2\,g-\tau\quad \quad (9)$$ y, ésta sí, depende de $\tau$.



Finalmente, sustituyendo (8) y (9) en (6') y (7'), llegamos a: $$\left\{ \begin{matrix} (m_1+m_2)\,\ddot{x}=(m_1-m_2)\,g & \quad \quad (10)\\ -m_2\,\ddot{x} =m_2\,g-\tau & \quad \quad (11) \end{matrix}\right.$$ La primera ecuación, (10), es la ecuación del movimiento que ya habíamos obtenido en (2) por el primer procedimiento. De (10) podemos escribir (3); y de la segunda, (11), y teniendo en cuenta (3), despejamos la tensión: $$\tau=m_2\,g+m_2\,\ddot{x}_1=\left(1+\dfrac{m_1-m_2}{m_1+m_2}\right)\,m_2\,g=\dfrac{m_1\,m_2}{m_1+m_2}\,g$$ que, es el resultado ya obtenido mediante el primer procedimiento. Nota: recordemos una vez más que al no tener masa la polea, $\tau_1=\tau_2 \equiv \tau$. $\diamond$

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Referencias:

  [1] K.R. Symon, Mecánica, Aguilar, Madrid, 1977.
  [2] M.R. Spiegel, Mecánica teórica, McGraw-Hill, Mexico, 1976.

Un ejemplo de sistema no integrable (no holónomo) de ligaduras en un sistema (mecánico) de partículas

Clasificación de las ligaduras

Recordemos algunos conceptos básicos: las ligaduras limitan el movimiento del sistema, luego, además de la segunda ecuación de Newton, éstas son necesarias para obtener (por integración) las ecuaciones del movimiento. Cada ligadura tiene asociada una ecuación, que, en coordenadas cartesianas, en general, es del tipo $f(\vec{r}_{\nu},\dot{\vec{r}}_{\nu},t)=0 \quad \quad (1)$, donde el subíndice ${\nu}$ se refiere a las $N$ partículas de que consta el sistema, designando por tanto, para cada de la partícula $\nu$-ésima, $\nu=1,\ldots,N$: $\vec{r}_\nu=x_{\nu}\,\hat{i}+x_{\nu}\,\hat{j}+x_{\nu}\,\hat{k}$, siendo $\{\hat{i},\hat{j},\hat{k}\}$ los vectores de una base otornormal del espacio euclídeo $\mathbb{R}^3$ (a los que solemos referirnos como versores), las coordenadas de posición, y por $\dot{\vec{r}}$ las coordenadas de velocidad.

Ligadura esclerónomas y reónomas

Si en (1) no aparece explícitamente el tiempo $t$, diremos que la ligadura es esclerónoma; si no fuese así, la clasificaríamos como una ligadura reónoma.

Ligaduras holónomas

En el caso de que, en una ecuación de ligadura en la que intervengan (aparezcan en su ecuación) las velocidades (ligadura diferencial o cinemática), sea posible expresar (1) como una ecuación de la forma $f(\vec{r}_{\nu},t)=c \quad \quad (2)$ ($c$ es una constante), diremos que se trata de una ligadura integrable (o holónoma); para ello, es necesario que la ecuación diferencial asociada sea una diferencial exacta, o bien, de no serlo, pueda encontrarse un factor integrante.

Desde luego, tampoco es holónoma una ligadura si en su descripción matemática en lugar del igual apareciera una desiguadad (fuerte o débil) —tal es el caso, por ejemplo, de dos partículas unidas por un hilo inextensible—. En el caso de poder expresarse (2) de la forma $f(\vec{r}_{\nu})=0$, por ser $c=0$, nos referimos a ella como de tipo geométrico (también llamada de tipo finito).

Sistemas de ligaduras. Sistemas holónomos y sistemas no holónomos

En un sistema mecánico suele haber más de una ligadura. El conjunto de las ecuaciones/inecuaciones constituye el sistema de ligaduras. Para que un sistema de ligaduras sea holónomo, todas y cada una de las ligaduras deberá ser holónoma. Si una de dichas ligaduras no fuese holónoma, diríamos que el sistema es no holónomo.

Ejemplo de sistema de ligaduras no holónomo

Se consideran dos puntos materiales en un plano, de coordenadas $A=(x_1,y_1)$ y $B=(x_2,y_2)$, unidos por una varilla. Como primera condición, supondremos que la varilla es rígida, y su longitud es $\ell$. Una segunda condición es que, al moverse la varilla por el plano, ésta está constreñida en dicho plano. Y una tercera condición consistirá en suponer que la velocidad del punto medio tiene siempre la misma dirección que la varilla, como podria ser, por ejemplo, la hoja de un patín en una pista de hielo. Así pues, teniendo en cuenta estas tres restricciones, podemos escribir el sistema de ligaduras mediante las correspondientes tres ecuaciones:

1. $(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2=\ell^2$
2. $z_1=z_2=0$
3. Como es bien sabido, las coordenadas del punto medio del segmento (de la varilla) vienen dadas por $M=\left(\dfrac{x_1+x_2}{2},\dfrac{y_1+y_2}{2}\right)$, por las coordenadas de la velocidad de dicho punto son $\left(\dfrac{\dot{x_1}+\dot{x_2}}{2},\dfrac{\dot{y_1}+\dot{y_2}}{2}\right)$, y, teniendo en cuenta que el vector velocidad ha de tener la misma dirección que el vector $\overset{\rightarrow}{AB}=(x_2-x_1,y_2-y1)$, deberá cumplirse que $\left(\dfrac{\dot{x_1}+\dot{x_2}}{2},\dfrac{\dot{y_1}+\dot{y_2}}{2}\right)=\lambda\,(x_2-x_1,y_2-y1)\;,\lambda\in \mathbb{R}$, luego $$\left\{\begin{matrix}\dfrac{\dot{x_1}+\dot{x_2}}{2}=\lambda\,(x_2-x_1)\\ \dfrac{\dot{y_1}+\dot{y_2}}{2}=\lambda\,(y_2-y_1)\end{matrix}\right.\; \lambda\in \mathbb{R}\quad \quad (3)$$ Despejando el parámetro $\lambda$ e igualando los segundos miembros se llega a la siguiente ligadura difencial (o cinemática) $$\dfrac{\dot{x_1}+\dot{x_2}}{x_2-x_1}=\dfrac{\dot{y_1}+\dot{y_2}}{y_2-y_1}$$

Las ligaduras (1) y (2) son de tipo finito (geométrico) ya que las coordenadas de la velocidad no figuran en ellas. Por otra parte, la ligadura (3) no lo es de tipo geométrico, pues en ella aparecen las coordenadas de la velocidad y por tanto es de tipo diferencial (también denominada de tipo cinemático); y, por no depender explícitamente de $t$, se trata de una ligadura esclerónoma; ahora bien, este sistema de ligaduras no es integrable (es no holónomo), por ser (3) una ligadura no integrable (no holónoma). En efecto, de (3) podemos escribir las ecuaciones diferenciales: $\left\{\begin{matrix} dx_1+dx_2=2\,\lambda\,(x_2-x_1) \\ dy_1+dy_2=2\,\lambda\,(y_2-y_1)\end{matrix}\right.$, y ninguna de las dos es del tipo diferencial exacta ni se puede encontrar factores integrantes. $\diamond$

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Nota: Recordemos que una ecuación diferencia se dice exacta si es del tipo $M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0$ (donde $x$ e $y$ son dos variables genéricas), con lo cual existe una función $F(x,y)$ tal que $dF(x,y)=\dfrac{\partial\,F(x,y)}{\partial\,x}\,dx+\dfrac{\partial\,F(x,y)}{\partial\,y},dy$, por lo que $\dfrac{\partial\,F(x,y)}{\partial\,x}=M(x,y)$ y $\dfrac{\partial\,F(x,y)}{\partial\,y}=N(x,y)$; y, al ser $F(x,y)$ una función diferenciable, se cumplirá que $\dfrac{\partial^2\,F(x,y)}{\partial\,x \, \partial\,y}=\dfrac{\partial^2\,F(x,y)}{\partial\,y \, \partial\,x}=\dfrac{\partial\,M(x,y)}{\partial\,y}=\dfrac{\partial\,N(x,y)}{\partial\,x}$. Y, en el caso de no ser exacata, podría llegar a serlo si se multiplica por una función especial $\mu(x,y)$, denominada factor integrante, tal que la nueva ecuación $\mu ( x , y ) M ( x , y ) d x + \mu ( x , y ) N ( x , y ) d y = 0$ sí sea exacta.$\diamond$

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Referencias:

  [1] H. Goldstein, Mecánica clásica, Reverté, Barcelona, 1990.
  [2] F.R. Grantmájer, Mecánica analítica, Editorial URSS, Moscú, 2003.
  [3] J.B. Marion, Mecánica clásica de las partículas y sistemas, Reverté, Barcelona, 1998.
  [4] K.R. Symon, Mecánica, Aguilar, Madrid, 1977.
  [5] M.R. Spiegel, Mecánica teórica, McGraw-Hill, Mexico, 1976.
  [6] N, Piskunov, Cálculo diferencial e integral, Montaner y Simón, S.A., Barcelona, 1978.