Un bloque encima de otro, ambos en reposo y sobre el suelo. Fuerza de reacción del suelo.

Consideremos un conjunto de dos bloques rígidos, descansando uno sobre el otro, y reposando el conjunto sobre el suelo (horizontal), al que designaremos $T$. El bloque superior, $S$, tiene una masa $m_S$ y el bloque inferior, $I$, una masa $m_I$. Nos preguntamos cuál es la fuerza normal que $T$ ejerce sobre $I$, la fuerza que $S$ ejerce sobre $I$ y la fuerza que $I$ ejerce sobre $S$.

Analicemos el subsistema formado por el cuerpo $S$, que reposa sobre la cara superior del bloque $I$: Las fuerzas actuantes son $F_{I\rightarrow S}$ (fuerza que el bloque inferior, $I$, ejerce sobre el bloque superior $S$, y $P_S$ (el peso del cuerpo superior $S$); la correspondiente ecuación del balance de fuerzas es, $F_{I\rightarrow S}-P_S=0 \quad (1)$ (como todas las fuerzas tienen la misma dirección, puede omitirse la notación vectorial).

Analicemos también el subsistema formado por el cuerpo $I$ (sin olvidar que el bloque $S$ se carga sobre $I$), que reposa sobre el suelo $T$: Las fuerzas actuantes son: $F_{T\rightarrow I}$, que es la fuerza que $T$ ejerce sobre $I$; $F_{S\rightarrow I}$ (fuerza que el bloque $S$ ejerce sobre el bloque $I$), y $P_S$ (el peso del cuerpo $S$); entonces, la correspondiente ecuación del balance de fuerzas es $F_{T\rightarrow I}-F_{S\rightarrow I}-P_{I}=0 \quad (2)$ (al igual que en la ecuación $(1)$, como todas las fuerzas tienen la misma dirección, puede omitirse la notación vectorial).

De $(1)$, se obtiene que $F_{I\rightarrow S}-P_S$, y como $P_S=m_{S}\,g$ (siendo $g$ la intensidad del campo gravitatorio), deducimos que $F_{I\rightarrow S}=m_{S}\,g$. Por otra parte, por el principio de acció-reacción, $F_{I\rightarrow S}=F_{S\rightarrow I}=m_{S}\,g$, luego de $(2)$ se tiene que $F_{T\rightarrow I}-m_{S}\,g-m_{I}\,g=0$; en cosecuencia, $F_{T\rightarrow I}=m_{S}\,g+m_{I}\,g$

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Un problema de movimientos circulares uniformes

Dos cochecitos de juguete recorren un circuito circular, en sentidos opuestos, cada uno en el respectivo carril. El radio del circuito mide $4\,\text{m}$. Uno de ellos, $A$, se mueve con una velocidad lineal de $1\,\dfrac{\text{m}}{\text{s}}$ y el otro, $B$, a $3\,\dfrac{\text{m}}{\text{s}}$. Los dos coches, separados una distancia de $2\,\text{m}$ (longitud de arco que los separa), arrancan en el mismo instante. ¿Cuánto tardarán en cruzarse? ¿Dónde producirá dicho cruce?

Voy a resolver el problema planteándolo en términos de magnitudes angulares. La velocidad angular de $A$ es $w_A=\dfrac{v_A}{r}=\dfrac{3}{4}\,\dfrac{\text{rad}}{\text{s}}$, y la velocidad angular de $B$, $w_B=\dfrac{v_B}{r}=\dfrac{1}{4}\,\dfrac{\text{rad}}{\text{s}}$. Por otra parte, como la longitud de arco que los separa antes de que se pongan en movimiento es $s_0=2\,\text{m}$, la separación angular correspondiente es $\theta_0=\dfrac{s_0}{r}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}\,\text{rad}$

Situemos el sistema de referencia, pongamos que en la posición de salidad de $A$, entonces la ecuación del movimiento de $A$ es $\theta_{A}(t)=\theta_{0}(A)+w_A\,t=0+\dfrac{1}{4}\,t=\dfrac{1}{4}\,t$, y la ecuación del movimiento de $B$, $\theta_{B}(t)=\theta_{0}(B)+w_B\,t=\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{4}\,t$.

En el cruce, deberá cumplirse que la suma de las posiciones angulares sea igual a una vuelta completa, esto es $2\,\pi\,\text{rad}$, por consiguiente, escribiremos: $\theta_{A}(t)+\theta_{B}(t)=2\,\pi$, ecuación que permite calcular el tiempo que pasa desde que salen hasta que se cruzan:
  $\dfrac{1}{4}\,t+\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{4}\,t=2\,\pi$
    $\dfrac{1}{4}\,t+\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{4}\,t=2\,\pi$
      $t+\dfrac{1}{2}=2\,\pi$
        $t=2\,\pi-\dfrac{1}{2} \approx 4,8 \,\text{s}$

Para calcular la posición angular del punto de cruce referida a la posición de salida de $A$, simplemente calcularemos $\theta_{A}(2\,\pi-\dfrac{1}{2})=\dfrac{1}{4}\cdot (2\,\pi-\dfrac{1}{2})=\dfrac{4\,\pi-1}{8}\,\text{rad}$, que expresada en longitud de arco como distancia al punto de partida de $A$ (basta multiplicar por el valor del radio del circuito) es igual a $(\dfrac{4\,\pi-1}{8})\cdot 4 \text{m} = \dfrac{4\,\pi-1}{2}\,\text{m}$.

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Nota 1: Comprobamos que $\left(\dfrac{4\,\pi-1}{8}\,\text{rad}\right)+\left(\dfrac{12\,\pi+1}{8}\,\text{rad}\right)=\dfrac{16\,\pi}{8}=2\,\pi\,\text{rad}$, como debe ser.

Nota 2: Para calcular la posición angular del punto de cruce referida a la posición de salida de $B$, calcularemos $\theta_{B}(2\,\pi-\dfrac{1}{2})=\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{4}\cdot ( 2\,\pi-\dfrac{1}{2} )=\dfrac{12\,\pi+1}{8}\,\text{rad}$, que expresada en longitud de arco como distancia al punto de partida de $B$ es $(\dfrac{12\,\pi+1}{8})\cdot 4 \,\text{m} = \dfrac{12\,\pi+1}{2} \,\text{m}$

Nota 3: Comprobemos que la suma de las longitudes de arco correspondientes a las posiciones de cruce calculadas (con respecto a la posición de salida de $A$, y de la posición de salida de $B$) sea igual a la longitud de la circunferencia; en efecto: $\dfrac{4\,\pi-1}{2}\,\text{m} + \dfrac{12\,\pi+1}{2} \,\text{m} = \dfrac{16\,\pi}{2}\,\text{m}=8\,\pi\,\text{m}$, que es igual a la longitud de la circunferencia del circuito: $2\,\pi\,r=2\,\pi\cdot 4=8\,\pi\,\text{m}$.

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Un ejemplo de cálculo del campo eléctrico en una región del espacio, a partir de la función potencial escalar

A modo de ejercicio, voy a calcular el campo eléctrico en una región del espacio en la que el potencial eléctrico es $V(x,y,z)=x+3y^2+z^3$

El campo eléctrico en una región viene dado por $\vec{E}=-\vec{\nabla}\,V$, siendo el operador gradiente $\vec{\nabla}=\dfrac{\partial}{\partial\,x}\,\hat{i}+\dfrac{\partial}{\partial\,y}\,\hat{j}+\dfrac{\partial}{\partial\,z}\,\hat{k}$. Entonces, $\vec{\nabla}\,V=\dfrac{\partial\,V(x,y,z)}{\partial\,x}\,\hat{i}+\dfrac{\partial\,V(x,y,z)}{\partial\,y}\,\hat{j}+\dfrac{\partial\,V(x,y,z)}{\partial\,z}\,\hat{k}=$
$=1\,\hat{i}+6y\,\hat{j}+3z^2\,\hat{k}\,\therefore\, \vec{E}=-\hat{i}-6y\,\hat{j}-3z^2\,\hat{k}$

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Una cuestión acerca del campo y del potencial eléctrico

Consideremos una región del espacio en la que el potencial eléctrico sea constante. ¿Qué puede decirse acerca del campo eléctrico en dicha región?.

Teniendo en cuenta que el campo es el vector opuesto del gradiente de potencial, al ser constante el potencial en dicha región, el campo en la misma será nulo. $\diamond$

Una cuestión acerca del potencial eléctrico en un punto

Consideremos un punto aislado en el que el potencial eléctrico es nulo, ¿quiere decir ésto que, necesariamente, no puede haber cargas eléctricas alrededor de dicho punto?.

Por el principio de superposición, el potencial en un punto es igual a la suma de los potenciales creados por un conjunto de cargas, y como un potencial, en función del signo de la carga que lo crea, puede ser positivo o negativo, además de depender su valor de la distancia al punto en cuestión, es posible que la suma sea nula; por consiguiente, es posible que haya distribuciones de carga eléctrica que creen un potencial nulo en un punto dado. $\diamond$

Análisis de la dinámica de un Yo-yo

Un cilindro de radio $r$ tiene enrrollado un hilo resistente, a modo de Yo-yo. El extremo de dicho hilo se ancla al techo, y el cilindro (Yo-yo) queda de esta manera suspendido. La masa del cilindro es $m$ y la masa del hilo se considera despreciable. Voy a calcular la tensión del hilo $T$ y la aceleración $a$ con la que el cilindro desciende hacia el suelo.

Partiremos de la segunda ley de newton (la suma de fuerzas ha de ser igual a la masa por la aceleración del descenso); y, al haber también movimiento de giro, también de la ecuación de los momentos (la suma de momentos con respecto al eje de rotación del Yo-yo ha de ser igual al momento de inercia del mismo $I$ multiplicado por la aceleración angular $\alpha$). Es decir:

• $T\,r=I\,\alpha \quad (1)$
• $P-T=m\,a \quad (2)$

Teniendo en cuenta que, tratándose de un cilindro, su momento de intercia es $I=\dfrac{1}{2}\,m\,r^2$, podemos escribir $(1)$ de la forma $T\,r=\dfrac{1}{2}\,m\,r^2\,\alpha$, que simplificado queda, $T=\dfrac{m\,r\,\alpha}{2} \quad (1')$

Como, además, $a=m\,\alpha$, y $P=m\,g$ (siendo $g$ la intensidad del campo gravitatorio), la ecuación $(2)$ puede escribirse de la forma $m\,g-\dfrac{m\,r\,\alpha}{2}=m\,r\,\alpha$, que, al simplificar, nos lleva a $\alpha\,r=\dfrac{2}{3}\,g \quad (2')$, esto es, $a=\dfrac{2}{3}\,g$. Y al sustituir $(2')$ en $(1')$, se llega a $T=\dfrac{m\,g}{3}=\dfrac{1}{3}\,P$

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Un caso de movimiento circular

Una partícula describe el siguiente movimiento circular uniforme: $\vec{r}(t)=-3\,\cos(5t)\hat{i}+0\,\hat{j}+3\,\sin(5t)\,\hat{k}$ (en unidades del SI). Voy a calcular la aceleración tangencial, la aceleración normal, y el radio de curvatura (radio de la circunferencia).

Como el movimiento es cicurlar uniforme, es claro que la aceleración tangencial ha de ser nula ($\vec{a}_T=\vec{0}$); que no así, la aceleración normal, ya que, de ser ésta nula, el movimiento sería rectilíneo.

Comentario: Al ser nula la segunda componente del vector de posición genérico, la trayectoria se inscribe en el plano $Oxz$

Calculo la velocidad y la aceleración: $\vec{v}(t):=\dot{\vec{r}}(t)=15\,\sin(5t)\hat{i}+0\,\hat{j}+15\,\cos(5t)\,\hat{k}$; $\vec{a}(t):=\ddot{\vec{r}}(t)=75\,\cos(5t)\hat{i}+0\,\hat{j}-75\,\sin(5t)\,\hat{k}$

Teniendo en cuenta que $\vec{a}=\vec{a}_{T}+\vec{a}_N$, se tiene que $\vec{a}_N=\vec{a}-\vec{a}_{T}$, y como $\vec{a}_{T}=\vec{0}$, $\vec{a}_N=\vec{a}=75\,\cos(5t)\hat{i}+0\,\hat{j}-75\,\sin(5t)\,\hat{k}$

Además, se sabe que en un movimiento circular, el radio de curvatura es constante, y está relacionado con los módulos de la aceleración normal y de la velocidad de la forma $|\vec{a}_{N}|=\dfrac{(|\vec{v}|)^2}{R}$, por tanto $R=\dfrac{(|\vec{v}|)^2}{|\vec{a}_{N}|}=\dfrac{\left(\sqrt{15^2\,\sin^2\,(5t)+0^2+15^2\,\cos^2(5t)}\right)^2}{\sqrt{75^2\,\cos^2\,(5t)+0^2+75^2\,\sin^2(5t)}}=\dfrac{15^2}{75}=3\,\text{m}$

-oOo- Nota: A sabiendas de que tratamos con un movimiento circular, el radio de curvatura constante (radio de la circunferencia) puede determinarse también a partir de la ecuación cartesiana de dicha circunferencia: de la ecuación vectorial dada en el enunciado, se puede escribir fácilmente las ecuaciones paramétricas: $\left\{\begin{matrix}x(t)=-3\,\cos(5t) \\ y(t)=3\,\sin(5t) \\ z(t)=0\end{matrix}\right.$, así que, elevando al cuadrado y sumando miembro a miembro: $x(t)^2+y(t)^2+z(t)^2=(-3\,\cos(5t))^2+0^2+(3\,\sin(5t))^2=3^2\cdot (\cos^2\,(5t)+\sin^2(5t))=3^2\cdot 1=3^2$ por consiguiente, reconociendo en dicha ecuación la de una circunferencia centrada en el origen de coordenadas (cuya ecuación es $x(t)^2+y(t)^2+z(t)^2=R^2$), se deduce de inmediato que $R^2=3^2 \Rightarrow R=3\,\text{m}$

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Análisis de una trayectoria

En un cierto movimiento de una partícula, su vector de posición es $\vec{r}(t)=t^2\,\hat{i}+\hat{j}+t^2\,\hat{k}$. ¿Es un movimiento acelerado? ¿Se curva la trayectoria?

Para responder a esas preguntas, calcularé la aceleración normal y la aceleración tangencial (a la trayectoria). Si la aceleración normal fuese nula, la trayectoria no se curvaría, y el movimiento sería rectilíneo; en caso contrario, no sería rectilíneo. Por otra parte, si la aceleración fuese nula, se trataría de un movimiento uniforme, y, en caso contrario, de un movimiento acelerado.

El vector velocidad en un instante genérico es $\vec{v}(t):=\dot{\vec{r}}(t)=2\,t\,\,\hat{i}+0\,\hat{j}+2\,t\,\hat{k}$ y el vector aceleración (en un instante genérico) es $\vec{a}(t):=\ddot{\vec{r}}(t)=2\,\,\hat{i}+0\,\hat{j}+2\,\hat{k}=2\,(\hat{i}+0\,\hat{j}+\hat{k}) \neq \vec{0}=$, así que, obviamente, el movimiento no es uniforme.

Ahora, con un poco de atención por nuestra parte, el problema acabaría aquí, ya que si reparamos en el hecho de que, como acabamos de ver, $\vec{a}(t)=2\,\,\hat{i}+0\,\hat{j}+2\,\hat{k}\neq \vec{0}$, esto es, $\vec{a}(t) \propto \vec{v}(t)$ ya que $\vec{v}(t)=t\,\vec{a}(t)$; es decir, al tener el vector aceleración (en un instante genérico) la misma dirección que el vector velocidad (en un instante genérico), la aceleración (total) es tangencial (toda ella) en cualquier punto de la trayectoria, de lo que se deduce que la componente normal de dicha aceleración total es nula, por lo que no hay curvatura, es decir, la trayectoria es rectilínea.

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No obstante, y por si hubiese pasado percibido dicho detalle, calcularé la aceleración normal, para ver cómo es. Para ello, tengamos en cuenta que la aceleración tangencial en un instante genérico es $\vec{a}_T=a_T\,\hat{v}$, donde $\hat{v}$ representa un vector unitario en la misma dirección que $\vec{v}$ (y, por tanto, en la misma dirección que la aceleración tangencial); donde el módulo de dicha aceleración tangencial es $a_{T}:=\dfrac{d}{dt}(|\vec{v}|)$. Además, como $\vec{a}=\vec{a}_N+\vec{a}_T$, conoceremos de ahí la velocidad normal: $\vec{a}_N=\vec{a}-\vec{a}_T$.

Calculo pues lo que hace falta: $|\vec{v}|=\sqrt{(2t)^2+o^2+(2t)^2}=2\,\sqrt{2}\,t$, luego el módulo de la aceleración tangencial es $a_T=\dfrac{d}{dt}(2\,\sqrt{2}\,t)=2\,\sqrt{2} \neq 0$, por lo que ello constanta que el movimiento no es uniforme, pues, por lo menos, es acelerado en la dirección tangencial.

Veamos ahora si la trayectoria se curva, analizando la velocidad normal. Un vector unitario de la velocidad (y por tanto de la aceleración tangencial) es $\hat{v}=\dfrac{1}{|\vec{v}(t)|}\,\vec{v}(t)=\dfrac{1}{2\,\sqrt{2}\,t}\,\left(2\,t\,\hat{i}+0\,\hat{j}+2\,t\,\hat{k}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\,\left(\hat{i}+0\,\hat{j}+\hat{k}\right)$, con lo cual $\vec{a}_T=(2\,\sqrt{2})\cdot \dfrac{1}{\sqrt{2}}\,\left(\hat{i}+0\,\hat{j}+\hat{k}\right) =2\,(\hat{i}+0\,\hat{j}+\hat{k})$, luego $\vec{a}_{N}(t)=\vec{a}(t)-\vec{a}_{T}(t)=2\,(\hat{i}+0\,\hat{j}+\hat{k})-2\,(\hat{i}+0\,\hat{j}+\hat{k})=\vec{0}$, con lo cual, obviamente, se llega, también así, a la misma conclusión a la que se había ya hace rato: el movimiento es rectilíneo y acelerado. $\diamond$

Velocidad media y aceleración media entre dos instantes de tiempo

Una partícula se mueve según la trayectoria $\vec{r}(t)=t^4\,\hat{i}+t^3\,\hat{j}+t^2\,\hat{k}$. Voy a calcular la velicidad y la aceleración en un instante de tiempo $t$ genérico, y, finalmente, la velocidad media y la aceleración media entre los instantes de tiempo $t_i=1$ s y $t_f=2$ s

Cálculo de la velocidad instantánea: $\vec{v}(t):=\dot{\vec{r}}(t)=4\,t^3\,\hat{i}+3\,t^2\,\hat{j}+2\,t\,\hat{k}$

Cálculo de la aceleración instantánea: $\vec{a}(t):=\ddot{\vec{r}}(t)=12\,t^2\,\hat{i}+6\,t\,\hat{j}+2\,\hat{k}$

Cálculo de la velocidad media entre $t_i$ y $t_f$: $$\vec{v_{m_{(t_i,t_f)}}}(t):=\dfrac{\vec{v}(t_f)-\vec{v}(t_i)}{t_f-t_i}=\dfrac{\vec{v}(2)-\vec{v}(1)}{2-1}=\dfrac{(4\cdot 2^3\,\hat{i}+3\cdot 2^2\,\hat{j}+2\cdot 2\,\hat{k})-(4\cdot 1^3\,\hat{i}+3\cdot 1^2\,\hat{j}+2\cdot 1\,\hat{k})}{1}$$ $$=(32-4)\,\hat{i}+(12-3)\,\hat{j}+(4-2)\,\hat{k}=28\,\hat{i}+9\,\hat{j}+2\,\hat{k}$$

Cálculo de la aceleración media entre $t_i$ y $t_f$: $$\vec{a_{m_{(t_i,t_f)}}}(t):=\dfrac{\vec{a}(t_f)-\vec{a}(t_i)}{t_f-t_i}=\dfrac{\vec{a}(2)-\vec{a}(1)}{2-1}=\dfrac{(12\cdot 2^2\,\hat{i}+6\cdot 2\,\hat{j}+2\,\hat{k})-(12\cdot 1^2\,\hat{i}+6\cdot 1\,\hat{j}+2\,\hat{k})}{1}$$ $$=(48-12)\,\hat{i}+(12-6)\,\hat{j}+(2-2)\,\hat{k}= 36\,\hat{i}+6\,\hat{j}+0\,\hat{k}$$

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Celeridad media en un recorrido total formado por varios tramos en los que se circula a distinta velocidad

Un ciclista recorre $20$ km a $35$ km/h, y los siguientes $30$ km a $25$ km/h, ¿cuál es la celeridad media en el recorrido total?

El recorrido total es de $20+30=50$ km, y el tiempo empleado es igual a $20/35$ h + $30/25$ h, esto es, $62/35$ h; en consecuencia, la velocidad media pedida es igual a $\dfrac{50}{62/35}=871/31$ km/h $\approx 28,23$ km/h. $\diamond$