¿Cómo medir el coeficiente de rozamiento dinámico, $\mu_d$, entre la cara de contacto de un bloque y la superficie de una rampa (que forma un determinado ángulo, $\theta$, con el plano horizontal) sobre la que dicho bloque empieza a deslizar manteniendo su velocidad constante?

Démonos cuenta de que, como datos del problema, tenemos la aceleración $a$, que es nula -por deslizar por la rampa a velocidad constante- y, también, el ángulo mínimo que forma la rampa con el plano horizontal para que se produzca el deslizamiento. No tenemos información sobre la masa del bloque, pero veremos enseguida que el resultado no depende de ella.

Descomponiendo las fuerzas actuantes en las direcciones de los ejes perpendiculares (el eje Ox en la dirección del movimiento, y el eje Oy, en la dirección perpendicular a la superficie de la rampa), se tiene que:
  En la dirección y sentido de Ox: $m\,g\,\sin(\theta)-\mu\,m\,\cos(\theta)=m\,a=0 \quad (1)$ (como el deslizamiento es a velocidad constante, $a=0$)
  En la dirección y sentido de Oy: $m\,g\,\cos(\theta)-N=0 \quad (2)$, donde $N$ es la fuerza normal a la supeficie de la rampa
Es claro que de (2) no obtenemos información, ésta la obtenemos sólo de (1), que podemos simplificar (cancelando la masa de ambos miembros) de la forma,
  $g\,\sin(\theta)-\mu\,\cos(\theta)=0$
de donde, despejando nuestra incógnita $\mu$ (todo lo demás es datos), se llega al resultado pedido
$$\mu_d = \dfrac{g\,\sin(\theta)}{\cos(\theta)}=g\,\tan(\theta)$$

Observación:
Hay que tener en cuenta que lo que estamos midiendo empíricamente de esta manera es el coeficiente de rozamiento dinámico. Éste, es menor que el coeficiente de rozamiento estático, $\mu_e$, el cual corresponde al de la fuerza máxima, $F_{e_{\text{máxima}}}$, que podemos ejercer sobre el cuerpo antes de que éste inicie el movimiento, y como $F_{e_{\text{máxima}}}=\mu_e\cdot N$, se tiene que $\mu_e=\dfrac{F_{e_{\text{máxima}}}}{N}$, luego $\mu_d \lt \mu_e$. En cambio, el coeficiente de rozamiento dinámico (que es el que acabamos de evaluar en este diseño de experimento) corresponde a la fuerza activa mínima necesaria, $F_{d_{\text{mínima}}}$ que hay que ejercer sobre el cuerpo -lo conseguimos variando el ángulo de inclinación de la rampa- para iniciar el movimiento y que éste se mantenga a velocidad constante, luego $\mu_d=\dfrac{F_{d_{\text{mínima}}}}{N}$. Tanto el coeficiente de rozamiento dinámico como el estático dependen de la naturaleza de las superficies en contacto, pero (prácticamente) no dependen del área de las mismas.

-oOo- A continuación, y como curiosidad útil, transcribo una table comparativa entre los coeficientes dinámico y estático, para distintos materiales en contacto (fuente: [http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica3/]):

Superficies en contacto              | µ_estático     |	µ_dinámico
-------------------------------------------------------------------
Cobre sobre acero	                 |    0,53 	      |   0,36
Acero sobre acero	                 |    0,74	      |   0,57
Aluminio sobre acero	                 |    0,61	      |   0,47
Caucho sobre concreto	                 |    1,0	      |   0,8
Madera sobre madera	                 |entre 0,25 y 0,5    |	  0,2
Madera encerada sobre nieve húmeda       |  0,14	      |   0,1
Teflón sobre teflón	                 |    0,04	      |   0,04
Articulaciones sinoviales en humanos     |    0,01	      |  0,003

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Un ejemplo de conservación del momento angular en ausencia de fuerzas externas

Consideremos dos enengranaje macizos en un mismo eje, los cuales pueden embragarse lateralmente. El engranaje A tiene 20 cm de radio y una masa de 2 kg, y gira libremente a una velocidad de 2000 vueltas por minuto. Supondremos que no hay rozamiento entre el eje y el ajuste de la rueda en él. En el mismo eje tenemos un engranaje B, que no gira (la holgura de su orificio central con el eje es suficiente para que ello sea posible), cuyo radio es de 10 cm y una tien una masa de 1 kg; y, al igual que con A, tampoco hay rozamiento entre el eje y el engranaje B. Así las cosas, embragamos B con A por la cara lateral común, de manera que ahora ambos engranajes giran como un solo cuerpo, a una nueva velocidad. En estas condiciones, estamos interesados en calcular la velocidad angular de los dos engranajes al girar solidariamente.

Antes de embragar lateralmente la segunda rueda a la primera, el momento angular del sistema es $L_i=I_A\,w_{i_{A}}+I_B\,w_{i_{B}}$. Y, como $w_{i_{B}}=0$, se tiene que el momento angular inicial del conjunto es $L_i=I_A\,w_{i_{A}}+0=I_A\,w_{i_{A}}$

Después de embragar lateralmente la segunda rueda a la primera, y suponiendo que el radio del eje es mucho menor que el de los engranajes, el momento angular del sistema es $L_f=I_A\,w_{f_{A}}+I_B\,w_{f_{B}}$. Y, como los dos engranajes giran ahora a la misma velocidad $w_{f_{A}}=w_{f_{B}}=:w_f$, el momento angular final del conjunto es $L_f=I_A\,w_f+I_B\,w_f=(I_A+I_B)\,w_f$

Al no actuar ninguna fuerza externa, el momento angular ha de conservarse, $L_i=L_f$, y por tanto, $I_A\,w_{i_{A}}=(I_A+I_B)\,w_f$, de donde, despejando $w_f$, llegamos a $w_f=\dfrac{I_A}{I_A+I_B}\,w_{i_{A}} \quad (1)$. Recordemos que el momento de inercia respecto al eje de giro de un cilindro macizo de radio $r$ es igual a $\dfrac{1}{2}\,m\,r^2$, por lo que, al asemejar las ruedas dentadas macizas a cilindros macizos (salvando los huecos de los dientes), con lo cual $I_A=\dfrac{1}{2}\,m_A\,r_{A}^{2}$ y $I_B=\dfrac{1}{2}\,m_B\,r_{B}^{2}$. Por consiguiente, de (1), $w_f=\dfrac{\frac{1}{2}\,m_A\,r_{A}^2}{\frac{1}{2}\,m_A\,r_{A}^2+\frac{1}{2}\,m_B\,r_{B}^2}\,w_{i_{A}}=\dfrac{m_A\,r_{A}^2}{m_A\,r_{A}^2+m_B\,r_{B}^2}\,w_{i_{A}}$, y con los datos numéricos del problema, $$w_f=\dfrac{2\cdot (20\cdot 10^{-2})^2}{ 2\cdot (20\cdot 10^{-2})^2+ 1\cdot (10\cdot 10^{-2})^2}\cdot 2\,000 \approx 1\,778\,\dfrac{\text{vueltas}}{\text{min}}$$ $\diamond$

Dinámica de una gota de agua en el parabrisas de un vehículo en aceleración

Una gota de agua de lluvia cae en el parabrisas de un vehículo. El parabrisas forma un ángulo $\theta$ con respecto al plano horizontal. El rozamiento entre la gota y la superficie del parabrisas es $\mu$. Se quiere calcular la aceleración que tiene que tener el coche para que la gota de agua no deslize hacia abajo.

Situemos el sistema de referencia en el centro de la gota, con el eje Ox en la dirección del movimiento del vehículo, y el eje Oy en la dirección perpendicular a ésta. Descompongamos las fuerzas actuantes (peso, normal a la superficie del parabrisas, y la fuerza de rozamiento entre la gota y la superficie del parabrisas) según las direcciones de los ejes del sistema de referencia:
  Ox: $N\cdot \sin(\theta) - \mu\,N\,\cos(\theta)=m\,a$
  Oy: $N\cdot \cos(\theta) + \mu\,N\,\sin(\theta)-m\,g=0$
(la gota no se mueve a lo largo del eje Oy)
Simplificando,
  Ox: $N\,(\sin(\theta) - \mu\,\cos(\theta))=m\,a \quad (1)$
  Oy: $N\,(\cos(\theta) + \mu\,\sin(\theta)=m\,g \quad \;\, (2)$
Dividiendo, miembro a miembro, (1) entre (2) y despejando $a$ llegamos a $$a=g\cdot \dfrac{\tan(\theta)-\mu}{1+\mu\,\tan(\theta)}$$

Así, como ejempo, para un ángulo del parabrisas, pongamos que de $30^\circ$ y $\mu=0,25$, se tiene que $a=9,81\cdot \tan(30^\circ) \approx 2,81 \,\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$, que, dicho sea de paso, viene a ser la aceleración de un coche rápido que pase de 0 km/h a 100 km/h en 10 segundo, más o menos.

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Dinámica de rotación de un cilindro hueco, de grosor despreciable, que rueda sin deslizar por un plano inclinado

Un cilindro hueco, cuya pared es de grosor despreciable, y que tiene masa $m$ y radio $R$, se sitúa sobre una rampa que forma un ángulo $\theta$ con el plano horizontal y empieza a rodar sin deslizar pendiente abajo. Se quiere calcular la aceleración del centro de masas del cilindro.

Denotemos por $a$ a la aceleración del centro de masas, el cual corresponde al centro del aro. Si rueda sin deslizar debe haber una fuerza de rozamiento, $f_r$, que lo permita; entonces por la segunda ley de Newton podemos escribir $$m\,a = m\,g\,\sin(\theta) - f_r \quad (1)$$ Por otra parte, el momento de dicha fuerza de rozamiento que explica el giro viene dado por $f_r\,R = I_e\,\alpha \quad (2)$, donde $I_e$ representa el momento de inercia con respecto al eje de giro (que es perpendicular al plano que contiene al aro y pasa por el centro de éste), y por tanto, tratándose de una circunferencia, $I_e=m\,R^2$; además, $\alpha=\dfrac{a}{R}$, es la aceleración angular de rotación del aro. En consecuencia, (2) puede reescribirse de la siguiente manera: $$f_r\,R = m\,R^2 \cdot \dfrac{a}{R}$$ y por tanto, $$f_r = m\,a \quad (3)$$ Finalmente, sustituyendo (3) en (1), $$m\,a = m\,g\,\sin(\theta) - m\,a$$ Y, agrupando términos y simplificando,
  $m\,a + m\,a= m\,g\,\sin(\theta) $
    $2\,a= g\,\sin(\theta) $
      $a= \dfrac{1}{2}\,g\,\sin(\theta) $

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Dinámica de rotación de un cilindro macizo que rueda sin deslizar por un plano inclinado

Un cilindro macizo, de masa $m$ y de radio $R$, se sitúa sobre una rampa que forma un ángulo $\theta$ con el plano horizontal, y empieza a rodar sin deslizar pendiente abajo. Se quiere calcular la aceleración del centro de masas del cilindro.

Denotemos por $a$ a la aceleración del centro de masas. Si rueda sin deslizar debe haber una fuerza de rozamiento, $f_r$, que lo permita; entonces por la segunda ley de Newton podemos escribir $$m\,a = m\,g\,\sin(\theta) - f_r \quad (1)$$ Por otra parte, el momento de dicha fuerza de rozamiento que explica el giro viene dado por $f_r\,R = I_e\,\alpha \quad (2)$, donde $I_e$ representa el momento de inercia con respecto al eje de giro y que corresponde al eje longitudinal del cilindro, y por tanto $I_e=\dfrac{1}{2}\,m\,R^2$, y $\alpha=\dfrac{a}{R}$ es la aceleración angular de rotación del cilindro. En consecuencia, (2) puede reescribirse de la siguiente manera: $$f_r\,R = \dfrac{1}{2}\,m\,R^2 \cdot \dfrac{a}{R}$$ y por tanto, $$f_r = \dfrac{1}{2}\,m\,a \quad (3)$$ Finalmente, sustituyendo (3) en (1), $$m\,a = m\,g\,\sin(\theta) - \dfrac{1}{2}\,m\,a$$ Y, agrupando términos y simplificando,
  $m\,a + \dfrac{1}{2}\,m\,a= m\,g\,\sin(\theta) $
    $a + \dfrac{1}{2}\,a= g\,\sin(\theta) $
      $a\,( 1+ \dfrac{1}{2})= g\,\sin(\theta) $
        $\dfrac{3}{2}\,a= g\,\sin(\theta) $
          $a= \dfrac{2}{3}\,g\,\sin(\theta) $

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