Velocidad media y aceleración media entre dos instantes de tiempo

Una partícula se mueve según la trayectoria $\vec{r}(t)=t^4\,\hat{i}+t^3\,\hat{j}+t^2\,\hat{k}$. Voy a calcular la velicidad y la aceleración en un instante de tiempo $t$ genérico, y, finalmente, la velocidad media y la aceleración media entre los instantes de tiempo $t_i=1$ s y $t_f=2$ s

Cálculo de la velocidad instantánea: $\vec{v}(t):=\dot{\vec{r}}(t)=4\,t^3\,\hat{i}+3\,t^2\,\hat{j}+2\,t\,\hat{k}$

Cálculo de la aceleración instantánea: $\vec{a}(t):=\ddot{\vec{r}}(t)=12\,t^2\,\hat{i}+6\,t\,\hat{j}+2\,\hat{k}$

Cálculo de la velocidad media entre $t_i$ y $t_f$: $$\vec{v_{m_{(t_i,t_f)}}}(t):=\dfrac{\vec{v}(t_f)-\vec{v}(t_i)}{t_f-t_i}=\dfrac{\vec{v}(2)-\vec{v}(1)}{2-1}=\dfrac{(4\cdot 2^3\,\hat{i}+3\cdot 2^2\,\hat{j}+2\cdot 2\,\hat{k})-(4\cdot 1^3\,\hat{i}+3\cdot 1^2\,\hat{j}+2\cdot 1\,\hat{k})}{1}$$ $$=(32-4)\,\hat{i}+(12-3)\,\hat{j}+(4-2)\,\hat{k}=28\,\hat{i}+9\,\hat{j}+2\,\hat{k}$$

Cálculo de la aceleración media entre $t_i$ y $t_f$: $$\vec{a_{m_{(t_i,t_f)}}}(t):=\dfrac{\vec{a}(t_f)-\vec{a}(t_i)}{t_f-t_i}=\dfrac{\vec{a}(2)-\vec{a}(1)}{2-1}=\dfrac{(12\cdot 2^2\,\hat{i}+6\cdot 2\,\hat{j}+2\,\hat{k})-(12\cdot 1^2\,\hat{i}+6\cdot 1\,\hat{j}+2\,\hat{k})}{1}$$ $$=(48-12)\,\hat{i}+(12-6)\,\hat{j}+(2-2)\,\hat{k}= 36\,\hat{i}+6\,\hat{j}+0\,\hat{k}$$

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Celeridad media en un recorrido total formado por varios tramos en los que se circula a distinta velocidad

Un ciclista recorre $20$ km a $35$ km/h, y los siguientes $30$ km a $25$ km/h, ¿cuál es la celeridad media en el recorrido total?

El recorrido total es de $20+30=50$ km, y el tiempo empleado es igual a $20/35$ h + $30/25$ h, esto es, $62/35$ h; en consecuencia, la velocidad media pedida es igual a $\dfrac{50}{62/35}=871/31$ km/h $\approx 28,23$ km/h. $\diamond$

Parámetros de un movimiento armónico simple y cálculo de la posición, velocidad y aceleración del móvil en ciertos instantes de tiempo

Un cierto movimiento armónico simple (m.a.s) tiene por ecuación $x(t)=2\,\cos(\pi\,t+\frac{\pi}{3})$, en unidades del SI (y en radianes las unidades de magnitud angular). Voy a extraer de ella información importante: la amplitud, la frecuencia angular, la frecuencia y el periodo. También calcularé cuál es la posición del móvil en el instante inicial, $t=0\,\text{s}$, así como la velocidad y la aceleración en el instante $t=\frac{1}{10}\,\text{s}$

Teniendo en cuenta que la ecuación genérica de la posición en un instante de tiempo $t$ de un m.a.s es $x(t)=A\,\sin\,(wt+\delta)$, en la que $A$ representa la amplitud; $w$ la frecuencia angular, y $\delta$ el desfase en el instante inicial, y, sabiendo que, para un ángulo cualquiera, $\theta$, las funciones trigonométricas seno y coseno está relacionadas mediante la identidad $\cos\,\theta = \sin\,(\theta+\frac{\pi}{2})$, podemos escribir la ecuación del m.a.s dada de la forma $x(t)=2\,\cos(\pi\,t+\frac{\pi}{3})=2\,\sin\,((\pi\,t+\frac{\pi}{3})+\frac{\pi}{2})=2\,\sin\,(\pi\,t+\frac{5}{6}\,\pi) \quad (1)$. Entonces, comparando esta ecuación con la e. genérica, se deduce que el valor de la amplitud es $A=2\,\text{m}$; el valor del desfase en el instante inicial, $\delta=\dfrac{5}{6}\,\pi\,\,\text{rad}$; el valor de la frecuencia angular es $w=\pi\,\dfrac{\text{rad}}{\text{s}}$, y como $w=\dfrac{2\,\pi}{T}$, siendo $T$ el periodo, vemos que $\pi=\dfrac{2\,\pi}{T}$ con lo cual $T=2\,\text{s}$; por consiguiente, como la frecuencia $f$ se define como el inverso del periodo $T$, deducimos que $f=0,5\,\text{s}^{-1}$.

La posición del móvil en el instante inicial es, de $(1)$, $$x(0)=2\,\sin\,(\pi\cdot 0+\frac{5}{6}\,\pi)=2\,\sin\,(\frac{5}{6}\,\pi)\,\,\text{m}=2\cdot \dfrac{1}{2}\,\,\text{m}=1\,\text{m}$$

Derivando sucesivamente dos veces $(1)$ con respecto de $t$, encontramos las ecuaciones de la velocidad y de la aceleración: $$v(t):=\dot{x}(t)=2\,\pi \cdot \cos\,(\pi\,t+\frac{5}{6}\,\pi)\quad (2)$$ $$a(t):=\ddot{x}(t)= -2\,\pi^2\,\sin\,(\pi\,t+\frac{5}{6}\,\pi)\quad (3)$$ Por tanto, los valores de la velocidad y de la aceleración del móvil en el instante $t=\frac{1}{10}\,\,\text{s}$, de $(2)$ y $(3)$, son: $$v(\frac{1}{10})=2\,\pi \cdot \cos(\frac{1}{10}\,\pi+\frac{5}{6}\,\pi) = 2\,\pi\cdot \cos(\frac{14}{15}\,\pi) \approx -6\,\dfrac{\text{m}}{\text{s}}$$ $$a(\frac{1}{10})=-2\,\pi^2\,\sin(\frac{1}{10}\,\pi+\frac{5}{6}\,\pi)=-2\,\pi^2\,\sin(\frac{14}{15}\,\pi) \approx -4\,\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$$ $\diamond$

De cero a cien ...

Hemos leído en una revista de mecánica que un cierto vehículo es capaz de pasar de una velocidad de cero a cien kilómetros por hora en diez segundos, intervalo de tiempo durante el cual se mueve a aceleración constante. Nos preguntamos, a qué distancia de la salida se encontrará en dicho tiempo.

Necesitaremos calcular la aceleración que actúa sobre el vehículo durante este tiempo de $10\,\text{s}$; para ello, tengamos en cuenta que, al tratarse de un m.r.u.a ($a=\text{constante}$), se tiene que $v(t)=v(0)+a\cdot t$, luego, al ser $v(0)=0\,\dfrac{\text{m}}{\text{s}}$ (se parte del reposo), $a=\dfrac{v(t)}{t}$

La velocidad final, en unidades del SI, es $100\,\dfrac{\text{km}}{\text{h}}=100\,\dfrac{\text{km}}{\text{h}}\cdot \dfrac{1}{1000}\,\dfrac{\text{m}}{\text{km}} \cdot \dfrac{1}{3600}\,\dfrac{\text{h}}{\text{s}}=36\,\dfrac{\text{m}}{\text{s}}$, con lo cual, $a=\dfrac{36}{10}=\dfrac{18}{5}\,\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$. Finalmente, por la ecuación del movimiento referida a la posición que el vehículo tiene en cada instante de tiempo: $x(t)=x(0)+v(0)\,t+\dfrac{1}{2}\,a\,t^2$; y, como hemos colocado el sistema de referencia en la posición de salida, $x(0)=0$, luego $x(10)=0+0\cdot t+\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{18}{5} \cdot 10^2=180$, por consiguiente la distancia pedida es $\ell:=x(10)-x(0)=180\,\text{m}$   $\diamond$

Movimiento uniformemente acelerado en una rampa sin rozamiento

Un objeto está situado en un plano inclinado que forma un ángulo $\alpha$ con respecto al plano horizontal. Se supone que la intensidad del campo gravitatorio es de $g=9,81\,\text{m}\cdot \text{s}^{-2}$. El rozamiento con el plano inclinado se considera despreciable. Toda vez que el objeto empieza a deslizar, ¿cuánto tiempo tarde en alcanzar una velocidad de $4\,\text{m}\cdot \text{s}^{-1}$? ¿Qué longitud se habrá desplazado sobre el plano hasta dicho instante?

Situemos el sistema de referencia en el punto en el que el objeto empieza a deslizar, y en la dirección del movimiento. Por la segunda ley de Newton, la aceleración en la dirección del movimiento, $a$, es tal que $m\,a=m\,g\,\sin\,\alpha$, con lo cual $a=g\,\sin\,\alpha$. Al tratarse de un m.r.u.a, podemos escribir la ecuación de la velocidad: $v(t)=v(0)+a\,t$, donde $v(0)=0\,\text{m}\cdot \text{s}^{-1}$; por tanto, de la información del enunciado, se tiene que $4=0+g\,\sin\,\alpha \Rightarrow t=\dfrac{4}{a}=\dfrac{4}{g\,\sin\,\alpha}$, y, como $x(t)=x(0)+v(0)\cdot t + \dfrac{1}{2}\,a\,t^2$, y teniendo en cuenta que $x(0)=0$ y $v(0)=0\,\text{m}\cdot \text{s}^{-1}$, la longitud de camino recorrida desde el instante inicial en el que empieza a deslizar hasta el instante que alcanza la velocidad propuesta, es, por tanto, la distancia entre estas dos posiciones, esto es, $$\ell:=x\left( \dfrac{4}{g\,\sin\,\alpha}\right)-x(0)=\dfrac{1}{2}\cdot g\, \sin\,\alpha \cdot \left(\dfrac{4}{g\,\sin\,\alpha}\right)^2-0=\dfrac{8}{g\,\sin\,\alpha}$$.

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Así, por ejemplo, si $\alpha=60^{\circ}$, el tiempo que tarda en alcanzar la velocidad de $4\,\text{m}\cdot \text{s}^{-1}$ es $t=\dfrac{4}{9,81\cdot \sin\,60^\circ}\approx 0,47\,\text{s}$ y la longitud de camino recorrida desde que inició el deslizamiento hasta el instante que alcanza dicha velocidad es $\ell:=x(0,47)-x(0)=\dfrac{8}{9,81\cdot \sin\,60^\circ}\approx 0,94\,\text{m}$. $\diamond$

Vectores de posición

La posición de una partícula en función del tiempo $t$ en el espacio euclídeo $\mathbb{R}^3$ viene dada por: $x(t)=t^2-1$; $y(t)=t$; $z(t)=t+2t^2$. ¿Cuál es el vector de posición de la partícula en el instante $t=2$ (unidades del SI)?

El vector de posición es $\vec{r}(t)=x(t)\,\hat{i}+y(t)\,\hat{j}+z(t)\,\hat{k}$, expresado en la base canónica (formada por los vectores ortonormales $\hat{i}=(1,0,0)$, $\hat{j}=(0,1,0)$ y $\hat{k}=(0,0,1)$). Entonces, con la información del enunciado, se tiene que $\vec{r}(t)=(t^2-1)\,\hat{i}+t\,\hat{j}+(t+2t^2)\,\hat{k}$. Entonces, en el instante $t=2$: $\vec{r}(2)=(2^2-1)\,\hat{i}+2\,\hat{j}+(2+2\cdot 2^2)\,\hat{k}=\vec{r}(t)=3\,\hat{i}+2\,\hat{j}+10\,\hat{k}$, que también podemos expresar de la siguiente manera, más escueta: $\vec{r}(2)=(3,2,10)$. $\diamond$

Cálculo de la ecuación de las posiciones a partir de la ecuación de velocidades en un m.r.u

En un cierto m.r.u, la ecuación de la velocidad viene descrita por la siguiente función del tiempo: $v(t)=t^2-2t+4$ (en unidades del SI). Sabiendo que en el instante en el que la velocidad es de $3\,\text{m}\cdot \text{s}^{-1}$, la coordenada de posición es nula, ¿cuál es la ecuación que describe la posición en un instante genérico de $t$?

Como $\dot{x}(t)=:v(t)=t^2-2t+4$, integrando con respecto de $t$ llegamos a $x(t)=\int\,\dot{x}\,dt+C=\dfrac{1}{3}\,t^3-t^2+4t+C \quad (1)$. Y, para determinar el valor de la constante de integración $C$, imponemos la condición dada en el enunciado: $v(3)=0$, luego $3=t^2-2t+4$, esto es, $t^2-2t+1=0 \Rightarrow t=1$. Entonces, de (1), $0=\dfrac{1}{3}\cdot 1^3-1^2+4\cdot 1+C \Rightarrow C=-\dfrac{10}{3}$. Por consiguiente, la ecuación pedida es $$x(t)=\dfrac{1}{3}\,t^3-t^2+4t-\dfrac{10}{3}$$ $\diamond$