Una cuestión acerca del campo y del potencial eléctrico

Consideremos una región del espacio en la que el potencial eléctrico sea constante. ¿Qué puede decirse acerca del campo eléctrico en dicha región?.

Teniendo en cuenta que el campo es el vector opuesto del gradiente de potencial, al ser constante el potencial en dicha región, el campo en la misma será nulo. $\diamond$

Una cuestión acerca del potencial eléctrico en un punto

Consideremos un punto aislado en el que el potencial eléctrico es nulo, ¿quiere decir ésto que, necesariamente, no puede haber cargas eléctricas alrededor de dicho punto?.

Por el principio de superposición, el potencial en un punto es igual a la suma de los potenciales creados por un conjunto de cargas, y como un potencial, en función del signo de la carga que lo crea, puede ser positivo o negativo, además de depender su valor de la distancia al punto en cuestión, es posible que la suma sea nula; por consiguiente, es posible que haya distribuciones de carga eléctrica que creen un potencial nulo en un punto dado. $\diamond$

Análisis de la dinámica de un Yo-yo

Un cilindro de radio $r$ tiene enrrollado un hilo resistente, a modo de Yo-yo. El extremo de dicho hilo se ancla al techo, y el cilindro (Yo-yo) queda de esta manera suspendido. La masa del cilindro es $m$ y la masa del hilo se considera despreciable. Voy a calcular la tensión del hilo $T$ y la aceleración $a$ con la que el cilindro desciende hacia el suelo.

Partiremos de la segunda ley de Newton (la suma de fuerzas ha de ser igual a la masa por la aceleración del descenso); y, al haber también movimiento de giro, también de la ecuación de los momentos (la suma de momentos con respecto al eje de rotación del Yo-yo ha de ser igual al momento de inercia del mismo $I$ multiplicado por la aceleración angular $\alpha$). Es decir:

• $T\,r=I\,\alpha \quad (1)$
• $P-T=m\,a \quad (2)$

Teniendo en cuenta que, tratándose de un cilindro, su momento de intercia es $I=\dfrac{1}{2}\,m\,r^2$, podemos escribir $(1)$ de la forma $T\,r=\dfrac{1}{2}\,m\,r^2\,\alpha$, que simplificado queda, $T=\dfrac{m\,r\,\alpha}{2} \quad (1')$

Como, además, $a=m\,\alpha$, y $P=m\,g$ (siendo $g$ la intensidad del campo gravitatorio), la ecuación $(2)$ puede escribirse de la forma $m\,g-\dfrac{m\,r\,\alpha}{2}=m\,r\,\alpha$, que, al simplificar, nos lleva a $\alpha\,r=\dfrac{2}{3}\,g \quad (2')$, esto es, $a=\dfrac{2}{3}\,g$. Y al sustituir $(2')$ en $(1')$, se llega a $T=\dfrac{m\,g}{3}=\dfrac{1}{3}\,P$

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Un caso de movimiento circular

Una partícula describe el siguiente movimiento circular uniforme: $\vec{r}(t)=-3\,\cos(5t)\hat{i}+0\,\hat{j}+3\,\sin(5t)\,\hat{k}$ (en unidades del SI). Voy a calcular la aceleración tangencial, la aceleración normal, y el radio de curvatura (radio de la circunferencia).

Como el movimiento es cicurlar uniforme, es claro que la aceleración tangencial ha de ser nula ($\vec{a}_T=\vec{0}$); que no así, la aceleración normal, ya que, de ser ésta nula, el movimiento sería rectilíneo.

Comentario: Al ser nula la segunda componente del vector de posición genérico, la trayectoria se inscribe en el plano $Oxz$

Calculo la velocidad y la aceleración: $\vec{v}(t):=\dot{\vec{r}}(t)=15\,\sin(5t)\hat{i}+0\,\hat{j}+15\,\cos(5t)\,\hat{k}$; $\vec{a}(t):=\ddot{\vec{r}}(t)=75\,\cos(5t)\hat{i}+0\,\hat{j}-75\,\sin(5t)\,\hat{k}$

Teniendo en cuenta que $\vec{a}=\vec{a}_{T}+\vec{a}_N$, se tiene que $\vec{a}_N=\vec{a}-\vec{a}_{T}$, y como $\vec{a}_{T}=\vec{0}$, $\vec{a}_N=\vec{a}=75\,\cos(5t)\hat{i}+0\,\hat{j}-75\,\sin(5t)\,\hat{k}$

Además, se sabe que en un movimiento circular, el radio de curvatura es constante, y está relacionado con los módulos de la aceleración normal y de la velocidad de la forma $|\vec{a}_{N}|=\dfrac{(|\vec{v}|)^2}{R}$, por tanto $R=\dfrac{(|\vec{v}|)^2}{|\vec{a}_{N}|}=\dfrac{\left(\sqrt{15^2\,\sin^2\,(5t)+0^2+15^2\,\cos^2(5t)}\right)^2}{\sqrt{75^2\,\cos^2\,(5t)+0^2+75^2\,\sin^2(5t)}}=\dfrac{15^2}{75}=3\,\text{m}$

-oOo- Nota: A sabiendas de que tratamos con un movimiento circular, el radio de curvatura constante (radio de la circunferencia) puede determinarse también a partir de la ecuación cartesiana de dicha circunferencia: de la ecuación vectorial dada en el enunciado, se puede escribir fácilmente las ecuaciones paramétricas: $\left\{\begin{matrix}x(t)=-3\,\cos(5t) \\ y(t)=3\,\sin(5t) \\ z(t)=0\end{matrix}\right.$, así que, elevando al cuadrado y sumando miembro a miembro: $x(t)^2+y(t)^2+z(t)^2=(-3\,\cos(5t))^2+0^2+(3\,\sin(5t))^2=3^2\cdot (\cos^2\,(5t)+\sin^2(5t))=3^2\cdot 1=3^2$ por consiguiente, reconociendo en dicha ecuación la de una circunferencia centrada en el origen de coordenadas (cuya ecuación es $x(t)^2+y(t)^2+z(t)^2=R^2$), se deduce de inmediato que $R^2=3^2 \Rightarrow R=3\,\text{m}$

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Análisis de una trayectoria

En un cierto movimiento de una partícula, su vector de posición es $\vec{r}(t)=t^2\,\hat{i}+\hat{j}+t^2\,\hat{k}$. ¿Es un movimiento acelerado? ¿Se curva la trayectoria?

Para responder a esas preguntas, calcularé la aceleración normal y la aceleración tangencial (a la trayectoria). Si la aceleración normal fuese nula, la trayectoria no se curvaría, y el movimiento sería rectilíneo; en caso contrario, no sería rectilíneo. Por otra parte, si la aceleración fuese nula, se trataría de un movimiento uniforme, y, en caso contrario, de un movimiento acelerado.

El vector velocidad en un instante genérico es $\vec{v}(t):=\dot{\vec{r}}(t)=2\,t\,\,\hat{i}+0\,\hat{j}+2\,t\,\hat{k}$ y el vector aceleración (en un instante genérico) es $\vec{a}(t):=\ddot{\vec{r}}(t)=2\,\,\hat{i}+0\,\hat{j}+2\,\hat{k}=2\,(\hat{i}+0\,\hat{j}+\hat{k}) \neq \vec{0}=$, así que, obviamente, el movimiento no es uniforme.

Ahora, con un poco de atención por nuestra parte, el problema acabaría aquí, ya que si reparamos en el hecho de que, como acabamos de ver, $\vec{a}(t)=2\,\,\hat{i}+0\,\hat{j}+2\,\hat{k}\neq \vec{0}$, esto es, $\vec{a}(t) \propto \vec{v}(t)$ ya que $\vec{v}(t)=t\,\vec{a}(t)$; es decir, al tener el vector aceleración (en un instante genérico) la misma dirección que el vector velocidad (en un instante genérico), la aceleración (total) es tangencial (toda ella) en cualquier punto de la trayectoria, de lo que se deduce que la componente normal de dicha aceleración total es nula, por lo que no hay curvatura, es decir, la trayectoria es rectilínea.

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No obstante, y por si hubiese pasado percibido dicho detalle, calcularé la aceleración normal, para ver cómo es. Para ello, tengamos en cuenta que la aceleración tangencial en un instante genérico es $\vec{a}_T=a_T\,\hat{v}$, donde $\hat{v}$ representa un vector unitario en la misma dirección que $\vec{v}$ (y, por tanto, en la misma dirección que la aceleración tangencial); donde el módulo de dicha aceleración tangencial es $a_{T}:=\dfrac{d}{dt}(|\vec{v}|)$. Además, como $\vec{a}=\vec{a}_N+\vec{a}_T$, conoceremos de ahí la velocidad normal: $\vec{a}_N=\vec{a}-\vec{a}_T$.

Calculo pues lo que hace falta: $|\vec{v}|=\sqrt{(2t)^2+o^2+(2t)^2}=2\,\sqrt{2}\,t$, luego el módulo de la aceleración tangencial es $a_T=\dfrac{d}{dt}(2\,\sqrt{2}\,t)=2\,\sqrt{2} \neq 0$, por lo que ello constanta que el movimiento no es uniforme, pues, por lo menos, es acelerado en la dirección tangencial.

Veamos ahora si la trayectoria se curva, analizando la velocidad normal. Un vector unitario de la velocidad (y por tanto de la aceleración tangencial) es $\hat{v}=\dfrac{1}{|\vec{v}(t)|}\,\vec{v}(t)=\dfrac{1}{2\,\sqrt{2}\,t}\,\left(2\,t\,\hat{i}+0\,\hat{j}+2\,t\,\hat{k}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\,\left(\hat{i}+0\,\hat{j}+\hat{k}\right)$, con lo cual $\vec{a}_T=(2\,\sqrt{2})\cdot \dfrac{1}{\sqrt{2}}\,\left(\hat{i}+0\,\hat{j}+\hat{k}\right) =2\,(\hat{i}+0\,\hat{j}+\hat{k})$, luego $\vec{a}_{N}(t)=\vec{a}(t)-\vec{a}_{T}(t)=2\,(\hat{i}+0\,\hat{j}+\hat{k})-2\,(\hat{i}+0\,\hat{j}+\hat{k})=\vec{0}$, con lo cual, obviamente, se llega, también así, a la misma conclusión a la que se había ya hace rato: el movimiento es rectilíneo y acelerado. $\diamond$

Velocidad media y aceleración media entre dos instantes de tiempo

Una partícula se mueve según la trayectoria $\vec{r}(t)=t^4\,\hat{i}+t^3\,\hat{j}+t^2\,\hat{k}$. Voy a calcular la velicidad y la aceleración en un instante de tiempo $t$ genérico, y, finalmente, la velocidad media y la aceleración media entre los instantes de tiempo $t_i=1$ s y $t_f=2$ s

Cálculo de la velocidad instantánea: $\vec{v}(t):=\dot{\vec{r}}(t)=4\,t^3\,\hat{i}+3\,t^2\,\hat{j}+2\,t\,\hat{k}$

Cálculo de la aceleración instantánea: $\vec{a}(t):=\ddot{\vec{r}}(t)=12\,t^2\,\hat{i}+6\,t\,\hat{j}+2\,\hat{k}$

Cálculo de la velocidad media entre $t_i$ y $t_f$: $$\vec{v_{m_{(t_i,t_f)}}}(t):=\dfrac{\vec{v}(t_f)-\vec{v}(t_i)}{t_f-t_i}=\dfrac{\vec{v}(2)-\vec{v}(1)}{2-1}=\dfrac{(4\cdot 2^3\,\hat{i}+3\cdot 2^2\,\hat{j}+2\cdot 2\,\hat{k})-(4\cdot 1^3\,\hat{i}+3\cdot 1^2\,\hat{j}+2\cdot 1\,\hat{k})}{1}$$ $$=(32-4)\,\hat{i}+(12-3)\,\hat{j}+(4-2)\,\hat{k}=28\,\hat{i}+9\,\hat{j}+2\,\hat{k}$$

Cálculo de la aceleración media entre $t_i$ y $t_f$: $$\vec{a_{m_{(t_i,t_f)}}}(t):=\dfrac{\vec{a}(t_f)-\vec{a}(t_i)}{t_f-t_i}=\dfrac{\vec{a}(2)-\vec{a}(1)}{2-1}=\dfrac{(12\cdot 2^2\,\hat{i}+6\cdot 2\,\hat{j}+2\,\hat{k})-(12\cdot 1^2\,\hat{i}+6\cdot 1\,\hat{j}+2\,\hat{k})}{1}$$ $$=(48-12)\,\hat{i}+(12-6)\,\hat{j}+(2-2)\,\hat{k}= 36\,\hat{i}+6\,\hat{j}+0\,\hat{k}$$

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Celeridad media en un recorrido total formado por varios tramos en los que se circula a distinta velocidad

Un ciclista recorre $20$ km a $35$ km/h, y los siguientes $30$ km a $25$ km/h, ¿cuál es la celeridad media en el recorrido total?

El recorrido total es de $20+30=50$ km, y el tiempo empleado es igual a $20/35$ h + $30/25$ h, esto es, $62/35$ h; en consecuencia, la velocidad media pedida es igual a $\dfrac{50}{62/35}=871/31$ km/h $\approx 28,23$ km/h. $\diamond$