Dos cuerpos de masa similar girando alrededor del centro de masas común. Se presupone en este ejercicio que, como caso particular, dichas órbitas son circulares

En el problema de los dos cuerpos que interaccionan gravitatoriamente, a menudo se hace la aproximación de que uno de ellos es mucho más masivo que el otro; de esta manera, el problema se simplifica, pues se puede considerar que el cuerpo menos masivo gira alrededor del (mucho más) masivo. Dicho de otro modo: el centro de masas del sistema formado por los dos cuerpos se sitúa con suficiente aproximación en la posición del cuerpo más masiva. Ahora bien, si la masa de los dos cuerpos es similar, la aproximación ya no es válida. En este ejercicio, vamos a abordar esta situación.

Consideremos dos cuerpos de masas similares, $m_1$ y $m_2$, separados por una distancia $d$ (distancia entre centros) cuando dichos cuerpos están alineados. Debido a la gravitación, estos dos cuerpos giran ambos alrededor del centro de masas común, describiendo sendas órbitas cerradas, que, para no complicar las cosas, supodremos que son circulares (en general, son elípticas), con periodos respectivos, $T_1$ y $T_2$. Pues bien, queremos calcular la razón entre las masas y, también, la razón de dichos periodos en función de las masas.

Para determinar la coordenada $x$ de la posición del punto que corresponde al centro de masas común, tenemos en cuenta que, cuando los cuerpos están alineados, dicho punto se sitúa entre los dos cuerpos, de tal manera que, por ponderación, su distancia al cuerpo de masa $m_1$ (medida desde éste) es $x_1=\dfrac{m_1}{m_1+m_2}\,d \quad (1)$, cantidad que, por tanto, es el radio de la órbita del cuerpo de masa $m_1$ alrededor de dicho centro de masas común. Y, por lo que respecta al cuerpo de masa $m_2$, su distancia al centro de masas común (medida desde este cuerpo) es, por consiguiente, $x_2=d-\dfrac{m_1}{m_1+m_2}\,d=\left(1-\dfrac{m_1}{m_1+m_2}\right)\,d=\dfrac{m_2}{m_1+m_2}\,d\quad (2)$; dicha cantidad es, desde luego, el radio de la respectiva órbita circular que describe este segundo cuerpo alrededor de ese centro de masas común.

Dividiendo miembro a miembro $(1)$ entre $(2)$ se obtiene que, como era de esperar, $$\dfrac{x_1}{x_2}=\dfrac{m_1}{m_2}$$

Demos respuesta ahora a la segunda cuestión. Para el cuerpo de masa $m_1$, según la ley de la gravitación newtoniana, y, por la segunda ley de Newton, podemos escribir que $G\,\dfrac{m_1\,m_2}{x_{1}^2}=m_1\,\dfrac{v_{1}^2}{x_1}$, esto es, $G\,\dfrac{m_2}{x_{1}^2}=\dfrac{v_{1}^2}{x_1} \quad (3)$, y teniendo en cuenta que $v_1=\dfrac{2\,\pi\,x_1}{T_1} \quad (4)$, sustituyendo $(4)$ en $(3)$ y despejando $x_1$, se tiene que $x_1=\sqrt[3]{\dfrac{G\,m_2}{4\,\pi^2}\,T_{1}^2}$, donde $k_1=\dfrac{G\,m_2}{4\,\pi^2}$ es la constante de proporcionalidad que aparece en la tercerca ley de Kepler para el cuerpo de masa $m_1$, $x_{1}^3 \propto T_{1}^2$. Entonces, teniendo en cuenta $(1)$: $\dfrac{m_1}{m_1+m_2}\,d=\sqrt[3]{k_1\,T_{1}^2}$, con lo cual, depejando $T_1$ obtengo: $$T_1= \sqrt{ \dfrac{1}{k_1}\left( \dfrac{m_1\,d}{(m_1+m_2)}\right)^3 }=\sqrt{ \dfrac{4\,\pi^2}{G\,m_2}\left( \dfrac{m_1\,d}{(m_1+m_2)}\right)^3 } \quad (7)$$

Razonando de manera análoga para el cuerpo de masa $m_2$, y teniendo en cuenta ahora que $k_2=\dfrac{G\,m_1}{4\,\pi^2}$ es la constante de proporcionalidad que aparece en la tercerca ley de Kepler para el cuerpo de masa $m_2$, $x_{2}^3 \propto T_{2}^2$, resulta: $$T_2= \sqrt{ \dfrac{1}{k_2}\left( \dfrac{m_2\,d}{(m_1+m_2)}\right)^3 }=\sqrt{ \dfrac{4\,\pi^2}{G\,m_1}\left( \dfrac{m_2\,d}{(m_1+m_2)}\right)^3 } \quad (8)$$

Dividiendo miembro a miembro $(7)$ entre $(8)$ se obtiene (y simplificando la expresión resultante): $$\dfrac{T_1}{T_2}=\sqrt{\left(\dfrac{m_1}{m_2}\right)^4}$$ es decir $$\dfrac{T_1}{T_2}=\left( \dfrac{m_1}{m_2} \right)^2$$

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Órbitas elípticas. Razones de varias magnitudes entre el afelio y el perihelio

Se considera un satélite de masa $m$ en órbita elíptica alrededor de un planeta de masa $M$. El perihelio es el punto más cercano al planeta, situado en el eje mayor de la elipse, y el afelio, también situado en el eje mayor, es el punto más alejado del planeta. La razón entre los módulos de los radios vectores del afelio, $A$, y del perihelio, $P$, es $\dfrac{r_A}{r_P}=k$, con $k\gt 1$. Se pide que calculemos la razón entre los módulos de la velocidad del satélite entre el afelio y el perihelio; y también, la razón entre las energías cinéticas, las energías potenciales y las energías mecánicas entre dichos puntos.

Situemos el origen del sistema de referencia en la posición del planeta (uno de los focos de la elipse). Al tratarse de un sistema de fuerzas centrales, en cada punto de la órbita, el vector de posición $\vec{r}$ y y el vector fuerza $\vec{F}$ tienen la misma dirección y sentidos opuestos, se tiene pues que en todos los puntos de la órbita $\vec{M}:=\vec{r}\times \vec{F}=\vec{0}$, luego por el teorema de conservación del momento angular tiene el mismo valor en todos los puntos de la órbita, luego en el afelio y en el perihelio $\vec{L}_A=\vec{L}_P \quad (1)$, siendo $\vec{L}:=\vec{r}\times m\,\vec{v}$. Además, sabemos que en dichos puntos (afelio y perihelio), $\vec{r}_A\perp \vec{v}_A$ y $\vec{r}_P\perp \vec{v}_P$, por lo que de $(1)$ se tiene que la igualdad entre los módulos de los momentos angulares en esos puntos se escribe de la forma $m\,r_A\,v_A=m\,r_P\,v_P$, y simplificando, $r_A\,v_A=r_P\,v_P$, luego $\dfrac{v_A}{v_P}=\dfrac{r_P}{r_A}=\dfrac{1}{k}$. Notemos, por tanto que $v_P=k\,v_A \gt v_A \because k\gt 1$

La razón entre las energías cinéticas en el afelio y el perihelio es $$\dfrac{\frac{1}{2}\,m\,v_{A}^{2}}{\frac{1}{2}\,m\,v_{P}^{2}}=\left(\dfrac{v_A}{v_P}\right)^2=\left( \dfrac{1}{k} \right)^2$$ y la razón entre las energías potenciales en esos dos puntos $$\dfrac{-G\,\frac{M\,m}{r_A}}{-G\,\frac{M\,m}{r_P}}=\dfrac{r_P}{r_A}=\dfrac{1}{k}$$ Por otra parte, como la energía mecánica, $E$, que es la suma de la energía cinética y la e. potencial, se conserva en todos los puntos de la órbita, con lo cual, en particular, al ser la misma en el afelio que en el perihelio, $E_A=E_P$, y así podemos decir que $\dfrac{E_A}{E_P}=1$.

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Determinación indirecta de la masa de una partícula cargada mediante espectrometría de masas. Un ejemplo del cálculo

Consideremos un haz de iones (con carga eléctrica $5\times 10^{-6}\,\text{C}$ y masa desconocida) que entran en un espectrómetro de masas [referencia del enlace: Teresa Martín Blas y Ana Serrano Fernández - Universidad Politécnica de Madrid (UPM)] a una velocidad de $60\,\dfrac{\text{m}}{\text{s}}$ para describir, una vez dentro, una trayectoria circular de $0,20\,\text{m}$ de radio. El campo magnético dentro del espectrómetro es perpendicular al haz incidente y tiene una intensidad de $2 \,\text{T}$, ¿cuál es la masa de dichos iones?

Sabemos que la fuerza que perciben dichos iones (partículas cargadas eléctricamente) es la fuerza de Lorentz, $\vec{F}=Q\cdot (\vec{v}\times \vec{B}+\vec{E})$. En el caso que nos ocupa, $\vec{E}=\vec{0}$ (no hay campo eléctrico), y $\vec{v}\perp \vec{B}$ (esto es, $\measuredangle(\vec{v},\vec{B})=\dfrac{\pi}{2}\,\text{rad}$), luego, denotando por $F$ (por comodidad) el módulo de $\vec{F}$, por $v$ el módulo de $\vec{v}$ y por $B$ el módulo de $\vec{B}$, se tiene que $F=Q\,v\,B\,\sin(\measuredangle(\vec{v},\vec{B}))=5\times 10^{-6}\cdot 60\cdot 2 \cdot \sin(\dfrac{\pi}{2})=5\times 10^{-6}\cdot 60\cdot 2 \cdot 1 = 6\times 10^{-4}\,\text{N}$.

Por otra parte, dicha fuerza, ha de ser compensada por la aceleración normal a la trayectoria, luego $m\,\dfrac{v^2}{r}=6\times 10^{-4}$, donde $r$ es el radio de la trayectoria circular. Entonces, despejando $m$, y sustituyendo los datos, se obtiene: $$m=6\times 10^{-4} \cdot \dfrac{0,20}{60^2}=\dfrac{1}{3}\cdot 10^{-8}\,\text{kg}\approx 33,3\mu\text{g}$$

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Un ejemplo sencillo de cálculo de la fuerza de Lorentz

Se considera una región del espacio (vacío) libre de campos eléctricos donde sí actúa sin embargo un campo magnético $\vec{B}=2\,\hat{k}$ (en la dirección y sentido positivo del eje $Oz$). En dicha región incide un electrón ($Q_e=-1.6\times 10^{-19}\,\text{C}$) con una velocidad aproximada igual a $\vec{v}=500\,\hat{i}$ (en la dirección y sentido positivo del eje $Ox$). Los datos vienen expresados en unidades del Sistema Internacional (el campo magnético en teslas, $\text{T}$, la carga eléctrica en coulombs, $\text{C}$, la fuerza en newtons, $\text{N}$, y la velocidad en $\dfrac{\text{m}}{\text{s}}$; y $\hat{i}=(1,0,0)$, $\hat{j}=(0,1,0)$ y $\hat{k}=(0,0,1)$ son los vectores de base canónica del espacio euclídeo. ¿Cuál es la fuerza a la que se ve sometida dicha carga (el electrón) incidente?

Según la fuerza de Lorentz, la fuerza pedida es $\vec{F}=Q\cdot (\vec{v}\times \vec{B}+\vec{E})$. Entonces, sustituyendo los datos: $\vec{F}=-1.6\times 10^{-19} \cdot (500\,\hat{i} \times 2\,\hat{k}+\vec{0})=-1.6\times 10^{-19} \cdot 10^3 \cdot (\hat{i} \times \hat{k})=-1.6\times 10^{-16} \, (-\hat{j})=1.6\times 10^{-16} \, \hat{j}$; es decir, sobre el electrón incidente actúa una fuerza de módulo $\left\|\vec{F}\right\|=1.6\times 10^{-16}\,\text{N}$ en la dirección y sentido del eje $Oy$, que curva la trayectoria inicial. $\diamond$

Comparación entre el campo magnético de un imán de un disco duro de computador y el campo magnético de la Tierra

Un breve comentario sobre cómo de intensos son los campos magnéticos que suelen rodearnos:

El campo magnético de la Tierra, cuyos valores son del orden de magnitud de $10^{-5}\,\text{T}$ (tesla) —$1$ tesla (unidad del SI) equivale a $10^4\,\text{G}$ (gauss)—, y aunque realice perfectamente su función de salvaguardar la vida desviando las partículas de alta energía procedentes del espacio exterior, es débil en comparación, por ejemplo, con el campo que crea un imán de neodimio (empleado en los discos duros de los ordenadores), de orden de magnitud de $1 \text{T}$. Vemos entonces que, el campo magnético creado por un imán, con el que podemos jugar en nuestro laboratorio, es $10^5$ veces más intenso que el campo magnético de la Tierra.$\diamond$

Un ejemplo de cálculo del potencial eléctrico y del campo eléctrico creado por dos cargas eléctricas en un punto dado

En el punto $A(2,0,0)$ se sitúa una carga eléctrica $Q_A=1\,\text{C}$ y en el punto $B(0,2,0)$ una carga eléctrica $Q_B=-1\,\text{C}$. Las distancias vienen expresadas en metros. Voy a calcular el vector campo eléctrico, su módulo, y el potencial creado por estas cargas en el punto $P(2,0,0)$. Finalmente, consideremos una carga testigo situada en $P$, pongamos que un electrón. ¿Qué fuerza experimenta?

Cálculo del potencial en $P$: El potencial creado por la carga $Q_A$ en el punto $P$ es igual a $V_P(Q_A)=K\,\dfrac{Q_A}{d_{AP}}$ y el creado por la carga $Q_B$ en $P$ es $V_P(Q_A)=K\,\dfrac{Q_B}{d_{BP}}$, y por el principio de superposición, el potencial total en $P$ es igual a $V_P=V_P(Q_A)+V_P(Q_B)$, luego $V_P=K\,\dfrac{Q_A}{d_{AP}}+K\,\dfrac{Q_B}{d_{BP}}$, siendo $K$ la constante de Coulomb $K\approx 9\times 10^9\,\dfrac{\text{N}·\text{m}^2}{\text{C}^2}$; y, en cuanto a las distancias: $d_{AP}:=\left\|\overset{\rightarrow}{AP}\right\|=\sqrt{(x_P-x_A)^2+(y_P-y_A)^2+(z_P-z_A)^2}=\sqrt{(2-0)^2+(0-0)^2+(0-0)^2}=2\,\text{m}$ y $d_{BP}:=\left\|\overset{\rightarrow}{BP}\right\|=\sqrt{(x_P-x_B)^2+(y_P-y_B)^2+(z_P-z_B)^2}=\sqrt{(2-0)^2+(0-2)^2+(0-0)^2}=2\,\sqrt{2}\,\text{m}$ Sustituyendo ahora todos los datos, obtenemos: $V_P=9\times 10^9\cdot\left( \dfrac{1}{2}+\dfrac{(-1)}{2\,\sqrt{2}}\right)\approx 10^9\,\text{V}$

Cálculo del campo eléctrico en $P$: El campo creado por la carga $Q_A$ en el punto $P$ es igual a $\vec{E}_P(Q_A)=K\,\dfrac{Q_A}{d_{AP}^2}\,\hat{u}_{AP}$, siendo $\hat{u}_{AP}$ el vector unitario en la dirección y sentido de $A$ a $P$, luego $\hat{u}_{AP}=\dfrac{\overset{\rightarrow}{AP}}{d_{AP}}$. Por otra parte, el campo creado por la carga $Q_B$ en el punto $P$ es igual a $\vec{E}_P(Q_B)=K\,\dfrac{Q_B}{d_{BP}^2}\,\hat{u}_{BP}$, siendo $\hat{u}_{BP}$ el vector unitario en la dirección y sentido de $A$ a $P$, luego $\hat{u}_{BP}=\dfrac{\overset{\rightarrow}{BP}}{d_{BP}}$. Como el campo total en $P$ es la suma de esos dos campos, $\vec{E}_P=\vec{E}_P(Q_A)+\vec{E}_P(Q_B)$, se tiene que $\vec{E}_P=K\,\dfrac{Q_A}{d_{AP}^3}\,\overset{\rightarrow}{AP}+K\,\dfrac{Q_N}{d_{BP}^3}\,\overset{\rightarrow}{BP}$, donde $\overset{\rightarrow}{AP}=\overset{\rightarrow}{OP}-\overset{\rightarrow}{OA}=2\,\hat{i}$ y $\overset{\rightarrow}{BP}=\overset{\rightarrow}{OP}-\overset{\rightarrow}{OB}=2\,\hat{i}-2\,\hat{j}$, siendo $\hat{i}=(1,0,0)$, $\hat{j}=(0,1,0)$ y $\hat{k}=(0,0,1)$ los vectores de la base canónica del espacio euclídeo.

Entonces, sustituyendo todos los datos: $\vec{E}_P=K\cdot \left( \dfrac{1}{2^3}\,\cdot 2\,\hat{i}+\dfrac{(-1)}{(2\,\sqrt{2})^3}\cdot 2\,(\hat{i}-\hat{j})\right)=\dfrac{9\times 10^9}{8\,\sqrt{2}}\cdot \left( (2\,\sqrt{2}-1)\,\hat{i}+\hat{j}\right)\approx 10^9\,\hat{i}+10^9\,\hat{j}$ donde las coordenadas de dicho vector vienen expresadas en $\dfrac{\text{V}}{\text{m}}$; así pues, el módulo del vector campo eléctrico, con las aproximaciones decimales realizadas es igual a $\left\|\vec{E}_P\right\|=\sqrt{(10^9)^2+(10^9)^2}=10^9\,\,\dfrac{\text{V}}{\text{m}}$

Al situar un electrón —la carga del electrón es $Q_{P}(e)=-1.6\times 10^{-19}\,\text{C}$— en el punto $P$, el campo creado por las cargas $Q_A$ y $Q_B$ en ese punto actúa sobre la carga testigo con una fuerza igual a $\vec{F}=Q_{e}\,\vec{E}_P=-1.6\times 10^{-19}\cdot (10^9\,\hat{i}+10^9\,\hat{j})=-1.6 \times 10^{-10}\,(\hat{i}+\hat{j})$, y cuyo módulo es igual a $\left\|\vec{F}\right\|=1.6\times 10^{-10}\cdot (\sqrt{1^2+1^2+0^2})=1.6\cdot \sqrt{2}\times 10^{-10} \approx 2.3 \times 10^{-10}\,\text{N}$

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Potencial eléctrico en un punto, creado por un conjunto discreto de cargas eléctricas

Tres cargas eléctricas están situadas en tres de los vértices de un cuadrado, $\square(A,B,C,D)$, cuyos lados tienen una longitud de $1\,\text{m}$: $Q_A=-2\,\text{C}$ en el vértice $A$; $Q_B=+1\,\text{C}$ en el vértice $B$, y $Q_C=+1\,\text{C}$ en el vértice $C$. ¿Cuál es el potencial eléctrico en el cuarto vértice, $D$?

Por el teorema de superposición, $V_D=V_{A_D}+V_{B_D}+V_{C_D}$, luego $V_D=K\,\dfrac{Q_A}{d_{AD}}+K\,\dfrac{Q_B}{d_{BD}}+K\,\dfrac{Q_C}{d_{CD}}$, siendo el valor aproximado de la constante de Coulomb: $K = 9 \times 10^9\,\dfrac{\text{N}\,\text{m}^2}{\text{C}^2}$. Entonces, como $d_{BD}=d_{BC}=1\, \text{m}$, y $d_{AD}=\sqrt{d_{AB}^2+d_{BC}^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}\,\text{m}$, se tiene que $V_D=K\,\left( \dfrac{(-2)}{\sqrt{2}}+\dfrac{(+1)}{1}+\dfrac{(+1)}{1}\right)=9 \times 10^9\cdot (2-\sqrt{2}) \approx 5\times 10^9\,\text{V}$

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