Un caso de movimiento circular

Una partícula describe el siguiente movimiento circular uniforme: $\vec{r}(t)=-3\,\cos(5t)\hat{i}+0\,\hat{j}+3\,\sin(5t)\,\hat{k}$ (en unidades del SI). Voy a calcular la aceleración tangencial, la aceleración normal, y el radio de curvatura (radio de la circunferencia).

Como el movimiento es cicurlar uniforme, es claro que la aceleración tangencial ha de ser nula ($\vec{a}_T=\vec{0}$); que no así, la aceleración normal, ya que, de ser ésta nula, el movimiento sería rectilíneo.

Comentario: Al ser nula la segunda componente del vector de posición genérico, la trayectoria se inscribe en el plano $Oxz$

Calculo la velocidad y la aceleración: $\vec{v}(t):=\dot{\vec{r}}(t)=15\,\sin(5t)\hat{i}+0\,\hat{j}+15\,\cos(5t)\,\hat{k}$; $\vec{a}(t):=\ddot{\vec{r}}(t)=75\,\cos(5t)\hat{i}+0\,\hat{j}-75\,\sin(5t)\,\hat{k}$

Teniendo en cuenta que $\vec{a}=\vec{a}_{T}+\vec{a}_N$, se tiene que $\vec{a}_N=\vec{a}-\vec{a}_{T}$, y como $\vec{a}_{T}=\vec{0}$, $\vec{a}_N=\vec{a}=75\,\cos(5t)\hat{i}+0\,\hat{j}-75\,\sin(5t)\,\hat{k}$

Además, se sabe que en un movimiento circular, el radio de curvatura es constante, y está relacionado con los módulos de la aceleración normal y de la velocidad de la forma $|\vec{a}_{N}|=\dfrac{(|\vec{v}|)^2}{R}$, por tanto $R=\dfrac{(|\vec{v}|)^2}{|\vec{a}_{N}|}=\dfrac{\left(\sqrt{15^2\,\sin^2\,(5t)+0^2+15^2\,\cos^2(5t)}\right)^2}{\sqrt{75^2\,\cos^2\,(5t)+0^2+75^2\,\sin^2(5t)}}=\dfrac{15^2}{75}=3\,\text{m}$

-oOo- Nota: A sabiendas de que tratamos con un movimiento circular, el radio de curvatura constante (radio de la circunferencia) puede determinarse también a partir de la ecuación cartesiana de dicha circunferencia: de la ecuación vectorial dada en el enunciado, se puede escribir fácilmente las ecuaciones paramétricas: $\left\{\begin{matrix}x(t)=-3\,\cos(5t) \\ y(t)=3\,\sin(5t) \\ z(t)=0\end{matrix}\right.$, así que, elevando al cuadrado y sumando miembro a miembro: $x(t)^2+y(t)^2+z(t)^2=(-3\,\cos(5t))^2+0^2+(3\,\sin(5t))^2=3^2\cdot (\cos^2\,(5t)+\sin^2(5t))=3^2\cdot 1=3^2$ por consiguiente, reconociendo en dicha ecuación la de una circunferencia centrada en el origen de coordenadas (cuya ecuación es $x(t)^2+y(t)^2+z(t)^2=R^2$), se deduce de inmediato que $R^2=3^2 \Rightarrow R=3\,\text{m}$

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Análisis de una trayectoria

En un cierto movimiento de una partícula, su vector de posición es $\vec{r}(t)=t^2\,\hat{i}+\hat{j}+t^2\,\hat{k}$. ¿Es un movimiento acelerado? ¿Se curva la trayectoria?

Para responder a esas preguntas, calcularé la aceleración normal y la aceleración tangencial (a la trayectoria). Si la aceleración normal fuese nula, la trayectoria no se curvaría, y el movimiento sería rectilíneo; en caso contrario, no sería rectilíneo. Por otra parte, si la aceleración fuese nula, se trataría de un movimiento uniforme, y, en caso contrario, de un movimiento acelerado.

El vector velocidad en un instante genérico es $\vec{v}(t):=\dot{\vec{r}}(t)=2\,t\,\,\hat{i}+0\,\hat{j}+2\,t\,\hat{k}$ y el vector aceleración (en un instante genérico) es $\vec{a}(t):=\ddot{\vec{r}}(t)=2\,\,\hat{i}+0\,\hat{j}+2\,\hat{k}=2\,(\hat{i}+0\,\hat{j}+\hat{k}) \neq \vec{0}=$, así que, obviamente, el movimiento no es uniforme.

Ahora, con un poco de atención por nuestra parte, el problema acabaría aquí, ya que si reparamos en el hecho de que, como acabamos de ver, $\vec{a}(t)=2\,\,\hat{i}+0\,\hat{j}+2\,\hat{k}\neq \vec{0}$, esto es, $\vec{a}(t) \propto \vec{v}(t)$ ya que $\vec{v}(t)=t\,\vec{a}(t)$; es decir, al tener el vector aceleración (en un instante genérico) la misma dirección que el vector velocidad (en un instante genérico), la aceleración (total) es tangencial (toda ella) en cualquier punto de la trayectoria, de lo que se deduce que la componente normal de dicha aceleración total es nula, por lo que no hay curvatura, es decir, la trayectoria es rectilínea.

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No obstante, y por si hubiese pasado percibido dicho detalle, calcularé la aceleración normal, para ver cómo es. Para ello, tengamos en cuenta que la aceleración tangencial en un instante genérico es $\vec{a}_T=a_T\,\hat{v}$, donde $\hat{v}$ representa un vector unitario en la misma dirección que $\vec{v}$ (y, por tanto, en la misma dirección que la aceleración tangencial); donde el módulo de dicha aceleración tangencial es $a_{T}:=\dfrac{d}{dt}(|\vec{v}|)$. Además, como $\vec{a}=\vec{a}_N+\vec{a}_T$, conoceremos de ahí la velocidad normal: $\vec{a}_N=\vec{a}-\vec{a}_T$.

Calculo pues lo que hace falta: $|\vec{v}|=\sqrt{(2t)^2+o^2+(2t)^2}=2\,\sqrt{2}\,t$, luego el módulo de la aceleración tangencial es $a_T=\dfrac{d}{dt}(2\,\sqrt{2}\,t)=2\,\sqrt{2} \neq 0$, por lo que ello constanta que el movimiento no es uniforme, pues, por lo menos, es acelerado en la dirección tangencial.

Veamos ahora si la trayectoria se curva, analizando la velocidad normal. Un vector unitario de la velocidad (y por tanto de la aceleración tangencial) es $\hat{v}=\dfrac{1}{|\vec{v}(t)|}\,\vec{v}(t)=\dfrac{1}{2\,\sqrt{2}\,t}\,\left(2\,t\,\hat{i}+0\,\hat{j}+2\,t\,\hat{k}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\,\left(\hat{i}+0\,\hat{j}+\hat{k}\right)$, con lo cual $\vec{a}_T=(2\,\sqrt{2})\cdot \dfrac{1}{\sqrt{2}}\,\left(\hat{i}+0\,\hat{j}+\hat{k}\right) =2\,(\hat{i}+0\,\hat{j}+\hat{k})$, luego $\vec{a}_{N}(t)=\vec{a}(t)-\vec{a}_{T}(t)=2\,(\hat{i}+0\,\hat{j}+\hat{k})-2\,(\hat{i}+0\,\hat{j}+\hat{k})=\vec{0}$, con lo cual, obviamente, se llega, también así, a la misma conclusión a la que se había ya hace rato: el movimiento es rectilíneo y acelerado. $\diamond$

Velocidad media y aceleración media entre dos instantes de tiempo

Una partícula se mueve según la trayectoria $\vec{r}(t)=t^4\,\hat{i}+t^3\,\hat{j}+t^2\,\hat{k}$. Voy a calcular la velicidad y la aceleración en un instante de tiempo $t$ genérico, y, finalmente, la velocidad media y la aceleración media entre los instantes de tiempo $t_i=1$ s y $t_f=2$ s

Cálculo de la velocidad instantánea: $\vec{v}(t):=\dot{\vec{r}}(t)=4\,t^3\,\hat{i}+3\,t^2\,\hat{j}+2\,t\,\hat{k}$

Cálculo de la aceleración instantánea: $\vec{a}(t):=\ddot{\vec{r}}(t)=12\,t^2\,\hat{i}+6\,t\,\hat{j}+2\,\hat{k}$

Cálculo de la velocidad media entre $t_i$ y $t_f$: $$\vec{v_{m_{(t_i,t_f)}}}(t):=\dfrac{\vec{v}(t_f)-\vec{v}(t_i)}{t_f-t_i}=\dfrac{\vec{v}(2)-\vec{v}(1)}{2-1}=\dfrac{(4\cdot 2^3\,\hat{i}+3\cdot 2^2\,\hat{j}+2\cdot 2\,\hat{k})-(4\cdot 1^3\,\hat{i}+3\cdot 1^2\,\hat{j}+2\cdot 1\,\hat{k})}{1}$$ $$=(32-4)\,\hat{i}+(12-3)\,\hat{j}+(4-2)\,\hat{k}=28\,\hat{i}+9\,\hat{j}+2\,\hat{k}$$

Cálculo de la aceleración media entre $t_i$ y $t_f$: $$\vec{a_{m_{(t_i,t_f)}}}(t):=\dfrac{\vec{a}(t_f)-\vec{a}(t_i)}{t_f-t_i}=\dfrac{\vec{a}(2)-\vec{a}(1)}{2-1}=\dfrac{(12\cdot 2^2\,\hat{i}+6\cdot 2\,\hat{j}+2\,\hat{k})-(12\cdot 1^2\,\hat{i}+6\cdot 1\,\hat{j}+2\,\hat{k})}{1}$$ $$=(48-12)\,\hat{i}+(12-6)\,\hat{j}+(2-2)\,\hat{k}= 36\,\hat{i}+6\,\hat{j}+0\,\hat{k}$$

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Celeridad media en un recorrido total formado por varios tramos en los que se circula a distinta velocidad

Un ciclista recorre $20$ km a $35$ km/h, y los siguientes $30$ km a $25$ km/h, ¿cuál es la celeridad media en el recorrido total?

El recorrido total es de $20+30=50$ km, y el tiempo empleado es igual a $20/35$ h + $30/25$ h, esto es, $62/35$ h; en consecuencia, la velocidad media pedida es igual a $\dfrac{50}{62/35}=871/31$ km/h $\approx 28,23$ km/h. $\diamond$

Parámetros de un movimiento armónico simple y cálculo de la posición, velocidad y aceleración del móvil en ciertos instantes de tiempo

Un cierto movimiento armónico simple (m.a.s) tiene por ecuación $x(t)=2\,\cos(\pi\,t+\frac{\pi}{3})$, en unidades del SI (y en radianes las unidades de magnitud angular). Voy a extraer de ella información importante: la amplitud, la frecuencia angular, la frecuencia y el periodo. También calcularé cuál es la posición del móvil en el instante inicial, $t=0\,\text{s}$, así como la velocidad y la aceleración en el instante $t=\frac{1}{10}\,\text{s}$

Teniendo en cuenta que la ecuación genérica de la posición en un instante de tiempo $t$ de un m.a.s es $x(t)=A\,\sin\,(wt+\delta)$, en la que $A$ representa la amplitud; $w$ la frecuencia angular, y $\delta$ el desfase en el instante inicial, y, sabiendo que, para un ángulo cualquiera, $\theta$, las funciones trigonométricas seno y coseno está relacionadas mediante la identidad $\cos\,\theta = \sin\,(\theta+\frac{\pi}{2})$, podemos escribir la ecuación del m.a.s dada de la forma $x(t)=2\,\cos(\pi\,t+\frac{\pi}{3})=2\,\sin\,((\pi\,t+\frac{\pi}{3})+\frac{\pi}{2})=2\,\sin\,(\pi\,t+\frac{5}{6}\,\pi) \quad (1)$. Entonces, comparando esta ecuación con la e. genérica, se deduce que el valor de la amplitud es $A=2\,\text{m}$; el valor del desfase en el instante inicial, $\delta=\dfrac{5}{6}\,\pi\,\,\text{rad}$; el valor de la frecuencia angular es $w=\pi\,\dfrac{\text{rad}}{\text{s}}$, y como $w=\dfrac{2\,\pi}{T}$, siendo $T$ el periodo, vemos que $\pi=\dfrac{2\,\pi}{T}$ con lo cual $T=2\,\text{s}$; por consiguiente, como la frecuencia $f$ se define como el inverso del periodo $T$, deducimos que $f=0,5\,\text{s}^{-1}$.

La posición del móvil en el instante inicial es, de $(1)$, $$x(0)=2\,\sin\,(\pi\cdot 0+\frac{5}{6}\,\pi)=2\,\sin\,(\frac{5}{6}\,\pi)\,\,\text{m}=2\cdot \dfrac{1}{2}\,\,\text{m}=1\,\text{m}$$

Derivando sucesivamente dos veces $(1)$ con respecto de $t$, encontramos las ecuaciones de la velocidad y de la aceleración: $$v(t):=\dot{x}(t)=2\,\pi \cdot \cos\,(\pi\,t+\frac{5}{6}\,\pi)\quad (2)$$ $$a(t):=\ddot{x}(t)= -2\,\pi^2\,\sin\,(\pi\,t+\frac{5}{6}\,\pi)\quad (3)$$ Por tanto, los valores de la velocidad y de la aceleración del móvil en el instante $t=\frac{1}{10}\,\,\text{s}$, de $(2)$ y $(3)$, son: $$v(\frac{1}{10})=2\,\pi \cdot \cos(\frac{1}{10}\,\pi+\frac{5}{6}\,\pi) = 2\,\pi\cdot \cos(\frac{14}{15}\,\pi) \approx -6\,\dfrac{\text{m}}{\text{s}}$$ $$a(\frac{1}{10})=-2\,\pi^2\,\sin(\frac{1}{10}\,\pi+\frac{5}{6}\,\pi)=-2\,\pi^2\,\sin(\frac{14}{15}\,\pi) \approx -4\,\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$$ $\diamond$

De cero a cien ...

Hemos leído en una revista de mecánica que un cierto vehículo es capaz de pasar de una velocidad de cero a cien kilómetros por hora en diez segundos, intervalo de tiempo durante el cual se mueve a aceleración constante. Nos preguntamos, a qué distancia de la salida se encontrará en dicho tiempo.

Necesitaremos calcular la aceleración que actúa sobre el vehículo durante este tiempo de $10\,\text{s}$; para ello, tengamos en cuenta que, al tratarse de un m.r.u.a ($a=\text{constante}$), se tiene que $v(t)=v(0)+a\cdot t$, luego, al ser $v(0)=0\,\dfrac{\text{m}}{\text{s}}$ (se parte del reposo), $a=\dfrac{v(t)}{t}$

La velocidad final, en unidades del SI, es $100\,\dfrac{\text{km}}{\text{h}}=100\,\dfrac{\text{km}}{\text{h}}\cdot \dfrac{1}{1000}\,\dfrac{\text{m}}{\text{km}} \cdot \dfrac{1}{3600}\,\dfrac{\text{h}}{\text{s}}=36\,\dfrac{\text{m}}{\text{s}}$, con lo cual, $a=\dfrac{36}{10}=\dfrac{18}{5}\,\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$. Finalmente, por la ecuación del movimiento referida a la posición que el vehículo tiene en cada instante de tiempo: $x(t)=x(0)+v(0)\,t+\dfrac{1}{2}\,a\,t^2$; y, como hemos colocado el sistema de referencia en la posición de salida, $x(0)=0$, luego $x(10)=0+0\cdot t+\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{18}{5} \cdot 10^2=180$, por consiguiente la distancia pedida es $\ell:=x(10)-x(0)=180\,\text{m}$   $\diamond$

Movimiento uniformemente acelerado en una rampa sin rozamiento

Un objeto está situado en un plano inclinado que forma un ángulo $\alpha$ con respecto al plano horizontal. Se supone que la intensidad del campo gravitatorio es de $g=9,81\,\text{m}\cdot \text{s}^{-2}$. El rozamiento con el plano inclinado se considera despreciable. Toda vez que el objeto empieza a deslizar, ¿cuánto tiempo tarde en alcanzar una velocidad de $4\,\text{m}\cdot \text{s}^{-1}$? ¿Qué longitud se habrá desplazado sobre el plano hasta dicho instante?

Situemos el sistema de referencia en el punto en el que el objeto empieza a deslizar, y en la dirección del movimiento. Por la segunda ley de Newton, la aceleración en la dirección del movimiento, $a$, es tal que $m\,a=m\,g\,\sin\,\alpha$, con lo cual $a=g\,\sin\,\alpha$. Al tratarse de un m.r.u.a, podemos escribir la ecuación de la velocidad: $v(t)=v(0)+a\,t$, donde $v(0)=0\,\text{m}\cdot \text{s}^{-1}$; por tanto, de la información del enunciado, se tiene que $4=0+g\,\sin\,\alpha \Rightarrow t=\dfrac{4}{a}=\dfrac{4}{g\,\sin\,\alpha}$, y, como $x(t)=x(0)+v(0)\cdot t + \dfrac{1}{2}\,a\,t^2$, y teniendo en cuenta que $x(0)=0$ y $v(0)=0\,\text{m}\cdot \text{s}^{-1}$, la longitud de camino recorrida desde el instante inicial en el que empieza a deslizar hasta el instante que alcanza la velocidad propuesta, es, por tanto, la distancia entre estas dos posiciones, esto es, $$\ell:=x\left( \dfrac{4}{g\,\sin\,\alpha}\right)-x(0)=\dfrac{1}{2}\cdot g\, \sin\,\alpha \cdot \left(\dfrac{4}{g\,\sin\,\alpha}\right)^2-0=\dfrac{8}{g\,\sin\,\alpha}$$.

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Así, por ejemplo, si $\alpha=60^{\circ}$, el tiempo que tarda en alcanzar la velocidad de $4\,\text{m}\cdot \text{s}^{-1}$ es $t=\dfrac{4}{9,81\cdot \sin\,60^\circ}\approx 0,47\,\text{s}$ y la longitud de camino recorrida desde que inició el deslizamiento hasta el instante que alcanza dicha velocidad es $\ell:=x(0,47)-x(0)=\dfrac{8}{9,81\cdot \sin\,60^\circ}\approx 0,94\,\text{m}$. $\diamond$