El formalismo lagrangiano

¿Cómo encontrar las ecuaciones del movimiento de un sistema? Si bien esto puede hacerse aplicando sin más las ecuaciones de Newton, hay otras maneras de resolver el problema, más aficaces cuando la complejidad del problema aumenta. Estos formalismos matemáticos, como son, básicamente, el de Lagrange y el de Hamilton, son más sofisticados desde el punto de vista matemático, pero constituyen la base para tratar no sólo problemas de la mecánica clásica y de termodinámica sino que también son fundamentales para estudiar los problemas de la física cuántica, y de las teorías de campos (en física de partículas). Aquí trataremos del formalismo lagrangiano.

Coordenadas generalizadas

Al considerar un sistema de $N$ partículas, tendremos $N$ vectores de posición $\vec{r}_\nu=x_{\nu}\hat{i}+y_{\nu}\hat{j}+z_{\nu}\hat{k}$ (que, en general, dependen del tiempo), y por tanto, $3N$ coordenadas de posición, $\{x_{\nu}, y_{\nu}, z_{\nu}\}$, $\nu=1,2,\ldots,N$ en un espacio de 3 dimensiones; ahora bien, la libertad de las partículas suele estar restringida por un cierto conjunto de ligaduras, lo cual conduce a describir el sistema en función de $n$ coordenas efectivas, con $n\lt N$, a las que denominamos coordenadas generalizadas y representamos por $\{q_1,q_2,\ldots,q_n\}$. Utilizaremos el subíndice $\alpha$ para designar estas coordenadas generalizadas; así, escribiremos $q_\alpha$, $\alpha=1,2,\ldots,n$. El número, $n$, de coordenadas generalizadas representa el número de grados de libertad del sistema.

Así, podremos escribir las coordenadas de posición en función de las coordenadas generalizadas de la forma $\vec{r}_{\nu}=\vec{r}_{\nu}(q_1,q_2,\ldots,q_n,t)$ para $\nu=1,2,\ldots,N$ que, en la forma escalar, se expresa mediante el sistema de ecuaciones (las funciones del segundo miembro se suponen continuas y derivadas continuas): $$\left\{\begin{matrix}x_{\nu}=x_{\nu}(q_1,q_2,\ldots,q_n,t)\\y_{\nu}=y_{\nu}(q_1,q_2,\ldots,q_n,t)\\ z_{\nu}=z_{\nu}(q_1,q_2,\ldots,q_n,t)\end{matrix}\right.\;\text{para}\;\nu=1,2,\ldots,N$$

Sistema holónomos

Si las ligaduras de las que hemos hablado pueden expresarse de la forma $f(q_1,q_2,\ldots,q_n,t)=0$ y éstas son integrables, diremos que el sistema (de ligaduras) es holonómico (o holónomo). En tal caso, un sistema (holónomo) constará de $m$ ecuaciones de ligadura del tipo $\displaystyle \sum_{{\alpha}=1}^{n}\,A_{{\alpha},{k}}\,dq_{{\alpha}}+A\,dt=0\;,\;k=1,2,\ldots,m$ ( o bien de la forma $\displaystyle \sum_{{\alpha}=1}^{n}\,A_{{\alpha},{k}}\,\dot{q}_{{\alpha}}+A=0\;,\;k=1,2,\ldots,m$); siendo, el número de dichas ecuaciones de ligadura menor que el número de grados de libertad del sistema: $m\lt n$.

En el caso de aparecer ligaduras del tipo $f(q_1,q_2,\ldots,q_n,t) \begin{matrix}\lt \\ \gt \end{matrix} 0$, éstas, desde luego, no serían holonómicas. Véase el siguiente ejemplo.

En el caso de que todas las fuerzas actuantes sobre el sistema de partículas puedan obtenerse de una función potencial, $U$, entonces el sistema se denomina conservativo.

Denominamos velocidades generalizadas a las derivadas de $q_\alpha$, $\alpha=1,2,\ldots,n$ con respecto al tiempo $t$, y se designan por $\dot{q}_\alpha$, $\alpha=1,2,\ldots,n$.

Fuerzas generalizadas

A partir del trabajo total realizado sobre el sistema de partículas por las fuerzas $\{\vec{F}_{\nu}\}, \nu=1,2,\ldots, N$, podemos hablar de fuerzas generalizadas $\{\Phi_{\alpha}\},\alpha=1,2,\ldots,n$. Veamos cómo se definen de manera natural:
$dW\equiv\displaystyle \sum_{\nu=1}^{N}\,\vec{F}_{\nu}\cdot d\vec{r}_{\nu}=\displaystyle \sum_{\nu=1}^{N}\,\vec{F}_{\nu}\cdot \sum_{\alpha=1}^{n} \dfrac{\partial\,\vec{r}_{\nu}}{\partial\,q_{\alpha}}\,dq_{\alpha}=\sum_{\alpha=1}^{n} \left(\sum_{\nu=1}^{N}\, \vec{F}_{\nu} \cdot \dfrac{\partial\,\vec{r}_{\nu}}{\partial\,q_{\alpha}} \right)\,dq_{\alpha} \therefore$
    $\Phi_{\alpha}:=\displaystyle \sum_{\nu=1}^{N}\, \vec{F}_{\nu} \cdot \dfrac{\partial\,\vec{r}_{\nu}}{\partial\,q_{\alpha}}\,\text{para}\,\alpha=1,2,\ldots,n$

A partir de ahí, se puede demostrar que las fuerzas generalizadas de un sistema holonómico se relacionan con la energía cinética del sistema, $T$, y cumplen las siguientes $n$ ecuaciones, denominadas ecuaciones de Lagrange: $$\dfrac{d}{dt}\left( \dfrac{\partial\,T}{\partial\,\dot{q}}\right) - \dfrac{\partial\,T}{\partial\,q}=\Phi_{\alpha}\,,\,\alpha=1,2,\ldots,n$$ Además, si el sistema es conservativo, esas ecuaciones se escriben de la forma $$\dfrac{d}{dt}\left( \dfrac{\partial\,\mathcal{L}}{\partial\,\dot{q}}\right) - \dfrac{\partial\,\mathcal{L}}{\partial\,q}=0\,,\,\alpha=1,2,\ldots,n$$ siendo $\mathcal{L}(q_1,q_2,\ldots,q_n;\dot{q}_1,\dot{q}_2,\ldots,\dot{q}_n):=T-U$, y $U(q_1,q_2,\ldots,q_n)$ la función energía potencial del sistema.

Momentos generalizados

Denominamos momento generalizado (o momento conjugado), asociado a la coordenada generalizada $q_\alpha$, a $p_\alpha =\dfrac{\partial\,T}{\partial\,\dot{q}_\alpha}$ y, si el sistema es conservativo, se tiene que $q_\alpha$, a $p_\alpha =\dfrac{\partial\,\mathcal{L}}{\partial\,\dot{q}_\alpha}$

Extensión de las ecuaciones de Lagrange a sistemas no holonómicos

El formalismo lagrangiano se aplica no sólo a los sistema holonómicos (con un conjunto de restricciones o ligaduras integrables o holonómicas) sino también a sistemas no holonómicos, mediante el uso añadido de los multiplicadores de Lagrange, reemplezando las ecuaciones de Lagrange de las que hemos hablado antes por estas otras: $$\dfrac{d}{dt}\left( \dfrac{\partial\,T}{\partial\,\dot{q}}\right) - \dfrac{\partial\,T}{\partial\,q}=\Phi_{\alpha}+\lambda_1\,A_{\beta_{1}}+\lambda_2\,A_{\beta_{2}}+\ldots+\lambda_m\,A_{\beta_{m}}\,,\,\alpha=1,2,\ldots,n$$ donde $\lambda_1,\ldots,\lambda_m$ son dichos multiplicadores de Lagrange, siendo $m$ el número de restricciones o ligaduras no integrables.

Fuerzas de ligadura

Hay un multiplicador de Lagrange para cada ligadura no integrable, y cada uno de ellos está asociado a la correspondiente fuerza de ligadura, el conjunto de las cuales constriñen el sistema; por otra parte, los términos $\lambda_j\,A_{\beta_{j}}\,,\;j=1,2,\ldots,m$ se asocian a las correspondientes fuerzas de ligadura (o constricción).

Tendremos, en definitiva, un sistema de $n+m$ ecuaciones con $n+m$ incógnitas, que podremos integrar para llegar a las ecuaciones del movimiento.

Y, tal como se ha comentado antes, si el sistema es conservativo, podremos escribir: $$\dfrac{d}{dt}\left( \dfrac{\partial\,\mathcal{L}}{\partial\,\dot{q}}\right) - \dfrac{\partial\,\mathcal{L}}{\partial\,q}=\lambda_1\,A_{\beta_{1}}+\lambda_2\,A_{\beta_{2}}+\ldots+\lambda_m\,A_{\beta_{m}}\,,\,\alpha=1,2,\ldots,n$$ donde $\lambda_1,\ldots,\lambda_m$

Este resultado nos permitirá determinar las ecuaciones del movimiento (de sistema no holónomos). Un par de ejemplos:

1. ¿En qué punto de una esfera de radio $a$, fija, una esfera de radio $b\le a$, sometida a la acción de un campo gravitatorio y que rueda sin deslizar sobre la superficie (rugosa) de la primera esfera, fija, se separa de su superficie?
2. partícula de masa $m$ que se mueve sobre la superficie interna de un paraboloide de revolución, de ecuación $x^2+y^2=a\,z$, sometida a la acción de un campo gravitatorio en la dirección de $z$.

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Referencias:

  [1] K.R. Symon, Mecánica, Aguilar, Madrid, 1977.
  [2] M.R. Spiegel, Mecánica teórica, McGraw-Hill, Mexico, 1976.

Símil de bolas de colores para calcular el número de microestados compatibles con un cierto macroestado en la estadística de Boltzmann

¿De cuántas maneras podemos ordenar un conjunto formado por $3$ bolas rojas, $2$ bolas azules y $4$ bolas verdes (número de «microestados» $\Omega$ compatible con un cierto «macroestado»), atendiendo únicamente al color de las bolas?

Al no importar el orden de las bolas del mismo color dentro del grupo de dicho color, el número de maneras en las que podemos elegir $3$ bolas rojas entre un total de $3+4+2=9$ bolas es $\displaystyle \binom{9}{3}$; por otra parte, elegidas ya esas $3$ bolas rojas (nos quedan $9-3$ bolas por elegir), el número de maneras de elegir $4$ bolas verdes entre esas $9-3$ bolas es $\displaystyle \binom{9-3}{4}$, y, como ya hemos empleado $3+4$ bolas en esas dos primeras operaciones, el número de maneras de elegir $2$ bolas azules entre el remanente de bolas disponible $9-3-4$ es $\displaystyle \binom{9-3-4}{2}$. Empleando finalmente el principio de independencia combinatoria, el número de microestados (ordenaciones) es $$\Omega=\binom{9}{3}\cdot \binom{9-3}{4} \cdot \binom{9-3-4}{2}=\dfrac{9!}{3!\cdot 4!\cdot 2!}$$ que coincide con el resultado de aplicar directamente la fórmula de permutaciones con repetición que aparece en los libros de texto de matemáticas en la enseñanza secundaria: $PR_{n_1,n_2,\ldots,n_k}^{n_1+n_2+\ldots+n_k}:=\dfrac{(n_1+n_2+\ldots+n_k)!}{n_{1}!\cdot n_{2}!\cdot \ldots n_{k}!}$, que en nuestro caso se concreta en $PR_{3,4,2}^{3+4+2}=\dfrac{(3+4+2)!}{3!\cdot 4!\cdot 2!}$.$\diamond$

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Referencias:

  [1] M.W. Zemansky, Calor y Termodinámica, Aguilar, Madrid, 1973.
  [2] R. Feynman; R.B. Leighton; M. Sands, The Feynman Lectures on Physics, Mainly Mechanics, Radiations and Heat, Volume I; traducción al castellano, primera reimpresión. (Addison Wesley, Mexico, 1998).
  [3] J. Ortín; J.M. Sancho, Curso de física estadística, Edicions de la U.B., Barcelona, 2001.

Aplicación del formalismo de Lagrange al péndulo simple

Un cuerpo de masa $m$ está suspendido del techo mediante una cuerda de longituda $\ell$, de longitud constante (el sistema es escleronómico) y de masa despreciable (el sistema es holonómico) para poder oscilar en un mismo plano vertical, y se desprecia también el rozamiento. Nos proponemos encontrar la ecuación del movimiento, aplicando el formalismo de Lagrange.

Situaremos el origen de potencial gravitatorio en el punto más bajo de la trayectoria pendular, con lo que la energía potencial es $U=m\,g\,(\ell\,-\ell\,\cos\,\theta)$, siendo $\theta$ el ángulo que forma la cuerda con la vertical en una posición dada del péndulo. Por otra parte, la energía cinética de la masa que pende es $T=\dfrac{1}{2}\,m\,(\ell\cdot \dot{\theta})^2$. Con esto, podemos escribir ya la función lagrangiana $\mathcal{L}:=T-U$, que dependende únicamente de una variable (coordenada generalizada), $q\equiv \theta$: $$\mathcal{L}(\theta)=\dfrac{1}{2}\,m\,\ell^2\,\,\dot{\theta}^2-m\,g\,\ell\,(1-\cos\,\theta)$$

La ecuación de Lagrange (el sistema es conservativo) es $$\dfrac{d}{dt}\left( \dfrac{\partial\,\mathcal{L}}{\partial\,\dot{\theta}}\right)-\dfrac{\partial\,\mathcal{L}}{\partial\,\theta}=0 \quad \quad (1)$$

Calculemos los téminos de esta ecuación: $\dfrac{\partial\,\mathcal{L}}{\partial\,\dot{\theta}}=m\,\ell^2\,\dot{\theta} \,\therefore\, \dfrac{d}{dt}\left( \dfrac{\partial\,\mathcal{L}}{\partial\,\dot{\theta}}\right) = m\,\ell^2\,\ddot{\theta}$ y $\dfrac{\partial\,\mathcal{L}}{\partial\,\theta}=-m\,g\,\ell\,\sin\,\theta$

Entonces, sustituyendo en (1), encontramos la ecuación del movimiento: $$m\,\ell^2\,\ddot{\theta}+m\,g\,\ell\,\sin\,\theta=0$$ que, simplificada, queda $$\ell\,\ddot{\theta}+g\,\sin\,\theta=0$$

*** Nota (acerca de la tensión en la cuerda): Para encontrar la tensión de la cuerda, podemos aplicar directament las ecuaciones de Newton. Descomponiendo la fuerza que la gravedad ejerce sobre el péndulo en las direcciones tangencial y normal, vemos que esta última —que, por la condición de equilibrio, ha de ser igual a la tensión— es igual a $T=m\,g\,cos\,\theta$. Obsérvese que la tensión es máxima cuando $\cos\,\theta$ toma el valor máximo, y por tanto, cuando $\theta$ alcanza el valor $0$, esto es, cuando el péndulo pasa por el punto más bajo de su oscilación, situación en la cual $T_{\text{máxima}}=m\,g$. $\diamond$

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Referencias:

  [1] K.R. Symon, Mecánica, Aguilar, Madrid, 1977.
  [2] M.R. Spiegel, Mecánica teórica, McGraw-Hill, Mexico, 1976.

Breves notas sobre la medida de la radiactividad

Cualquier núcleo atómico, $X$, viene caracterizado por su número atómico (número de protones), $Z$, y su número másico (número de nucleones: neutrones y protones), $A$. Dicha información se nota de la forma $_{Z}^{A}X$. Si dichos núcleos no son estables, se ven sometidos a procesos de transformación a otros núcleos. En dichos procesos se emite radiación de tres posibles tipos: $\alpha$, $\beta$ y $\gamma$ — su actividad se detecta mediante aparatos específicos [5]—, mediante los siguientes procesos:

Procesos radiactivos

• Desintegración $\alpha$. Consiste en la transformación de un núcleo $X$ por emisión de una partícula $\alpha$, esto es $_{4}^{2}He$, para dar lugar a otro núcleo $Y$. El número atómico $Z$ del núclido resultante es el de $X$ disminuido en dos unidades, y su número másico $A$ disminuye en cuatro unidades: $_{Z}^{A}X \,\to\, _{4}^{2}He + _{Z-2}^{A-4}Y$. Así, por ejemplo, $_{92}^{238}U \to _{4}^{2}He + _{90}^{234}Th$
• Desintegración $\beta$ negativa. Consiste en la transformación de un núcleo $X$ por emisión de un electrón, $_{-1}^{\;\,0}e$, dando lugar a otro núcleo $Y$. El número atómico del núclido resultante es el de $X$ aumentado en una unidad, y su número másico permanece constante: $_{Z}^{A}X \,\to\, _{-1}^{\;\,0}e + _{Z+1}^{A}Y$. Por ejemplo, núclido de torio $_{90}^{234}Th$ se desintegra emitiendo un electrón y dando lugar a un núclido de protoactinio; así, $_{90}^{234}Th \to _{-1}^{0}e + _{91}^{234}Pa$.
• Desintegración $\beta$ positiva. Consiste en la transformación de un núcleo $X$ por emisión de un positrón (antipartícula del electrón), $_{0}^{1}e$, dando lugar a otro núcleo $Y$. El número atómico del núclido resultante es el de $X$ disminuido en una unidad, y su número másico permanece constante: $_{Z}^{A}X \,\to\, _{1}^{0}e + _{Z-1}^{\quad A}Y$.
• Captura electrónica. Consiste en la captura de un electrón cercano al núcleo por parte de éste (normalmente de la capa $K$). El electrón capturado se une con un protón del núcleo, dando lugar a un neutrón, $_{0}^{1}n$, y a un neutrino, $\nu_e$, originándose un estado excitado que tiende al estado fundamental por emisión de fotones de alta energía: $_{Z}^{A}X + _{-1}^{\;\,0}e \,\to\, _{Z-1}^{\quad A}Y + \nu_e$
• Desintegración $\gamma$. Consiste en la emisión de fotones de alta energía (radiación $\gamma$) al obtenerse (por diversos procesos de desintegración) núcleos en estados excitados, decayendo hacia el estado fundamental.

En todo proceso radiactivo, es necesario considerar no sólo la actividad de la muestra radiactiva sino también la exposición a la misma, el tiempo de exposición, la dosis absorbida y la dosis admisible; y ello, en especial, por lo que se refiere al daño biológico que la radiación pueda causar en la materia viva sobre la que incida. Veamos a continuación los distintos conceptos que intervienen en las magnitudes que se manejan.

Noción de actividad de una muestra radiactiva

La actividad de una muestra radiactiva se define como el número de desintegraciones por unidad de tiempo. En el SI, la unidad de actividad es el becquerel (Bq) y corresponde a 1 desintegración por segundo; sin embargo, se emplea todavía (por razones históricas) la unidad correspondiente a la actividad de 1 gramo de radio, a la que se le denominó curie (Ci), en honor de Pierre Curie: 1 Ci equivale a $3,7\times 10^{10}$ desintegraciones por segundo (Bq).

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Acerca de la datación cronológica de una muestra radiactiva

A partir de la actividad de una muestra radiactiva es posible realizar su datación en el tiempo. En efecto, en buena lógica podemos decir que la tasa instantánea en la que disminuye el número de núcleos es proporcional al número de núcleos presentes en cada instante de tiempo, es decir, $\Delta\,N(t) \propto -N(t)\,\Delta\,t$ (donde el signo negativo del segundo miembro da cuenta de la dismininución), y por tanto, llamando $\lambda$ a la constate de proporcionalidad (constante de desintegración), que lógicamente tendrá un valor negativo. Entonces, $\Delta\,N(t) = -\lambda\,N(t)\,\Delta\,t$, y pasando de incrementos finitos a diferenciales se llega a $dN(t) = -\lambda\,N(t)\,dt$, con lo cual podemos escribir $\dfrac{dN(t)}{dt}=-\lambda\,N(t)$. Esta ecuación diferencial ordinaria se integra fácilmente: $\displaystyle \int \dfrac{dN(t)}{dt}=\int -\lambda\,N(t)$, luego $\ln\,N(t)=-\lambda\,t+C$, y para determinar el valor de la constante de integración $C$, imponemos como codición inicial que en $t=0$, el número de núcleos sea igual a la cantidad inicial que denotaremos por $N_0$, es decir, $\ln\,N(0)=-\lambda\cdot 0+C$, por tanto $C=\ln\,N_0$; y, sustituyendo en la solución general, llegamos a $N(t)=-\lambda\,t+\ln\,N_0$, por tanto $\ln\,\dfrac{N(t)}{N_0}=-\lambda\,t \Rightarrow N(t)=N_0\,e^{-\lambda\,t}$.

El inverso de $\lambda$, $\dfrac{1}{\lambda}$, se conoce como vida media (de un isótopo radiactivo) y se denota por $\tau$; y, como vamos a ver a continuación, representa el tiempo medio que un núcleo de dicho isótopo radiactivo tarda en desintegrarse. Veamos que efectivamente así es: de la definición estadística de tiempo medio se tiene que $\displaystyle \langle t \rangle:=\dfrac{1}{N_0}\,\int_{0}^{\infty}\,t\,dN(t)$, y teniendo en cuenta la expresión deducida arriba para $N(t)$, ésto es igual a $\displaystyle \int_{0}^{\infty}\,-N_0\,t\,e^{-\lambda\,t}\,dt=\ldots=\dfrac{1}{\lambda}$; así que escribiremos, $\tau=\langle t \rangle=\dfrac{1}{\lambda}$. De ahí, surge de manera natural el significado de la constante de desintegración $\lambda$: probabilidad por unidad de tiempo de que se desintegre un núcleo de dicho isótopo.

Otro concepto relacionado con el de vida media y que por su nombre suele llevar a confusiones o a utilizar erróneamente uno por el otros es el de periodo de semidesintegración (semiperiodo, vida mitad o semivida), $T$, que representa el tiempo transcurrido hasta que el número original de núcleos, $N_0$, se reduce (por desintegración) a la mitad. Para calcular dicho periodo de semidesintegración hacemos pues $\dfrac{N_0}{2}=N_0\,e^{-\lambda\,T} \rightarrow T=\dfrac{\ln\,2}{\lambda}$, o lo que es lo mismo, $T=\tau \cdot \ln\,2$

Ejemplo 1 (datación de una muestra de torio-234): Consideremos una muestra de torio-234, $_{90}^{234}Th$, cuya vida media es de $\tau=24,1$ días. Nos preguntamos cuántos días han transcurrido para que el procentaje de la muestra que queda sin desintegrar sea del $30\,\%$. La constante de desintegración viene dada por $\lambda=\dfrac{1}{\tau}=\dfrac{1}{24,1}\,\text{días}^{-1}$. De (1), podemos escribir que $\displaystyle \dfrac{N(t)}{N_0}=e^{-\frac{1}{24,1}\,t}$, y con el dato del problema, $\displaystyle 0,3=e^{-\frac{1}{24,1}\,t}$, luego $t=-\dfrac{\ln\,0,3}{1/24,1}\approx 29\,\text{días}$.

Ejemplo 2 (datación por carbono-14):

En 1949, el químico Willard Libby desarrolló un método para poder datar los restos orgánicos (que contienen carbono) basados en la medida de la proporción de nucleos de carbono-14 (isótopo radioactivo del carbono) con respecto del número total de núcleos de carbono en una muestra dada. Expliquemos en qué consiste.

En las capas altas de la atmósfera, debido a la radiación de alta energía que proviene del espacio exterior, los neutrones que chocan con los átomos de carbono (de la molécula de dióxido de carbono) dan lugar (por las reacciones nucleares) a isótopos (de carbono) carbono-14 y, al no ser estos estables sus núcleos, estos se desintegran poco a poco: en $3972, se desintegra la mitad de una cierta cantidad de núcleos de carbono-14, parámetro al que denominamos período de semidesintegración (o semivida) y que se suele denotar por $T$.

Debido a los procesos metabólicos de los seres vivos, al formarse nuevas moléculas de dióxido de carbono en la atmósfera, éstas incorporan, dicho isótopo radioactivo en una cierta proporción (que conocemos) y, por consiguiente, considerando el ciclo del carbono (tan importante para la vida), también está presente este isótopo de carbono-14 en todos los seres vivos, en una proporción que se mantiene constante a lo largo de sus vidas, debido al intercambio continuo con el entorno que conlleva el metabolismo y que contrarresta las desintegraciones.

Cuando un ser vivo muere, el carbono-14 de sus estructuras continua desintegrándose, pero, lógicamente, ya no se renueva el contenido de carbono-14 en las mismas.

Consideremos que en un yacimiento arqueológico se ha hallado un hueso y se ha procedido a datarlo mediante la prueba del carbono-14. Para ello, en el laboratorio se ha medido una proporción $\dfrac{N(t)}{N_0}$ igual a $0,7$ (en un ser vivo, el valor de dicha proporción es $1$). ¿Cuál es el valor del tiempo radiológico transcurrido desde la muerte del ser vivo al que perteneció dicho hueso?

La constante de desintegración, que viene dada por $\lambda=\dfrac{1}{\tau}=\dfrac{1}{5730}\,\text{años}^{-1}$, y que como dato, para este caso del carbono-14, disponemos del valor de su vida media $\tau=5730$ años (el valor de la semivida es de $T=\tau\,\ln\,2\approx 3972$ años), se tiene que, como en el ejemplo anterior, a partir de (1), podemos escribir ahora que $\displaystyle \dfrac{N(t)}{N_0}=e^{-\frac{1}{5730}\,t}$, y con el dato del problema, $\displaystyle 0,7=e^{-\frac{1}{5730}\,t}$, luego deducimos de ésto que $t=-\dfrac{\ln\,0,7}{1/5730}\approx 2044\,\text{años}$

Observación:

En la datación es muy importante conocer el periodo de semidesintegración. Desde luego, es posible consultar la bibliografía especializada para saberlo, si conocemos la naturaleza de la muestra. Sin embargo, es conveniente saber cómo podemos determinar dicho periodo a partir de medidas experimentales sobre la actividad de la muestra. Consideremos, por ejemplo, una muestra de un cierto núclido en la cual se ha medido una actividad (inicial) igual a $A_0$ (medida en becquerels, o desintegraciones por segundo). Al cabo de un cierto tiempo, pongamos que al cabo de $1$ año, volvemos a tomar la medida de la actividad, resultando un valor de $A_1$ (medida en becquerels, o desintegraciones por segundo). Nos proponemos, con estos datos que entendemos como experimentales, calcular el periodo de semidesintegración de dicho núclido. Así pues, con la finalidad de determinar el periodo de semidesintegración, notemos que, en la práctica, $N(t)=N_0\,e^{-\lambda\,t}$ es difícil utilizarla, pues es muy difícil medir el número de núcleos sin desintegrar en cada instante de tiempo; sin embargo sí que podemos evaluar el número de desintegraciones por unidad de tiempo que se produce en un instante determinado, magnitud que también decrece exponencialmente, por lo que es razonable escribir que la actividad de la muestra en cada instante de tiempo, $A(t)$, sigue la misma ley que la del número de núcleos presentes en todo instante: $A(t)=A_0\,e^{-\lambda\,t}$, donde $A_0$ es la actividad de la muestra medida en el instante inicial. Entonces, con los datos (medidas) sustituidos en la expresión de la actividad: $A_1=A_0 \cdot e^{-1\cdot \lambda}$, siendo lógicamente $A_0 \gt A_1$, y despejando $\lambda$, se obtiene $\lambda=-\ln\,\dfrac{A_1}{A_0}=\ln\,\dfrac{A_0}{A_1}$. Y, conocido ya el valor de la constante de desintegración, podemos calcular el periodo de semidesintegración: $\displaystyle T=\dfrac{\ln\,2}{\lambda}=\dfrac{\ln\,2}{\ln\,\dfrac{A_0}{A_1}}=\dfrac{\ln\,2}{\ln\,A_0-\ln\,A_1}$

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Noción de exposición a la radiación

La exposición mide la ionización producida por la radiación. La unidad tradicional con la que se mide la exposición es el rötgen (R), y representa la cantidad de rayos X o gamma que debido a la ionización por parte de los electrones secundarios da lugar a 1 u.e.s. —unidad de carga eléctrica utilizada en el sistema cegesimal de unidades centímetro - gramo - segundo, (cgs) y en las unidades de Gauss. La ues de carga también se llama statocoulomb o franklin (Fr)— de carga de cada signo en $1\,\text{cm}^3$ de aire, que equivale a 2,58 coulombs (C) por kilogramo de aire. En el SI, la unidad empleada, es el C/kg (no tiene un nombre concreto).

Cabe decir que, para cuantificar los efectos biológicos que produce la radiación, suelen utilizarse otras magnitudes más específicas, como son la dosis absorbida y la dosis equivalente. Esta última tiene en cuenta la eficacia biológica de la materia receptora.

Noción de dosis absorbida de radiación

La dosis absorbida da cuenta de la energía entregada por la radiación a una cierta cantidad de materia. La unidad tradicional es el rad (rad); $1\,\text{rad} = 10^{-2}\,\dfrac{\text{J}}{\text{kg}}$ —en el aire, $1\,\text{rad}$ tiene prácticamente los mismos efectos que $1 \text{R}$—. En el S.I., la unidad es el gray (Gy): $1\,\text{Gy}=1\, \dfrac{\text{J}}{\text{kg}}$, siendo $1\,\text{Gy}=100\,\text{rad}$.

• Dosis equivalente
  • Para medir el efecto biológico de las radiaciones ionizantes hay que tener en cuenta que éste depende de la dosis absorbida y del tipo de radiación. A tal efecto, se habla de dosis equivalente, y se define de la manera siguiente:
    
    Dosis equivalente:=Dosis absorbida·Eficacia biológica relativa
    El segundo factor, el valor de la eficacia biológica relativa, se toma igual a: $1$ para los rayos X o gamma; $3$ en el caso de que la muestra biológica sea radiada con neutrones térmicos; $10$, para los neutrones rápidos, y $20$ para los núcleos pesados de retroceso.
  Si la dosis absorbida se expresa en rad, entonces la dosis equivalente se expresa en rem (unidad tradicional de esta magnitud), y si la dosis absorbida se expresa en gray (Gy), entonces la dosis equivalente se expresa en sievert (Sv). La equivalencia es la siguiente, $1\,\text{Sv}=100\,\text{rem}$.

Por término medio, la dosis equivalente (expresada en milirem, mrem) que recibimos anualemnte por diversas causas es de 100 a 200 mrem/año, esto es de $0,001$ a $0,002$ Sv/año (por rayos cósmicos —40 mrem/año (1 mrem más por cada 30 m de altura que subamos)—, y rayos X en las pruebas médicas (de 20 a 200 mrem/año), que supone alrededor de 10 rem, esto es $0,1$ Sv, a lo largo de toda la vida.

Dosis admisibles de radiación

Cabe distinguir entre irradiación externa e irradiación por ingestión. La segunda reviste mucha más gravedad que la primera en los daños biológicos.

En lo que se refiere la irradiación externa, se utilizan diversos tipos de dosímetros [4] que permiten conocer la dosis de radiación absorbida por personas en entornos de riesgo (biomedicina, centrales nucleares, emergencias nucleares, etcétera). Estas son algunos datos orientativos acerca de los límites admisibles: para la población en general, la dosis máxima admisible es de $5$ rem en $30$ años. Y para las personas que, por su profesión (industria nuclear, personal de radiología en medicina, etcétera), están expuestas, la dosis máxima admisible es de $5$ rem por año, a partir de los 18 años de edad, y, sin sobrepasar los $3$ rem en 13 semanas consecutivas.

Accidentes nucleares

En el caso accidental (nuclerar), con una irradiación repentina e intensa, la gravedad del daño es muchísimo mayor.

Para el caso de irradiación por ingestión (interna) —por la presencia de materiales radiactivos en el aire, que lleguen a los pulmones al respirarlos; o bien por la contaminación radiactiva de alimentos y bebidas—, y que, lógicamente, se considera un accidente, la gravedad de las consecuencias biológicas es muy grande. No me he informado lo suficiente acerca de cuáles son los límites permisibles. Durante una emergencia nuclear o por radiación, es posible que se liberen materiales radiactivos en el aire y que lleguen a los pulmones de las personas por medio de la respiración, o que se introduzcan en el cuerpo a través de las heridas abiertas.

Tratamientos de descontaminación

Para descontaminarse externamente, es conveniente que se elimine la radiación de las ropas (de ahí la necesidad de desprenderse de las ropas), de la piel (es conveniente ducharse en el caso de ser irradiado). Y, para descontaminarse internamente (por substancias radiactivas ingeridas o respiradas) de los contaminantes radiactivos [6], menor será el daño en el organismo. Para el caso de la contaminación interna, existen substancias (medicamentos) que facilitan la eliminación, por ejemplo: el ioduro potásico, el azúl de prusia, el pentaacetato de dietilentriamina (DTPA), y medicamentos como el Neupogen (r), que deben ser prescritos por un médico, teniendo en cuenta la gravedad, la naturaleza del accidente, y el tipo de contaminante radiactivo. $\diamond$

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Referencias:

  [1] C. Sánchez del Río et al., Física Cuántica, Pirámide, Madrid, 2008.
  [2] J. Dutreix et al., Física y biofísica: radiaciones, Editorial AC, Madrid, 1986.
  [3] M. Labajos, Iniciación al estudio de la Biofísica, Anaya, Madrid, 2005.
  [4] vv.aa., Dosímetros. Medición de la radiación absorbida: dispositivos personales empleados en protección radiológica. Wikipedia; [https://es.wikipedia.org/wiki/Dosímetro].
  [5] vv.aa., Contador Geiger-Müller. Detección de radiación ionizante, Wikipedia; [https://es.wikipedia.org/wiki/Tubo_Geiger-Müller].
  [6] vv.aa., Contaminación radiactiva. Contaminación externa e interna. Descontaminación., Wikipedia; [https://es.wikipedia.org/wiki/Contaminación_radiactiva].
  [7] vv.aa., Tabla periódica de los elementos, Wikipedia; [https://es.wikipedia.org/wiki/Tabla_periódica_de_los_elementos].

Razonamientos sobre la energía cinética de las cargas eléctricas en movimiento y el potencial eléctrico. Caso de un circuito de corriente continua

En el seno de un campo eléctrico, una carga testigo circula desde los puntos de mayor energía potencial (eléctrica) hacia los puntos de menor energía potencial. Veamos cómo justificar esta afirmación.

Consideremos un campo eléctrico y una pequeña carga testigo, que, en un principio se sitúa en un punto $A$. La carga testigo, viéndose sometida a la acción del campo eléctrico, se dirigirá a otro punto $B$, cambiando su estado de movimiento. Para ello, el sistema deberá aportar una energía (interna) $\Delta\,W$ que es igual a la variación de energía potencial de la carga testigo, $\Delta\,U$, entre los puntos $A$ y $B$. Por el principio de conservación de la energía, deberá cumplirse que $\Delta\,W+\Delta\,U=0 \,\therefore\, \Delta\,W=-\Delta\,U$. Por otra parte, la variación de energía potencial se traduce en la variación de energía cinética de dicha carga testigo, esto es, $\Delta\,W=\Delta\,T$, con lo cual se tiene $-\Delta\,U=\Delta\,T$, donde $\Delta\,T:=T_B-T_A$, en su camino desde el punto $A$ al punto $B$; y, como $T_B\gt T_A$ al ser mayor la velocidad de la carga testigo en el punto $B$ que en el punto $A$, es claro que $\Delta\,T\gt 0$, y por tanto, $-\Delta\,U\gt 0$, es decir, $\Delta\,U := U_B-U_A \lt 0\,\therefore\, U_A \gt U_B$. Nota: en el artículo usamos el Sistema Internacional de unidades.

Corriente eléctrica. Potencial eléctrico en un punto $A$, $V_A$. Diferencia de potencial eléctrico, $\Delta\,V_{BA}=V_B-V_A$, entre un punto $B$ y un punto $A$

Es bien sabido que, en un circuito eléctrico de corriente continua, los electrones (su carga eléctrica es negativa) libres, que son los portadores de carga eléctrica, circulan por el exterior del circuito impulsados por un generador —puede ser de diversos tipos: pilas, baterías, fuentes de alimentación (proporcionan corriente continua a partir de corriente alterna), células de combustible (reacción del hidrógeno con el oxígeno), células fotovoltaicas, etcétera— desde el borne negativo del generador eléctrico al borne positivo del mismo, dando lugar a una corriente eléctrica (de electrones). La velocidad media de los electrones en un conductor es del orden $1\,\dfrac{\text{mm}}{\text{s}}$; sin embargo, las señales eléctricas a través de un conductor viajan a velocidades del orden de la velocidad de la luz, y esa aparente contradicción se explica de la siguiente manera.

Acabamos de ver que toda carga eléctrica circula desde los puntos en los que su energía potencial (eléctrica) es mayor hacia los puntos en los que su energía potencial es menor. Se define ahora la diferencia de potencial eléctrico entre dos puntos de un circuito entre dos puntos $A$ y $B$ —suponemos aquí que la corriente va de $A$ a $B$—, como la variación de energía potencial eléctrica, $\Delta\,U_{BA}:=U_B-U_A$ proporcionada por el generador por unidad de carga eléctrica: $\Delta\,V:=\dfrac{\Delta\,U}{Q}$, donde $Q$ se mide culombios (C), esto es, $V_B-V_A:=\dfrac{1}{Q}\,(U_B-U_A)$, y tiene dimensiones de $\dfrac{\text{J}}{\text{C}}$, unidad a la que llamamos voltio (V). Pues bien, veremos a continuación, que dicha corriente eléctrica (corriente de electrones), lo hace de tal de modo que el potencial eléctrico (también llamado voltaje) en $A$, $V_A$, es menor que el potencial eléctrico (voltaje) en $B$, $V_B$. Usualmente, denominamos también caída de tensión eléctrica entre los puntos $B$ y $A$, y lo denotamos por $V_{BA}$.
    En efecto, hemos demostrado antes que $U_A-U_B\gt 0$, y por tanto $U_B-U_A\lt 0$; entonces, como $V_B-V_A\equiv\dfrac{U_B-U_A}{Q}\gt 0$ ya que $Q\lt 0$ (recordemos que estamos hablando de una corriente de electrones), por consiguiente $V_B \gt V_A$; y, como los electrones viajan desde el borne negativo al borne positivo del generador, se deduce de ello que el potencial eléctrico en el borne negativo del generador es menor que el del borne positivo del mismo, $V_{+} \gt V_{-}$.

Fuerza electromotriz (f.e.m.), $\mathcal{E}$, de un generador eléctrico

El generador eléctrico impulsa a los electrones por el circuito exterior, transfiriéndoles energía. Se denomina fuerza electromotriz de dicho generador a la cantidad de energía que suministra por unidad de carga eléctrica, esto es, como $\mathcal{E}:=\dfrac{W}{Q}$, donde $Q$ designa la cantidad de carga eléctrica, y se expresa en culombios (C). Nótese que, dimensionalmente, $[ \mathcal{E}]=[W/Q]=J/C=V$.

1. Circuito de c.c. compuesto de un generador y una resistencia externa conectados en serie

La corriente de electrones que circula por el circuito exterior del generador, atraviesa una resistencia ohmica $R$; además, debe haber también un movimiento de cargas eléctricas dentro del propio generador, entre el ánodo (+) y el cátodo (-), por lo que éste tiene también una resistencia ohmica, que designaremos por $r$, y que, a efectos de cálculo, la consideramos dispuesta en serie con la resistencia $R$. Entonces, en un incremento $\Delta\,t$, el generador, al mover una cantidad de carga $\Delta\,Q$, proporciona una cantidad de energía $\Delta\,W=\Delta\,Q\cdot\mathcal{E} \quad (1)$, lo cual viene de la definición $\mathcal{E}:=\dfrac{W}{Q}$. Por otra parte, podemos escribir que $\Delta\,Q=I\,\Delta\,t$, donde $I$ denota la intensidad de corriente, que se expresa en amperios (A): $[I]=\left[\dfrac{Q}{\Delta\,t}\right]=\text{C}/\text{s}=\text{A}$, por tanto, (1) nos queda $\Delta\,W=I\cdot \mathcal{E}\,\Delta\,t$. Y como las resistencias ohmicas disipan energía por medio de calor, dicha energía disipada es igual a $\Delta\,W_{\text{disipada}}=-(R+r)\,I^2\,\Delta\,t$; y, por el teorema de conservación de la energía: $\Delta\,W+\Delta\,W_{\text{disipada}}=0$, esto es $I\cdot \mathcal{E}\cdot \Delta\,t+(-(R+r)\,I^2\,\Delta\,t)=0\,\therefore\, \mathcal{E}=(R+r)\,I \Rightarrow I=\dfrac{\mathcal{E}}{R+r}$

Caída de tensión entre los extremos $L$ y $M$ de una resistenca externa $R$. Intensidad de corriente.

Para la resistencia $R$ (resistencia de carga del circuito), es evidente, que al ir la corriente de $L$ hacia $M$, se tiene que $V_{ML}\equiv V_M-V_L \lt \mathcal{E}\equiv V_{+}-V_{-}$. Como la intensidad de corriente que atraviesa $R$ es $I=\dfrac{\mathcal{E}}{R+r}$, la caída de tensión en $R$ es $$V_{ML}=I\,R=\dfrac{\mathcal{E}}{R+r}\,R \quad \quad (1)$$

Rendimiento de un generador al conectar (únicamente) una resistencia externa al circuito

La resistencia $R$ —la resistencia de carga del circuito, o resistencia externa se considera un receptor, que convierte energía eléctrica en calor; hay otros tipos de receptores: motores, células electroquímicas, zumbadores, lumínicos, etcétera—, es el elemento en el que nos centraremos para calcular el rendimiento del generador —veámosla como la resistencia de un calentador eléctrico—. Se define el rendimiento del generador como el cociente de energías, $\mu_{\text{generador}}:=\dfrac{P_{\text{útil}}}{P_{\text{entregada por el generador}}}$ ($P$ indica cantidad de energía por unidad de tiempo, potencia). En nuestro caso, la potencia útil corresponde aproximadamente —suponemos que $R$ es considerablemente mayor que $r$— a la disipación por calor en la resistencia de carga $R$, luego $P_{\text{útil}}=R\,I^2$, y $P_{\text{entregada por el generador}}=\mathcal{E}\,I$. Por consiguiente, $$\mu_{\text{generador}}=\dfrac{R\,I^2}{\mathcal{E}\,I}=\dfrac{R\,I}{\mathcal{E}}=\dfrac{V_{ML}}{\mathcal{E}}\overset{\text{por}\,(1)}{=}\dfrac{R}{R+r}$$

2. Circuito de c.c. compuesto por un generador, una resistencia externa y un motor eléctrico, conectados en serie

Fuerza contraelectromotriz de un motor, intensidad de corriente que circula, caída de tensión entre los bornes de un motor, rendimiento del motor, y rendimiento del generador

Otro tipo de receptor de corriente es el motor eléctrico, el cual convierte la la energía la suministrada por el generador en energía mecánica y, también, en calor (por efecto disipativo de los elementos que lo componen). Caracterizaremos un motor mediante una fuerza contraelectromotriz $\mathcal{E}'$, que se define como la energía eléctrica empleada por el motor por unidad de carga eléctrica, y una resistencia ohmica de resitencia $r'$, que disipa energía en forma de calor.

La intensidad de corriente, $I$, que circula por el circuito la podemos calcular de la siguiente manera. Como la potencia entregada por el generador es igual a $\mathcal{E}\,I$, ésta deberá ser igual a la suma de la potencial mecánica que entrega el motor y la energía disipada en forma de calor por las resistencias ohimicas $R$ (externa), $r$ (r. interna del generador) y $r'$ (r. ohmica del motor), luego por el principio de conservación de la enrgía: $$\mathcal{E}\,I=\mathcal{E}'\,I+(R+r+r')\,I^2\,\therefore\,I=\dfrac{\mathcal{E}-\mathcal{E}'}{R+r+r'}\quad \quad (2)$$

Calculemos ahora la caída de tensión entre los bornes del motor, $\Delta\,V_{\text{bornes del motor}}$, bornes que designamos, para mayor comprensión, por $M$ y $N$ —conectamos el motor a la derecha de la resistencia externa— (la corriente de electrones libres va de $M$ a $N$). Para calcular $\Delta\,V_{\text{bornes del motor}}=V_{NM}$ —recordemos, por cierto, la notación: $V_{NM}\equiv V_N-V_M$—, hay que tener en cuenta también la resistencia interna del motor, a través de la cual disipa parte de la energía que le llega en forma de calor. Como la potencia eléctrica entregada al motor (entre sus bornes), $V_{NM}\cdot I$, ha de ser igual a la transformación de la misma en: a) energía mecánica $\mathcal{E}'\cdot I$, y b) energía disipada por efecto Joule (calor) en la resistencia interna del mismo, $r'\,I^2$, podemos escribir: $$V_{NM}\cdot I=\mathcal{E}'\cdot I+ r'\, I^2\,\therefore\,\Delta\,V_{\text{bornes del motor}}=\mathcal{E}'+r'\,I\overset{\text{por}\,(2)}{=}\dfrac{\mathcal{E}'\cdot (R+r+r')}{\mathcal{E}'\cdot (R+r)+\mathcal{E}\,r'}$$

Finalmente, calculemos el rendimiento del motor. Como la potencia útil (mecánica) es $P_{\text{mecánica útil}}=I\,\mathcal{E}'$; y, por otra parte, la potencia disipada en él ha de ser igual a la caída de tensión entre sus bornes por la intensidad que pasa por él, se tiene que $\mu_{\text{motor}}=\dfrac{I\cdot \mathcal{E}'}{I\cdot \Delta\,V_{\text{bornes del motor}}}=\dfrac{\mathcal{E}'}{\Delta\,V_{\text{bornes del motor}}}=\dfrac{\mathcal{E}'}{\mathcal{E}'+r'\,I}$.

En cuanto al rendimiento del generador, $\mu_{\text{generador}}$, habría ahora que recalcularlo, siguiendo los mismos razonamientos que habíamos hecho en la sección anterior, pero teniendo en cuenta también el añadido del elemento motor, y podemos comprobar fácilmente que, ahora, es $$\mu_{\text{generador}}=\dfrac{R}{R+r+r'}\,\left(1-\dfrac{\mathcal{E}'}{\mathcal{E}}\right)$$

3. Circuito de c.c. compuesto por un generador, una resistencia externa y un celda electroquímica (c.e.), conectados en serie

Fuerza contraelectromotriz de una c.e., intensidad de corriente que circula, caída de tensión entre los bornes de la c.e., rendimiento de la c.e., y rendimiento del generador

Una celda electroquímica es un tipo de receptor de corriente que convierte la energía la energía eléctrica en energía química —un buen ejemplo es la carga de una batería mediante un generador—. Como en todo receptor, habrá una pérdida de energía en forma de calor (por efecto disipativo de los elementos que lo componen dicho dispositivo). Caracterizaremos una celda electroquímica mediante una fuerza contraelectromotriz $\mathcal{E}^{''}$, que se define como la energía eléctrica empleada por la c.e. por unidad de carga eléctrica, y una resistencia ohmica de resitencia $r''$ ohmica, que disipa energía en forma de calor. Hay que tener en cuenta que es importante respetar la polaridad de la celda: el ánodo debe ir conectado al borne positivo del generador, y el cátodo al borne negativo.

De manera análoga, repitiendo los pasos de la sección anterior, podemos comprobar fácilmente que la intensidad de corriente, $I$, que circula por el circuito es $$I=\dfrac{\mathcal{E}-\mathcal{E}''}{R+r+r''}$$ siendo la caída de tensión entre los bornes de la c.e.: $$\Delta\,V_{\text{c.e.}}=\mathcal{E}''+r''\cdot I$$ El rendimiento de la c.e. —pensando en términos análogos a los de las secciones anteriores— podemos entenderlo como el cociente entre diferencia de potencial entre el ánodo y el cátodo de la celda, $\Delta\,V_{AK}$, y la fuerza electromotriz $\mathcal{E}$ del generador.

Cálculo de la intensidad que circula por un circuito formado por la asociación en serie de más de un receptor, de más de un generador, y por una resistencia de carga $R$ (externa)

De todo lo dicho anteriormente en cuanto al cálculo de la intensidad de corriente, fácilmente podemos hacer la siguiente generalización, para el caso de tener $\mathcal{E}_i$ ($i=1,\ldots,n$) generadores (con sus respectivas resistencias internas, $r_i$), $\mathcal{E}_{j}^{'}$ ($j=1,\ldots,m$) receptores (con sus respectivas resistencias internas, $r_{j}^{'}$), y una resistencia $R$ (que puede también considerarse como otro recptor): $$I=\dfrac{\displaystyle \sum_{i=1}^{n}\,\mathcal{E}_{i} -\displaystyle \sum_{j=1}^{m}\,\mathcal{E}_{j}^{'} }{\displaystyle \sum_{i=1}^{n}\,r_{i}+\displaystyle \sum_{j=1}^{m}\,r_{j}^{'}+R}$$ El rendimiento del generador y de los receptores se calculan siguiendo los mismos razonamientos que los descritos para los casos de circuitos sencillos (con un sólo receptor y un sólo generador) pero teniendo en cuenta, desde luego, las asociaciones.

Observación: Los generadores conectados con la polaridad invertida con respecto a la establecida podemos considerarlos con fuerza electromotriz negativa. Esto es fácil de comprender si atendemos al hecho de que un circuito con dos generadores con polaridad inversa uno con respecto al otro equivale a tener efecto nulo a la hora de crear una corriente eléctrica, pues el campo eléctrico en el conductor es nulo, resultado de sumar los campos correspondiente a sendos gneradores: son de igual módulo pero de signo opuesto.

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Referencias:

  [1] S. Serra; M. Armengol; J. Mercadé, Física de Batxillerat; tomo I. McGraw-Hill, Madrid, 2008.
  [2] J. Fernández; M. Pujal, Iniciación a la Física; tomo II. Reverté, Barcelona, 1991.
  [3] vv.aa., Sistema Internacional de Unidades, Wikipedia [https://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_Internacional_de_Unidades]

Estudio de la máquina doble de Atwood

En los artículos de los enlaces (archivos PDF) he realizado el ejercicio de análisis de este sistema (masas de las poleas despreciables, al igual que la masa de las dos cuerdas) mediante dos procedimientos: (a) aplicando las ecuaciones de Newton tal cual a cada subsistema, y (b) empleando el formalismo de Lagrange. Los resultados son, obviamente, los mismos; sin embargo, siempre es interesante y educativo resolver un mismo problema desde varios enfoques:

1. Planteando las ecuaciones de Newton en cada subsistema
2. Empleando el formalismo de Lagrange
3. Empleando el formalismo de Hamilton

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Referencias:

  [1] J.B. Marion, Mecánica clásica de las partículas y sistemas, Reverté, Barcelona, 1998.
  [2] H. Goldstein, Mecánica clásica, Reverté, Barcelona, 1990.

Aplicación del formalismo hamiltoniano a una máquina de Atwood simple

En otro artículo del blog he expuesto la aplicación del formalismo lagrangiano a la máquina de Atwood. Recordemos una vez más que la máquina de Atwood consiste en dos masas, $m_1$ y $m_2$ unidas por una cuerda inelástica (de longitud $\ell$) y de masa despreciable que pasa por una polea ideal (de masa también despreciable) —ésta, por tanto, no gira (la cuerda desliza, sin rozamiento, por la ranura de la misma—. En este artículo voy a exponer como se aplica el formalismo hamiltoniano a este mismo sistema holónomo, encontrando así la ecuación del movimiento (ya conocida, aplicando Lagrange o bien, simplemente, las ecuaciones de Newton).

Figura 1

El sistema de referencia se coloca en la línea horizontal que pasa por el centro de la polea —en la figura 1 se muestran las coordenadas de posición de sendas masas en un instante arbitrario—; como $x_1+x_2=\ell$ (constante), se tiene que $\dot{x}_1+\dot{x}_2=0$, luego $\dot{x}\equiv \dot{x}_1=-\dot{x}_2$

Como el sistema es conservativo, hemos visto que la función lagrangiana podemos escribirla de la forma: $\mathcal{L}:=T-U$, donde $T$ es la energía cinética, y por tanto, $T=\dfrac{1}{2}\,m_1\,\dot{x}_{1}^{2}+\dfrac{1}{2}\,m_1\,\dot{x}_{2}^{2}=\dfrac{1}{2}\,m_1\,\dot{x}^{2}+\dfrac{1}{2}\,m_1\,(-\dot{x})^{2}=\dfrac{1}{2}\,(m_1+m_2)\,\dot{x}^2$
y $U$ es la energía potencial, luego, $U=-m_1\,g\,x_1-m_2\,g\,x_2=-m_1\,g\,x_1-m_2\,g\,(\ell-x_1)=-(m_1-m_2)\,g\,x-m_2\,g\,\ell$.

Construyamos la función hamiltoniana, que dependerá de la coordenada generalizada $q\equiv x$ y del correspondiente momento generalizado $p\equiv p_x:=m\,\dot{x}$. Así:
$\mathcal{H}(x,p_x)=T+U=$
          $=\dfrac{1}{2}\,(m_1+m_2)\,\dot{x}^2-(m_1-m_2)\,g\,x-m_2\,g\,\ell$
              $\overset{\text{aclaración (1)}}{=}\dfrac{p_{x}^2}{2\,(m_1+m_2)}-(m_1-m_2)\,g\,x-m_2\,g\,\ell \quad \quad (2)$

--- Aclaración (1): De la función lagrangiana
  $\mathcal{L}(x,\dot{x}):=\dfrac{1}{2}\,(m_1+m_2)\,\dot{x}^2-\left(-(m_1-m_2)\,g\,x-m_2\,g\,\ell\right)$     $=\dfrac{1}{2}\,(m_1+m_2)\,\dot{x}^2+(m_1-m_2)\,g\,x+m_2\,g\,\ell$, obtenemos el momento generalizado $p_x$; en efecto, a partir de $$p_x=\dfrac{\partial\,\mathcal{L}}{\partial\,\dot{x}}=(m_1+m_2)\,\dot{x}$$ se deduce que $$\dot{x}=\dfrac{p_x}{m_1+m_2} $$ De esta manera, podemos expresar la función hamiltoniana $\mathcal{H}$, que en un principio la habíamos escrito en función de $x$ y $\dot{x}$, en función de $x$ y $p_x$ (2), como debe ser. ---

Ahora escribamos las ecuaciones de Hamilton:
$$\left\{\begin{matrix}-\dfrac{\partial\,\mathcal{H}}{\partial\,x}=\dot{p}_x & \quad \quad (3)\\ \dfrac{\partial\,\mathcal{H}}{\partial\,p_x}=\dot{x} & \quad \quad (4) \end{matrix}\right.$$ y teniendo en cuenta la expresión (2) $$\left\{\begin{matrix}(m_1-m_2)\,g=\dot{p}_x & \quad \quad (3')\\ \dfrac{p_x}{m_1+m_2}=\dot{x} & \quad \quad (4') \end{matrix}\right.$$ De (4') vemos que $\dot{p}_x=(m_1+m_2)\,\dot{x}$ —que también se ha obtenido a partir de la función lagrangiana [aclaración (1)]—; sustituyendo esto en (3'), llegamos a $(m_1-m_2)\,g=(m_1+m_2)\,\ddot{x}$, esto es, $\ddot{x}=\dfrac{m_1-m_2}{m_1+m_2}\,g$ (resultado obtenido ya por otros procedimientos en otros artículos).

Con las condiciones iniciales del movimiento, $\{x(t=0)=x_0\,\dot{x}(t=0)=v_0\}$, podemos integrar fácilmente la ecuación (2), obteniendo $\dot{x}(t)=v_0+\dfrac{m_1-m_2}{m_1+m_2}\,g\,t$; y, de ésta,$$x(t)=x_0+v_0\,t+\dfrac{1}{2}\,\dfrac{m_1-m_2}{m_1+m_2}\,g\,t^2$$ $\diamond$

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Referencias:

  [1] K.R. Symon, Mecánica, Aguilar, Madrid, 1977.
  [2] M.R. Spiegel, Mecánica teórica, McGraw-Hill, Mexico, 1976.