Escalas logarítmicas

Además de las utilidades de los logaritmos en el análisis matemático y el cálculo algebraico y numérico, el empleo de los mismos tiene una gran relevancia a la hora de expresar y representar las cantidades que toman ciertas magnitudes; éstas pueden ser, a veces, muy grandes o muy pequeñas, y, a efectos de manipular dichos valores, no basta con el empleo de la notación científica; por ello, una de las ventajas de las escalas logarítmicas es el poder expresar los valores de dichas magnitudes con números que no son ni muy pequeños ni muy grandes, sino números cómodamente manejables. Además, la percepción de nuestros sentidos de ciertas magnitudes se demuestra mucho más eficiente según la describimos mediante escalas logarítmicas (percepción del sonido, o de la luminosidad, por ejemplo).

Estos siete ejemplos que he elegido son: i) las escalas logarítmicas de la graduación de los ejes de coordenadas en las representaciones gráficas que se emplean habitualmente para describir la dependencia entre dos variables que adoptan valores respectivos mucho más grandes/pequeños una con respecto de la otra; ii) la escala sismológica de Richter; iii) la escala de acidez o de pH; iv) las escalas de magnitudes relativas en la magnitud de la observación de los cuerpos celestes (no incluyen la dependencia de la distancia al observador); v) las escalas de magnitudes absolutas de los mismos (incluyen la dependencia de la distancia al observador); vi) en general, el uso de logaritmos para dos cantidades de la misma magnitud en la entrada y salida de un sistema (decibelios), que tanto se emplea en electrónica y telecomunicaciones; y, en particular, vii) en audición. Los siete los tenéis referenciados a continuación:

  [1] vv.aa., Escalas logarítmicas, Wikipedia [https://es.wikipedia.org/wiki/Escala_logarítmica], 2022.
  [2] vv.aa., La escala sismológica de Richter, Wikipedia [https://es.wikipedia.org/wiki/Escala_sismológica_de_Richter], 2022.
  [3] vv.aa., La escala de pH, Wikipedia [https://es.wikipedia.org/wiki/PH], 2022.
  [4] vv.aa., Magnitud estelar aparente, Wikipedia [https://es.wikipedia.org/wiki/Magnitud_aparente], 2022.
  [5] vv.aa., Magnitud estelar absoluta, Wikipedia [https://es.wikipedia.org/wiki/Magnitud_absoluta], 2022.
  [6] vv.aa., Decibelio, Wikipedia [https://es.wikipedia.org/wiki/Decibelio], 2022.
  [7] vv.aa., Sonoridad, Wikipedia [https://es.wikipedia.org/wiki/Sonoridad_(sicoacústica) ], 2022.

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Carga y descarga de un condensador

En este artículo expongo un estudio de los procesos de carga, mediante una pila de f.e.m $\mathcal{E}$ y resistencia interna $r'$, además de una resistencia $r$ conectada en serie con el condensador. Trataré también, el proceso de descarga de dicho condensador, una vez cargado. Como veremos, los valores de la resistencia de carga, $r$, de la resistencia interna de la pila, $r'$, así como el valor de la capacidad, $C$, del condensador determinan el tiempo necesario para su carga y el perfil de las curvas exponenciales (carga del condensador, diferencia de potencial entre las placas del condensador, intensidad de corriente, y energía potencial eléctrica almacenada) que regulan este proceso. En el proceso de descarga, al desconectar la pila (con la que se ha cargado previamente el condensador) ya no interviene la resistencia interna de la misma, y, por tanto, es el valor de la resistencia, $r$ (en la que se disipa la energía del condensador al irle suministrando su carga eléctrica) y el valor de la capacidad del mismo los que determina el tiempo y el perfil de las curvas de descarga. El diseño del circuito de descarga es interesante como temporizador analógico. Es importante entender bien estos procesos, y las matemáticas ayudan mucho a ello. Juegan un papel muy importante lo que denominamos constante de tiempo (en carga o en la descarga), que es el producto de la resistencia por la capacidad del condensador (cantidad que, como su nombre sugiere, tiene dimensiones de tiempo). Antes de empezar me gustaría hacer otro comentario que me parece también muy interesante: añadiendo una bobina (asunto que no trataré aquí) en el circuito de descarga del condensador conseguiríamos un circuito oscilante en el que la energía se transfiere alternativamente del campo eléctrico al magnético y viceversa.

1. Carga del condensador

Consideremos un condensador de capacidad $C$ descargado. Nos disponemos a cargar el condensador, conectándolo en serie con una resistencia $r$ y alimentando el circuito con una pila de f.e.m $\mathcal{E}$ y resistencia interna $r'$. Por la conexión en serie, podemos operar con la resistencia quivalente $R=r+r'$. Así, la diferencia de potencial eléctrico $V(t)$ entre las placas del condensador en el el instante de tiempo $t$ es tal que $\mathcal{E}=R\,i(t)+V(t)$ (ley de Ohm), luego la intensidad de corriente de carga en el instante $t$ es $i(t):=\dfrac{dq(t)}{dt}=\dfrac{\mathcal{E}-V(t)}{R}$, siendo $q(t)$ es la carga del condensador en el instante $t$; y, como $V(t)=\dfrac{q(t)}{C}$, el proceso de carga vendrá descrito por la siguiente ecuación diferencial ordinaria $$\dfrac{\mathcal{E}-q(t)/C}{R}=\dfrac{dq(t)}{dt}$$ es decir $$\dfrac{dq(t)}{C\,\mathcal{E}-q(t)}=\dfrac{dt}{R\,C}$$ Procedamos a integrarla: $$\int\,\dfrac{dq(t)}{C\,\mathcal{E}-q(t)}=\int\,\dfrac{dt}{R\,C}$$ $$-\ln\,(C\,\mathcal{E}-q(t))=\dfrac{t}{R\,C}+K \quad (1)$$ donde $K$ es la constante de integración, que determinamos imponiendo la condición inicial $q(0)=0$; así, $-\ln\,(C\,\mathcal{E}-0)=\dfrac{0}{R\,C}+K$, luego $K=-\ln\,(C\,\mathcal{E})$. Sustituyendo esto en (1), $$-\ln\,(C\,\mathcal{E}-q(t))=\dfrac{t}{R\,C}-\ln\,(C\,\mathcal{E})$$ esto es $\ln\,(C\,\mathcal{E}-q(t))=-\dfrac{t}{R\,C}+\ln\,(C\,\mathcal{E})$ y por tanto $\ln\,(C\,\mathcal{E}-q(t))-\ln\,(C\,\mathcal{E})=-\dfrac{t}{R\,C}$, que podemos expresar de la forma $\displaystyle \ln\,\left(\dfrac{C\,\mathcal{E}-q(t)}{C\,\mathcal{E}}\right)=-\dfrac{t}{R\,C}$, luego $\displaystyle \dfrac{C\,\mathcal{E}-q(t)}{C\,\mathcal{E}}=e^{-\dfrac{t}{R\,C}}$, es decir, $\displaystyle C\,\mathcal{E}-q(t)=C\,\mathcal{E}\,e^{-\dfrac{t}{R\,C}}$ y por tanto $\displaystyle q(t)=C\,\mathcal{E}-C\,\mathcal{E}\,e^{-\dfrac{t}{R\,C}}$. Es decir, la carga en las placas del condensador evoluciona (con respecto al tiempo) de la siguiente manera: $$\displaystyle q(t)=C\,\mathcal{E}\cdot \left(1-e^{-\dfrac{t}{R\,C}}\right) \quad (2)$$

Observemos que $[RC]=T$, razón por la cual denominamos a $\tau:=RC$ constante de tiempo, con el siguiente significado: si $t=\tau$, entonces la carga que almacena el condensar hasta este instante de tiempo es $$\displaystyle q(\tau)=C\,\mathcal{E}\,\left(1-e^{-1}\right)\approx 0.63\cdot (C\,\mathcal{E})$$ y como $C\,\mathcal{E}$ es la carga máxima, $q_{\text{máx}}$, que puede almacenarse, podemos afirmar que el condensador almacena el $63\,\%$ de su carga máxima cuando el proceso de carga se encuentra en el instante $t=\tau$, esto es $\dfrac{q(\tau)}{q_{máx}} \approx 0.63$.

Ahora, también podemos escribir (2) haciendo aparecer en ella la constante de tiempo, $\tau$, y la carga máxima que puede almacenar el condensador, $q_{\text{máx}}=C\,\mathcal{E}$: $$\displaystyle q(t)=q_{\text{máx}}\cdot \left(1-e^{-\dfrac{t}{\tau}}\right) \quad (3)$$ Observación: nótese que en $t=s$, $q(0)=0$, como debe ser.

Ahora, podemos calcular el tiempo necesario para cargar un determinado tanto por ciento de la carga máxima del condensador; así, por ejemplo, calculemos el tiempo necesario para cargar el condensador al $99\,\%$. De la ecuación (3), con este tanto por ciento se tiene que $0.99\cdot q_{\text{máx}}=q_{\text{máx}}\cdot \left(1-e^{-\dfrac{t}{\tau}}\right)$ —recordemos que $q_{\text{máx}}=\mathcal{E}\cdot C$— y por tanto, despejando $t$, $$t=\tau\cdot \ln\,(1-0,99) \approx 4,6\,\tau$$

Derivando la expresión de la carga (3) con respecto del tiempo, encontramos cómo varía la intensidad de corriente de carga: $$\displaystyle i(t):=\dfrac{q(t)}{dt}=\dfrac{q_{\text{máx}}}{\tau}\,e^{-\dfrac{t}{\tau}} \quad (4)$$ Nótese que la intensidad máxima se da en $t=0$; y, como se puede intuir, es igual a $i_{\text{máx}}=\dfrac{\mathcal{E}}{R}$. En efecto, $$i_{\text{máx}}= \dfrac{q_{\text{máx}}}{\tau}\,e^{-\dfrac{0}{\tau}}=\dfrac{q_{\text{máx}}}{\tau}\cdot 1 = \dfrac{q_{\text{máx}}}{\tau}=\dfrac{q_{\text{máx}}}{R\,C}=\dfrac{1}{R}\cdot \dfrac{q_{\text{máx}}}{C}= \dfrac{1}{R}\cdot \mathcal{E}=\dfrac{\mathcal{E}}{R}$$

La diferencia de potencial entre las placas del condensador en función del tiempo, de acuerdo con la ley de Ohm, viende dada por: $$\displaystyle V(t)=\mathcal{E}-R\,i(t)=\mathcal{E}-R\cdot \dfrac{q_{\text{máx}}}{\tau}\,e^{-\dfrac{t}{\tau}}\overset{\tau=RC}{=}\,\mathcal{E}\,\left( 1-e^{\dfrac{t}{\tau}}\right) \quad (5)$$ Nótese que la diferencia de potencial entre las placas del condensador mínima, esto es $0$, se da cuando $t=0$ (al inicio del proceso de carga); y, como debe ser, es igual a $\mathcal{E}$. En efecto, $$V_{\text{mín}}=\mathcal{E}\,\left( 1-e^{\dfrac{0}{\tau}}\right)=\mathcal{E}\,(1-1)=0$$ Por otra parte, la d.d.p (entre las placas del condensador) és máxima, y por tanto igual a $\mathcal{E}$, al final del proceso de carga; en efecto, $$V_{\text{máx}}=\displaystyle \lim_{t \to\, +\infty}\,V(t)=\lim_{t \to\, +\infty}\,\mathcal{E}\,\left( 1-e^{\dfrac{t}{\tau}}\right)=\mathcal{E}\cdot (1-0)=\mathcal{E}$$

La energía almacenada en el condensador en el instante $t$ durante el proceso de carga se calcula teniendo en cuenta que la diferencia de potencial (d.d.p) entre las placas del condensador en un instante de tiempo $t$ viene dada por $V(t):=\dfrac{dE(t)}{dq(t)}$, y por tanto $$dE(t)=V(t)\,dq(t)$$ Diferenciando la expresión (2), vemos que $dq(t)=i(t)\,dt=\dfrac{\mathcal{E}\,C}{\tau}\, e^{-\dfrac{t}{\tau}}\,dt=\dfrac{\mathcal{E}}{R}\, e^{-\dfrac{t}{\tau}}\,dt$.

Entonces, $dE(t)=V(t)\,dq(t) = \mathcal{E}\,\left( 1-e^{\dfrac{t}{\tau}}\right) \cdot \dfrac{\mathcal{E}}{R}\, e^{-\dfrac{t}{\tau}}\,dt = \dfrac{\mathcal{E}^{2}}{R}\,\left( e^{-\dfrac{t}{\tau}} - e^{-\dfrac{2t}{\tau}} \right)\,dt$, con lo que, integrando en ambos miembros,
$$\displaystyle E(t)= \dfrac{\mathcal{E}^{2}}{R}\,\int\,( e^{-\dfrac{t}{\tau}} - e^{-\dfrac{2t}{\tau}})\,dt+K=\dfrac{\mathcal{E}^{2}}{R}\,\left(-\tau\,e^{-\dfrac{t}{\tau}}+\dfrac{\tau}{2}\,e^{-\dfrac{2t}{\tau}}\right)+K=$$ $$\overset{\tau=RC}{=} \dfrac{\mathcal{E}^{2}\,C}{2}\,\left( -2\,e^{-\,\dfrac{t}{\tau}}+e^{-\dfrac{2t}{\tau}} \right)+K$$ Para poder determinar la constante de integración, imponemos la condición inicial $E(0)=0$, por lo que $0 =\dfrac{\mathcal{E}^{2}\,C}{2}\,\left( -2\,e^{-\,\dfrac{0}{\tau}}+e^{-\dfrac{2\cdot 0}{\tau}} \right)+K$, esto es, $0=\dfrac{\mathcal{E}^{2}\,C}{2}\,(-2\cdot e^0+e^0)+K=\dfrac{\mathcal{E}^{2}\,C}{2}\,(-2\cdot 1 +1)+C=-\dfrac{\mathcal{E}^{2}\,C}{2}+K$, luego $K=\dfrac{\mathcal{E}^{2}\,C}{2}$, y por tanto, sustituyendo la constante por su valor: $$\displaystyle E(t)= \dfrac{\mathcal{E}^{2}\,C}{2}\,\left(e^{-\dfrac{2t}{\tau}} -2\,e^{-\,\dfrac{t}{\tau}} \right)+\dfrac{\mathcal{E}^{2}\,C}{2}=\dfrac{\mathcal{E}^{2}\,C}{2}\,\left( e^{-\dfrac{2t}{\tau}} - 2\,e^{-\dfrac{t}{\tau}} +1\right)$$

La energía potencial eléctrica máxima que adquiere el condensador corresponde al final del proceso de carga, esto es $$\displaystyle E_{\text{máx}}=\lim_{t \to\, +\infty}\,E(t)= \lim_{t \to\, +\infty}\,\dfrac{\mathcal{E}^{2}\,C}{2}\,\left( e^{-\dfrac{2t}{\tau}} - 2\,e^{-\dfrac{t}{\tau}} +1\right) = \dfrac{\mathcal{E}^{2}\,C}{2}\,\lim_{t \to\, +\infty}\,\left( e^{-\dfrac{2t}{\tau}} - 2\,e^{-\dfrac{t}{\tau}} +1\right)=$$ $$=\dfrac{\mathcal{E}^{2}\,C}{2}\,\left( e^{-\infty} - 2\,e^{-\infty} +1\right)=\dfrac{\mathcal{E}^{2}\,C}{2}\,(0+0+1)=\dfrac{\mathcal{E}^{2}\,C}{2}$$

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2. Descarga del condensador, una vez completamente cargado

Una vez cargado el condensador, $C$, vamos a imaginar que iniciamos el proceso de descarga. Para ello, desconectamos la fuente de alimentación, y cerramos el circuito resultante formado por la resistencia, $r$, y el condensador (cargado con la carga $q_{\text{máx}}$). A través de la resistencia $r$ se disipará la energía potencial eléctrica almacenada en el condensador. Procedamos a describir este proceso.

En el proceso de descarga, se tiene que $i(t)=-\dfrac{dq(t)}{dt}$; y, por la ley de Ohm, podemos escribir $\dfrac{dq(t)}{dt} \propto V(t)$. Teniendo en cuenta, además, que la diferencia de potencial entre las placas del condensador es igual a $V(t)=\dfrac{q(t)}{C}$ y la ley de Ohm, $$\dfrac{dq(t)}{dt}=-\dfrac{1}{r}\cdot \dfrac{q(t)}{C}$$

Ecuación diferencial que podemos escribir separando las variables, $$\dfrac{dq(t)}{q(t)}=-\dfrac{1}{rC}\,dt$$ y podemos integrar fácilmente $$\int\,\dfrac{dq(t)}{q(t)}=\int\,-\dfrac{1}{rC}\,dt$$ $$\ln\,q(t)=-\dfrac{1}{rC}\,t+K'$$ Para determinar la constante de integración, $K'$, imponemos la condición inicial $q(0)=q_{\text{máx}}=\mathcal{E}\,C$ (recordemos que $R=r+r'$, siendo $\mathcal{E}$ la f.e.m de la fuente de alimentación con la que, previamente, se ha cargado, y $r'$ su correspondiente resistencia interna. Entonces, $\ln\,q(0)=-\dfrac{1}{rC}\cdot 0 +K'$ y por tanto $K'=\ln\,q_{\text{máx}}=\ln\,(\mathcal{E}\,C)$, con lo cual, llegamos a $$\ln\,q(t)=-\dfrac{1}{rC}\,t+\ln\,(\mathcal{E}\,C)$$ esto es $$\ln\,q(t)-\ln\,(\mathcal{E}\,C)=-\dfrac{1}{rC}\,t$$ que podemos expresar de la forma $$\ln\,\dfrac{q(t)}{\mathcal{E}\,C}=-\dfrac{1}{rC}\,t$$ con lo cual vemos que la variación de la carga del condensador evoluciona (yendo a menos, claro) de la forma: $$\displaystyle q(t)=\mathcal{E}\,C\, e^{-\dfrac{1}{rC}\,t}$$ o lo que es lo mismo, $$\displaystyle q(t)=q_{\text{máx}}\, e^{-\dfrac{1}{rC}\,t}$$ Teniendo en cuenta que las dimensiones de $rC$ son de tiempo ($[rC]=T$), entendemos esta cantidad como la constante de tiempo en la descarga: $\tau':=rC$ y, por tanto, también podemos escribir que $$\displaystyle q(t)=q_{\text{máx}}\, e^{-\dfrac{1}{\tau'}\,t} \quad (6)$$ Nota: Si $r'\ll r$, entonces $\tau' \approx \tau$ (constante de tiempo en el proceso de carga) y por tanto, $$\displaystyle q(t)\approx q_{\text{máx}}\, e^{-\dfrac{1}{\tau}\,t}$$

El significado que podemos dar a la constante de tiempo de descarga del condensador, $\tau'$, es el siguiente: en el instante $t=\tau'$, la carga almacenada en el condensador es aproximadamente igual al $37\,\%$ de la carga máxima (la que tenía el condensador al haberlo cargado completamente); en efecto, $\displaystyle q(\tau')=q_{\text{máx}}\, e^{-\dfrac{\tau'}{\tau'}\,t}=q_{\text{máx}}\, e^{-1}=\dfrac{q_{\text{máx}}}{e}\approx 0.37\cdot q_{\text{máx}}=0.37\cdot C\,\mathcal{E}$

Derivando la expresión de la carga (6) con respecto del tiempo, encontramos cómo varía la intensidad de corriente de descarga: $$\displaystyle i(t)\overset{\text{descarga}}{:=}-\dfrac{q(t)}{dt}=\dfrac{q_{\text{máx}}}{\tau'}\,e^{-\dfrac{t}{\tau'}}=\dfrac{\mathcal{E}}{r}\,e^{-\dfrac{t}{\tau'}} \quad (7)$$ Nota: La intensidad máxima se da en el instante en que se inicia la descarga ($t=0$), $i_{\text{máx}}=\dfrac{\mathcal{E}}{r}\,e^{0}=\dfrac{\mathcal{E}}{r}\cdot 1=\dfrac{\mathcal{E}}{r}$, como cabía esperar.

Y, por la ley de Ohm, multiplicando por $r$ la expresión (7), llegamos a la expresión de la variación de la diferencia de potencial entre las placas del condensador a medida que éste se va descargando: $$\displaystyle V(t):=r\cdot i(t)=r\cdot \dfrac{\mathcal{E}}{r}\,e^{-\dfrac{t}{\tau'}}=\mathcal{E}\,e^{-\dfrac{t}{\tau'}} \quad (8)$$ Obsérvese que la diferencia de potencial máxima en el proceso de descarga se da, lógicamente, en el instante en que se inicia la descarga ($t=0$) y, como cabe esperar, es igual a $\mathcal{E}$; en efecto, $V_{\text{máx}}=\mathcal{E}\,e^{0}=\mathcal{E}\cdot 1=\mathcal{E}$.

Voy a calcular ahora la potencia, $P(t)$, que se disipa en la resistencia, $r$, en un instante de tiempo $t$ del proceso de descarga: $$P(t)=r\cdot (i(t))^2=r \cdot \left( \dfrac{\mathcal{E}}{r}\,e^{-\dfrac{t}{\tau'}} \right)^2=\dfrac{\mathcal{E}^2}{r}\,e^{-\dfrac{2t}{\tau'}} \quad (9)$$ La potencia máxima se da en el instante inicial de la descarga, en $t=0$ (función exponencial decreciente), y es igual a $P_{\text{máx}}=\dfrac{\mathcal{E}^2}{r}\,e^{-\dfrac{2\cdot 0}{\tau'}} = \dfrac{\mathcal{E}^2}{r}\cdot 1 = \dfrac{\mathcal{E}^2}{r}$. Habrá que tenerla en cuenta al elegir la resistencia $r$, pues tiene que soportar este valor de potencia; de no ser así, quedaría inutilizada.

Para calcular la energía disipada, en la resistencia, $r$, durante el proceso de descarga, entre dos instantes de tiempo $t_1 \ge 0$ y $t_2 \gt t_1$ —teniendo en cuenta que $P(t):=\dfrac{dE(t)}{dt}$, y por tanto, $dE(t)=P(t)\,dt$, con lo cual $\displaystyle E(t)=\int\,P(t)\,dt+C$—, deberemos calcular la integral definida $$\displaystyle E_{(t_1,t_2)}=\int_{t_1}^{t_2}\,\dfrac{\mathcal{E}^2}{r}\,e^{-\dfrac{2t}{\tau'}}\,dt \quad \quad (10)$$

La energía (total) disipada en la resistencia $r$ una vez terminado el proceso de descarga ha de ser igual a la energía potencial eléctrica almacenada en el condensador, que hemos visto (en el proceso de carga) que es igual a $E_{\text{pot}}=\dfrac{1}{2}\,\mathcal{E}^2\cdot C$. En efecto, de (10), haciendo $t_1=0$ se tiene que $\displaystyle E_{\text{dis}}=\lim_{t_2 \to \,+\infty}\,\int_{0}^{t_2}\,\dfrac{\mathcal{E}^2}{r}\,e^{-\dfrac{2t}{\tau'}}\,dt=\lim_{t_2 \to \,+\infty}\,\dfrac{\mathcal{E}^2}{r}\left[ -\dfrac{\tau'}{2}\,e^{-\dfrac{2t}{\tau'}} \right]_{0}^{t_2}=\lim_{t_2 \to \,+\infty}\,\dfrac{\mathcal{E}^{2}\cdot \tau'}{2\,r}\,\left( e^{-\dfrac{2\,t_2}{\tau'}} - e^{-\dfrac{2\cdot 0}{\tau'}}\right)=$
$\displaystyle\overset{\tau'=r\cdot C}{=}\,\, -\dfrac{\mathcal{E}^{2}\, C}{2}\,\lim_{t_2 \to \,+\infty}\,\left( e^{-\dfrac{2\,t_2}{\tau'}} - 1\right)=-\dfrac{\mathcal{E}^{2}\cdot C}{2}\,\left( 0 - 1\right)=\dfrac{\mathcal{E}^{2}\,C}{2}$

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Referencias:

  [1] J.M. Fernández; M.P. Pujal, Iniciación a la Física, Reverté, Barcelona, 1991.
  [2] P. Alcalde, Electrónica aplicada, Paraninfo, Madrid, 2020.
  [3] P. Alcalde, Electrotecnia, Paraninfo, Madrid, 2020.

Comportamiento de las sustancias frente a un campo magnético externo

Una substancia que esté expuesta a un campo magnético puede presentar los siguientes comportamientos magnéticos:

• Paramagnetismo. Si bien, en ausencia de un campo magnético externo, estas substancias no presentan magnetismo, al exponerlas a un campo magnético externo se crean unas microespiras de corriente en el material (pequeños dipolos magnéticos) que se orientan en la misma dirección y en el mismo sentido que el campo magnético externo, adquiriendo la muestra de material un momento magnético neto no nulo, en la dirección y el mismo sentido que el campo magnético externo; así pues, una substancia paramagnética es atraída por los polos de un imán. Al anular el campo magnético externo desaparece la imantación de la substancia. Ejemplos típicos de substancias paramagnéticas son el aire, el magnesio, el aluminio, el titanio y el wolframio.
• Diagmagnetismo. A persar de que hay substancias que no tienen magnetismo neto en ausencia de un campo magnético externo, al exponerlas a un campo magnético externo se crean unas microespiras de corriente (pequeños dipolos magnéticos) en el material que se orientan en la misma dirección y en el sentido opuesto del campo magnético externo, adquiriendo la muestra de material un momento magnético neto no nulo (opuesto al campo magnético externo); por tanto, una substancia diamagnética es repelida por los polos de un imán. Al anular el campo magnético externo desaparece la imantación de la substancia. Un ejemplo de substancia diamagnética es el bismuto.
• Ferromagnetismo. Este comportamiento se debe más al tipo de ordenación cristalina de los átomos que forman las substancias que a la naturaleza de las mismas en sí. Se caracterizan por:
  • Tienen susceptibilidades grandes y, por tanto, permeabilidades grandes, con lo cual las interacciones magnéticas que experimentan son intensas
  • Presentan histéresis (memoria) con respecto a las causas (campos magnéticos externos y las imantaciones que se ha originado en su historia); es decir, la suceptibilidad no es constante y dependen no solo de la intensidad magnética ($H$) sino del camino que se haya seguido en la imantación (los valores que ha ido tomando la imantación ($J$) al variar $H$
  • Al anular el campo magnético externo no desaparece la imantación, aparece una imantación remanente
  • Al ir elevando la temperatura de una muestra ferromagnética, por encima de un cierto valor de ésta (temperatura de Curie), que es característica de cada substancia, desaperece el carácter ferromagnético de la substancia.
  Ejemplos típicos de substancias metálicas ferromagnéticas son el hierro, el cobalto, y el niquel; también hay elementos entre las tierras raras que son ferromagnéticas, como por ejemplo: el disprosio (Dy), el erbio (Er), el gadolinio (Gd), el holmio (Ho) y el terbio (Tb). El acero común y los aceros inoxidables ferríticos, martensíticos y el dúplex son ferromagnéticos; sin embargo, existen también aceros no ferromagnéticos (los austeníticos).
• Antiferromagnetismo y ferrimagnetismo. El antiferromagnetismo presenta casi todas las características del ferromagnetismo, pero con un efecto final distinto. Al aplicar el campo magnético externo, también se ordenan los dipolos magnéticos de la substancia en la misma direcección y sentido de dicho campo; pero, a diferencia de lo que sucede con las substancias ferromagnéticas, al anular dicho campo magnético que origina la imantación, la mitad de los momentos magnéticos de la muestra (agrupados por zonas que se denominan dominios magnéticos) cambian en sentido inverso frente a los de la otra mitad, con lo cual resulta que no aparecerá en la muestra un campo magnético remanente no nulo. Un ejemplo típico es el de manganeso. No obstante, existen substancias en que este comportamiento igual y opuesto por mitades no es tal, sino que una de ellas prevalece claramente sobre la otra mitad, dando lugar así al llamdo ferrimagnetismo, tal es el caso de la magnetita. $\diamond$

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Referencias:

  [1] R. Feynman; R. Leighton; M. Sands, The Feynman Lectures on Physics, Mainly Electromagnetism and Matter, Volume II, Addison-Wesley Publishing, MIT, Massachusetts, 1964. He consultado la obra traducida y publicado al castellano por Addison-Wesley Iberoamericana, S.A., 1987.

Algunas cosas básicas sobre los fenómenos ondulatorios

En un medio, independientemente de su naturaleza, y en el que se ha generado una perturbación, ocurre que, mediante fenómenos ondulatorios, se transporta energía sin que haya una traslación neta de las partículas del medio en la dirección de la propagación de la onda.

Ondas en medios materiales: ondas transversales y o. longitudinales

Puede suceder que la oscilación de las partículas alrededor de su centro de equilibrio sea perpendicular a la dirección en que se propaga la perturbación —hablaremos entonces de ondas transversales—, o bien que la vibración/oscilación se produzca en la misma dirección que la de la propagación de la perturbación, en cuyo caso hablaremos de ondas longitudinales.

Las ondas transversales y su ecuación de onda.

Ejemplos de propagación de una perturbación del medio por ondas transversales son el de las ondas que se producen en la superficie de un estanque al lanzar una piedra, o el de las olas en el mar. Si bien, como ya se ha dicho, la ola no transporta materia en el sentido de avance de la misma, sí que hay un movimiento local de las partículas del medio, cada una de las cuales sigue una trayectoria circular alrdedor de la posición de equilibrio.

Si consideramos el punto $P$ en el que impacta la piedra en la superficie del estanque, éste describe un movimiento perpendicular a la dirección de propagación de tal manera que la coordenada en un instante de tiempo $t$, $y_{P}(t)$, es razonable que sigue un movimiento armónico simple, $y_{P}(t)=A\,\cos(wt)$, donde $A$ es la amplitud de la onda y la pulsación es $w=\dfrac{2\,\pi}{T}$, donde $T$ es el periodo de la onda (recordemos que $T=\dfrac{1}{f}$, siendo $f$ la frecuencia de la misma) . Al llegar la perturbación a un punto arbitrario situado a cierta distancia $x$ de $P$, lo hará al cabo de un tiempo igual a $\dfrac{x}{c}$, siendo $c$ la velocidad de propagación de la onda (la longitud de onda es pues $\lambda=T\,c$). Entonces podemos escribir que las posiciones de dicho punto (perpendiculares a la dirección de propagación de la onda) siguen la ecuación $y(t)=A\,\cos\,\left(w(t-x/c)\right)$, que puede escribirse también como $y(t)=A\,\cos\,(wt-kx)$, siendo $k=\dfrac{w}{c}=\dfrac{2\,\pi}{T\,c}=\dfrac{2\,\pi}{\lambda}$ el parámetro denominado número de onda.

Propagación del sonido. Las ondas longitudinales y su ecuación de onda

Ejemplos de propagación por ondas longitudinales son el de la propagación en un medio elástico, como es el caso del sonido al propagarse en un gas, o el de las ondas sísmicas al propagarse en medios sólidos. Dichas ondas de sonido son ondas de presión, lo cual puede comprobarse en un secillo montaje experimental con un tubo cerrado por un émbolo, con el cual puede ejercerse el aumento de presión que da origen a la onda de presión, esto es, a la onda de sonido. Aunque no se dé un transporte neto de partículas del medio en la propagación de la onda, sí que se produce un vaivén (hacia adelante y atrás) de las partículas alrededor de sus posiciones de equilibrio.$\diamond$

Teniendo en mente el experimento del émbolo que empuja (desplazándolo a un velocidad $v$) las moléculas de un gas para producir una onda de sonido, y siguiendo con el modelo del oscilador armónico simple, podemos decir que la variación de presión del medio (que origina el sonido) en un punto cualquiera responde a la ecuación $\Delta\,p(t)=\Delta\,p_{\text{máx}}\,\cos\,(wt-kx)$ donde $\Delta\,p_{\text{máx}}$ es la amplitud de la variación de presión (valor máximo de la variación de presión).

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En relación con las ondas de sonido es interesante hablar de algunos otros conceptos. Es razonable pensar que la variación de presión es proporcional a la velocidad de desplazamiento del émbolo: $\Delta\,p \propto v$, y se demuestra que dicha relación es de la forma $\Delta\,p=\rho\,c\,v$, donde $\rho$ es la densidad del gas y $c$ la velocidad de propagación de la onda de sonido. El producto $\rho\,c$ se denomina impedancia acústica (nombre que viene inspirado por la teoría de circuitos eléctricos), de manera que suele escribirse que $\Delta\,p=Z\,v$.

Otro concepto importante relacionado con el transporte de energía por la onda es el de intensidad acústica, $I$, que se define como la energía transmitida por unidad de tiempo y por unidad de superficie: $I:=\dfrac{F\,v}{A}$, donde $F$ es la fuerza que actua sobre la sección transversal al desplazamiento y $v$ es la velocidad de desplazamiento del émbolo, luego $I=\dfrac{\Delta\,p \cdot A \cdot v}{A}=\Delta\,p \cdot v=Z\,v^2=\dfrac{(\Delta\,p)^2}{Z}$ (teniendo en cuenta la definición de impedancia acústica).

Como un cambio de presión en el gas comporta un cambio de volumen (y recíprocamente), podemos hacer referencia al módulo de compresibiliad del gas $\mathcal{K}:=-\dfrac {\Delta p}{\Delta V/V}$ y, salvando el signo, podemos escribir $\mathcal{K}=\Delta\,p \dfrac {V}{\Delta V}$ y teniendo en cuenta que el volumen del gas en un instante dado es $V=A \cdot c \cdot t$ y que la variación (disminución) de volumen que ocupa el gas al accionar el émbolo en ese mismo instante es $\Delta\,v= A \cdot v\, t$, se tiene que $\mathcal{K} = \Delta\,p \cdot \dfrac {c}{v}$, y teniendo en cuenta la relación citada antes $\Delta\,p=\rho\cdot c \cdot v$, llegamos a $\mathcal{K} = \rho \cdot c\,\cdot v \cdot \dfrac {c}{v}=\rho\cdot c^2$, con lo cual $c=\sqrt{\dfrac{\mathcal{K}}{\rho}}$; es decir, la velocidad de propación aumenta al aumentar el módulo de compresibilidad y disminuye conforme aumenta la densidad del gas.

En un medio homogéneo e isótropo (por ejemplo el aire o el agua en reposo), las ondas sonoras son esféricas. Entonces, si no hay pérdida de energía por disipación en el medio, entre dos puntos del espacio se tiene que al ser la potencia (que denotaremos por $P$) igual en cada uno de los frentes de onda esféricos en los que situamos dichos puntos se tiene que $P=A\cdot I=$constante (la potencia es igual al área por intensidad acústica), y por tanto $I_1\cdot A_1=I_2\cdot A_2$, y al ser la forma (de las ondas) esférica, $4\,\pi\,r_{1}^2\,I_1=4\,\pi\,r_{2}^2\,I_2$ ($r_1$ y $r_2$ son los radios de las ondas esféricas en el primer y el segundo punto, respectivamente), luego $r_{1}^2\,I_1=r_{2}^2\,I_2$. Por consiguiente, si $r_2\gt r_1$ (el segundo punto está más alejado que el primero de la fuente de la onda sonora) entonces $I_1\gt I_2=\left(\dfrac{r_1}{r_2}\right)^{2}\cdot I_1$; es decir, la intensidad acústica es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia al origen del sonido.

Observación: En el agua y en los sólidos el sonido se propagan con mayor rapidez; así, por ejemplo, en el aire la velocidad de propagación del de $340$ m/s; en el agua a unos $1500$ m/s, y en el acero a $6100$ m/s, aproximadamente.

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Ondas electromagnéticas

Quiero hacer aquí un breve comentario sobre las ondas electromagnéticas (luz, ondas de radio, rayos X, rayos gamma). Éstas pueden propagarse también en el vacío —no es necesaria la presencia de partículas materiales en el medio para que se propague la perturbación— (a diferencia de las ondas de sonido, las olas del mar, o de las ondas sísmicas), pues se generan por la oscilación de un campo eléctrico y la oscilación de un campo magnético en direcciones perpendiculares entre sí, propagándose la onda en la dirección perpendicular a sendos campos. En otros artículos sobre electromagnetismo trataré de las ondas electromagnéticas en profundidad.

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Referencias:

  [1] A.M. Prójorov, et al., Diccionario enciclopédico de la Física, Editorial Mir-Rubiños 1860 S.A., Madrid, 1996.
  [2] M. Labajos, Iniciación al estudio de la Biofísica, Anaya, Madrid, 2005.

La razón de ser de la definición de decibelio, y su enorme importancia en teoría de la señal (electrónica, biofísica,...): relación entre una señal saliente con respecto a una señal entrante en un sistema (dispositivo)

En muchas ocasiones interesa expresar la medida de magnitud (potencia, tensión, intensidad eléctrica, intensidad sonora, etcétera) en relación a un nivel de referencia de la misma, pudiendo manejar así una cantidad adimensional. Ello tiene sus ventajas, por diversas razones; una de las más importantes es el poder expresar dicha medida relativa en una escala numérica manejable, con nuúmeros que no sean ni muy grandes ni muy pequeños si, por contra, estos aparecieran directamente en la medida de la magnitud. Una forma de conseguirlo es utilizar el logaritmo de la razón de la medida abasoluta y la medida de referencia; a lo que resulta se le denomina bel, en honor a Alexander Graham Bell (1847-1922). De esta manera, podemos expresar la ganancia o la atenuación en una cierta magnitud a la salida de un cierto sistema (medio o dispositivo) con respecto al nivel de la misma en la entrada.

Se define entonces el belio (B) como la unidad adimensional de medida de una magnitud $\mathcal{X}$, que, en un momento dado, tome un cierto valor $x_1$, y ello con respecto a un valor convenido de la misma, $x_0$, utilizando el logaritmo decimal de la razón $\dfrac{x_0}{x_1}$, al que denominaremos $L_B$. Así, $$L_B:=\log_{10}\,\dfrac{x_1}{x_0}$$ con lo cual $x_1=x_0\,10^{L_B}$; en particular si $x_1=x_0$, entonces la ganancia/atenuación, es de $L_B=0$ B, ya que $1=10^0$, o lo que es lo mismo $L_B=0=\log_{10}\,1$. Notemos además que si se da un incremento (positivo), $x_1\gt x_0$, entonces $L_B>0$; y, en el caso de darse un decremento, si $x_1\lt x_0$, entonces $L_B\lt 0$.

Comunmente, a efectos prácticos, se utiliza del decibel (dB) en lugar del bel (B) con el mismo propósito que acabo de exponer (tener una expresión de una medida relativa a un nivel de referencia de la misma magnitud): $1\,\text{B}=10\,\text{dB}$, con lo cual podemos escribir que la medida relativa en decibelios de $x_1$ con respecto a $x_0$ es $$L_{dB}:=10\cdot \log_{10}\,\dfrac{x_1}{x_0}$$ y por tanto $$x_1=x_0 \cdot 10^{L_{dB}/10}=x_0\,10^{L_{B}}$$

En determinadas situaciones, tratando con fenómenos ondulatorios, en las que describimos qué ocurre con la energía, y sabiendo que ésta es proporcional al cuadrado de la amplitud de onda (sonido, corrientes y tensiones en un circuito eléctrico o electrónico, etcétera), resulta que la ganancia/atenuación en energía expresada en decibelios, tal como se ha expuesto, viene dada por $10\cdot \log_{10}\,\dfrac{a_{1}^2}{a_{0}^2}$, siendo $a_1$ y $a_0$ los valores de las amplitudes; esto es, como $10\cdot \log_10\,\left(\dfrac{a_1}{a_0}\right)^2=2\cdot 10 \log_{10}\,\dfrac{a_1}{a_0}=20\,\log_{10}\,\dfrac{a_1}{a_0}$. Por ello, solemos escribir $$G_{dB}=20\,\log_{10}\,\dfrac{a_1}{a_0}$$

A menudo, conviene fijar la cantidad de referencia $x_0$ (o $a_0$); por ejemplo, tratándose de la potencia ($P$), si establecemos que $p_0=1\,\text{mW}$, entonces convenimos en escribir $L_{dBmW}=10\cdot \log_{10}\,\dfrac{p_1}{1}$. Así, si $p_1=p_0=1\,\text{mW}$ (no hay variación en la salida con respecto a la entrada), tenemos que $L_{dBmW}=10\cdot \log_{10}\,1=0\,\text{dBmW}$.

Por tanto, para un cierto valor fijado de la magnitud de entrada (en este caso se trata de la potencia eléctrica), $p_0$, y dado un valor de la ganancia/atenuación expresado en decibelios, podemos determinar el valor de la magnitud de salida (poténcia de salida), $p_1$, en términos absolutos. Por ejemplo, una variación de la potencia de salida (con respecto a la de entrada), pongamos que de $p_1=2\,\text{dBmW}$, esto es, $p_1=2\,\text{dBmW}$ superior a $0\,\text{dBmW}$, significa que $2=10\,\log_{10}\,\dfrac{p_1}{1}$ y por tanto, tendremos que el valor de la potencia de salida es $p_1=10^{\frac{2}{10}}\,\text{mW}\approx 1,6\,\text{mW}$.

Podemos hacer lo propio, especificando la unidad de referencia de la magnitud que estemos tratando, con lo cual tratermos de $\text{dBV}$ (para la tensión eléctrica expresada en voltios), $\text{dBmV}$ (expresándola en milivolotios); $\text{dBHz}$ (si tratamos con la frecuencia, expresada en hercios), etcétera.$\diamond$

Caso de la percepción del sonido por el oído humano. La sonoridad

Se sabe que la intensidad acústica —véase el siguiente artículo en este mismo blog: Algunas cosas básicas sobre los fenómenos ondulatorios— que el oído humano es capaz de percibir se encuentra en el intervalo $\left(10^{-12}, 1\right)\, \dfrac{\text{W}}{\text{m}^2}$. Por debajo del extremo inferior, $I_0=10^{-12}$, no se percibe ninguna sensación acústica; y, por encima, del extremo superior, $1\,\dfrac{\text{W}}{\text{m}^2}$ se producen daños en el aparato auditivo.

Al objeto de cuantificar la sensación auditiva se define la magnitud adimensional sonoridad, que se relaciona con la intensidad acústica de las ondas incidentes en el oído según la ley de Weber-Fechner: $S=10\,\log_{10}\,\dfrac{I}{I_0}$ (recordemos que $I_0$ es la intensidad umbral de sensación auditiva) —nótese que esta magnitud adimensional, la sonoridad, viene dada en decibelios al estar definida mediante el logaritmo de la razón de dos magnitudes, que en este caso son las intensidades—. Puede entenderse de dicha dependencia entre la sonoridad y la intensidad acústica que la primerqa varía de manera lineal, si se hace variar la intensidad acústica de forma exponencial.

Se sabe que la sonoridad depende de la frecuencia del sonido: la máxima sensibilidad en el aparato auditivo humano corresponde a una frecuencia de unos $3000\,\text{Hz}$. La sensibilidad acústica del oído humano disminuye por debajo y por encima de dicha frecuencia; por debajo de $20\,text{Hz}$ ya no se percibe ningún sonido, y tampoco por encima de $20\,000\,\text{Hz}$.

Ejemplo de cálculo con sonoridades

Dos personas, $A$ y $B$, se sitúan sobre una recta perpendicular a un muro $M$, que refleja las ondas de sonido. La distancia entre las dos personas es de $10\,\text{m}$. La persona $A$ es la más próxima al muro. Al llamar $B$ a $A$, la persona $A$ escucha el mensaje con una sonoridad de $20\,\text{dB}$, y, a su vez debería escuchar también el sonido reflejado en $M$. Nos preguntamos: ¿a qué distancia de $A$ debería estar el muro $M$ para que $A$ no percibiese el eco que da el muro?.

Denotemos por $I_{A}$ la intensidad acústica que le llega directamente del mensaje emitido por $B$. Entonces, según los datos, podemos escribir que $20=10\,\log_{10}\,\dfrac{I_{A}}{10^{-12}}$, luego $\dfrac{I_A}{10^{-12}}=10^{20/10}$, esto es, $I_A=10^{-10}\cdot 10^2=10^{-10}\,\dfrac{\text{W}}{\text{m}^2}$

Ahora designemos por $I_{A}^{eco}$ la intensidad acústica que a $A$ le llega del eco en $M$ (además de la señal directa de $B$) y que también, en principio, percibiría. Designemos por $\ell$ la distancia entre $A$ y el muro $M$; entonces la señal que se refleja en $M$ ha de recorrer una distancia igual a $2\ell$ hasta llegar a $A$. Por tanto, según la relación entre las intensidades y las distancias, podemos escribr que $\dfrac{I_{A}^{eco}}{I_A}=\left(\dfrac{10}{10+2\ell}\right)^2$.

Ya hemos calculado el valor de la intensidad acústica que llega a $A$, $I_A=10^{-10}\,\dfrac{\text{W}}{\text{m}^2}$. Ahora, al suponer que la distancia $\ell$ (entre $A$ y el muro $M$) sea tal que $A$ no perciba el eco, se tiene que $I_{A}^{eco}=10^{-12}$ (intensidad umbral de sensibilidad acústica), por lo que $\dfrac{10^{-12}}{10^{-10}}=\left(\dfrac{10}{10+2\ell}\right)^2$. Resolvamos esta ecuación en $\ell$: $$10^{-2}=\left( \dfrac{10}{10+2\ell}\right)^2$$ luego $$10^{1}=\dfrac{10+2\ell}{10} \Rightarrow \ell=45\,\text{m}$$ Por tanto, si la distancia entre el muro y $A$ es igual o superior a este valor, $A$ no percibirá el eco.$\diamond$

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Referencias:

  [1] vv.aa., Decibel, Wikipedia [https://ca.wikipedia.org/wiki/Decibel], 2022.
  [2] M. Labajos, Iniciación al estudio de la Biofísica, Anaya, Madrid, 2005.

Tensiones entre fase y fase en los sitemas trifásicos de corriente alterna

En corriente alterna trifásica, la tensión entre cada una de las fases, $L_1,L_2,L_3$, y el neutro, $N$, es igual a $\sqrt{3}$ veces la tensión entre cada una de las respectivas fases y el neutro ($V_3,V_2$ y $V_1$); esto es $V_2-V_1=\sqrt{3}\,V_2=\sqrt{3}\,V_1$; $V_3-V_1=\sqrt{3}\,V_3=\sqrt{3}\,V_1$; $V_3-V_2=\sqrt{3}\,V_3=\sqrt{3}\,V_2$. Veamos como se puede justificar este hecho.

En corriente alterna trifásica, la tensión (y la intesidad) entre dos fases tiene un desfase de $120^{\circ}$ (o de $\dfrac{2}{3}\,\pi$ radianes); entonces, podemos escribir las tensiones entre cada una de las fases y el neutro de la forma $V_1(t)=V_0\,\sin(wt)$, $V_2(t)=V_0\,\sin\left(wt+\dfrac{2}{3}\,\pi\right)$ y $V_3(t)=V_0\,\sin\left(wt+\dfrac{4}{3}\,\pi\right)$, siendo $V_0$ la amplitud de la tensión (o tensión nominal).

Entonces, $V_{21}:=V_2-V_1=V_0\,\sin\left(wt+\dfrac{2}{3}\,\pi\right)-V_0\,\sin(wt)=V_0\,\left( \sin\left(wt+\dfrac{2}{3}\,\pi\right)-\sin(wt)\right)=$
  $\overset{\text{i.t.:}\; \sin\,A-sin\,B=2\,\cos((A+B)/2)\cdot \sin((A-B)/2)}{=} 2\,V_0\,\cos\,\left( \dfrac{wt+2\pi/3+wt}{2}\right) \cdot \sin\,\left( \dfrac{wt+2\pi/3-wt}{2} \right)=$
    $=2\,V_0\,\cos\,\left( \dfrac{2\,w\,t+2\pi/3}{2}\right) \cdot \sin\,\left( \dfrac{2\pi/3}{2} \right)=2\,V_0\,\cos\,(w\,t+\pi/3) \cdot \sin\,( \pi/3 )=2\,\dfrac{\sqrt{3}}{2}\,\cos(w\,t+\pi/3)$
Por tanto, $$V_{21}=\sqrt{3}\,V_0\,\cos\left(w\,t+\dfrac{\pi}{3}\right)$$ luego la amplitud de la tensión alterna $V_{21}$ es $\sqrt{3}$ veces la amplitud de la tensión entre cualquiera de estas dos fases y el neutro $$V_{{21}_{0}}=\sqrt{3}\,V_0$$ y lo mismo se puede decir en cuanto a las otras dos diferencias, vemos que $$V_{{21}_{0}}=V_{{31}_{0}}=V_{{32}_{0}}=\sqrt{3}\,V_0$$ tal como se quería demostrar.

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Nota: Mediante una hoja de cálculo podemos comprobar fácilmente la aparición del factor $\sqrt{3}$, aunque ya hayamos demostrado el porqué del mismo: basta poner valores de las tres funciones sinusoidales, desfasadas $120^{\circ}$ unas respecto de otras y restarlarlas de dos en dos en otras tres columnas, para constatar que la amplitud de esas tres es $\sqrt{3}$ veces las de las tres primeras columnas.

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Desde luego, la misma relación hay entre los valores eficaces (recordemos que $V_{1_{e}}=V_{2_{e}}=V_{3_{e}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\,V_0$) de las tensiones: $$V_{{21}_{\text{e}}}=V_{{31}_{\text{e}}}=V_{{32}_{\text{e}}}=\sqrt{3}\,V_{0_{\text{e}}}$$

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Comentario: En las instalaciones monofásicas en España, la tensión eficaz normalizada entre la (única) fase y el neutro es $V_e=230\,\text{V}$. En instalaciones trifásicas, la tensión eficaz normalizada entre fase y neutro es, también, $V_{e}=230\,\text{V}$, con lo cual las tensiones entre fases son $V_{{21}_{\text{e}}}=V_{{31}_{\text{e}}}=V_{{32}_{\text{e}}}=\sqrt{3}\cdot 230 \approx 400\,\text{V}$. bSin embargo, aún quedan instalaciones trifásicas antiguas cuyas tensiones entre fase y neutro son de $220\,\text{V}$; en esos casos, $V_{{21}_{\text{e}}}=V_{{31}_{\text{e}}}=V_{{32}_{\text{e}}}=\sqrt{3}\cdot 220 \approx 380\,\text{V}$. $\diamond$

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Referencias:

  [1] P. Alcalde, Electrotecnia, Paraninfo, Madrid, 2020.
  [2] J.M. Vidal, Curso de Física, Grafesa, Barcelona, 1974.

Valores eficaces de la intensidad y de la tensión en corriente alterna

Las magnitudes eficaces en corriente alterna son las que medimos con el correspondiente aparato de medida. Dicha medida representa el valor medio de las variaciones de la correspondiente magnitud en un periodo. Vamos a justificar que la intensidad eficaz, $I_e$, es igual a la intensidad nominal, $I_0$, dividida por $\sqrt{2}$, y que la tensión eficaz es igual a la tensión nominal dividida por dicho factor.

Consideremos un conductor de resistencia $R$ recorrido por una corriente alterna $I(t)=I_0\,\sin(wt)$, donde $w=\dfrac{2\pi}{T}$, siendo $T$ el periodo. Entonces la energía media disipada (por efecto Joule) en un periodo es $\displaystyle \langle E \rangle:=\dfrac{1}{T}\,\int_{0}^{T}\,R\,(I(t))^2\,dt$, y, por tanto, $\displaystyle \langle E \rangle=\dfrac{1}{T}\,\int_{0}^{T}\,R\,I_{0}^{2}\,\sin^2\,(wt)\,dt=\dfrac{R\,I_{0}^{2}}{T}\,\int_{0}^{T}\,\sin^2\,(wt)\,dt\overset{[2]}{=}\dfrac{R\,I_{0}^{2}}{T}\,\left[ \dfrac{t}{2} - \dfrac{\sin(2wt)}{4w} \right]_{0}^{T}=$
  $\displaystyle = \dfrac{R\,I_{0}^{2}}{T}\,\left( \dfrac{T}{2} - \dfrac{\sin\,(2\,w\,T)}{4w} \right) - (0-0)\overset{w=2\pi/T}{=} \dfrac{R\,I_{0}^{2}}{T}\,\left( \dfrac{T}{2} - \dfrac{\sin\,(4\,\pi)}{4w} \right)=\dfrac{R\,I_{0}^{2}}{T}\,\left( \dfrac{T}{2} - 0 \right)=\dfrac{R\,I_{0}^{2}}{2}$

Esta energía media disipada, $\langle E \rangle$, es la equivalente a la que se disiparía si el conductor fuese recorrido por una corriente continua $I_e$ (intensidad eficaz) en lugar de ser recorrido por una intensidad alterna $I(t)=I_0\,\sin(wt)$ (véase [1]), por tanto cabe establecer la igualdad $$R\,I_{e}^2=\dfrac{R\,I_{0}^{2}}{2}$$ de lo cual se deduce que, despejando $I_e$ del primer miembro: $$I_e=\dfrac{I_0}{\sqrt{2}}$$

Veamos ahora la expresión para la tensión eficaz. Teniendo en cuenta que $\langle E \rangle := V_e\,I_e =\dfrac{1}{2}\,R\,I_{0}^2=\dfrac{1}{2}\,V_0\,I_0 \quad (1)$ y que acabamos de ver que $I_e=\dfrac{I_0}{\sqrt{2}}$, de (1) se tiene que $$V_e\,\dfrac{I_0}{\sqrt{2}}=\dfrac{1}{2}\,V_0\,I_0$$ y por tanto $$\dfrac{1}{\sqrt{2}}\,V_e=\dfrac{1}{2}\,V_0$$ con lo cual $$V_e=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\,I_e=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\,V_0$$ $\diamond$

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Referencias:

  [1] J.M. Vidal, Curso de Física, Grafesa, Barcelona, 1974.
  [2] M. Spiegel; L. Abellanas, Fórmulas y tablas matemáticas, McGraw-Hill, Madrid, 1988.
  [3] P. Alcalde, Electrotecnia, Paraninfo, Madrid, 2020.

En el artículo anterior expuse cómo expresar la energía cinética en coordenadas polares (en el plano euclídeo $\mathbb{R}^2$. En éste, simplemente voy a reseñar las expresiones que se obtienen para la energía cinética empleando coordenadas cilíndricas $(r,\theta,z)$ —$\theta$ es aquí el ángulo azimutal— y esféricas $(r,\theta,\Phi)$ —$\phi$ es ahora el ángulo polar y $\theta$ el ángulo azimutal—en el espacio euclídeo $\mathbb{R}^3$. Estas expresiones son de enorme utilidad a la hora de montar la función lagrangiana y la f. hamiltoniana en determinados problemas en los que evitar el empleo de las coordenadas cartesianas simplifica muchos cálculos. El procedimiento para obtener los resultados es análogo al del plano eucídeo en coordenadas polares. Animo a las personas lectoras a seguir todos los pasos del desarrollo.

Expresión de la energía en coordenadas cilíndricas

$$T=\dfrac{1}{2}\,m\,\left(\dot{r}^2+(r\,\dot{\theta})^2+\dot{z}^2\right)$$ Nota: Observemos que si $z=0$ nos restringimos a un plano (dos dimensiones), y por tanto recuperamos la expresión de la energía cinética en polares: $T=\dfrac{1}{2}\,m\left(\,(\dot{r)^2}+(r\,\dot{\theta)^2}\right)$.

Expresión de la energía en coordenadas esféricas

$$T=\dfrac{1}{2}\,m\,\left(r^2\,(\dot{\theta}^2+\phi^2\,\sin^2\,\theta)+\dot{r}^2\right)$$ Nota: Observemos que si $\theta=0$ nos restringimos a un plano (dos dimensiones), y por tanto recuperamos la expresión de la energía cinética en polares: $T=\dfrac{1}{2}\,m\left(\,(\dot{r)^2}+(r\,\dot{\theta)^2}\right)$.

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Referencias:

  [1] M.R. Spiegel; L. Abellanas, Fórmulas y tablas de matemática aplicada, McGraw-Hill, Madrid, 1993.
  [2] M.R. Spiegel, Mecánica teórica, McGraw-Hill, Mexico, 1976.

Posición, velocidad, aceleración y energía cinética en coordenadas polares

En muchos problemas de mecánica, nos interesará expresar el vector de posición $\vec{r}$, el vector de velocidad $\vec{v}=\dfrac{d\vec{r}}{dt}$, el de aceleración $\vec{a}=\dfrac{d\vec{v}}{dt}$, así como la expresión de la energía cinética,$T=\dfrac{1}{2}\,m\,(|\vec{v}|)^2$, en todo instante de tiempo $t$, en coordenadas polares $(r,\theta)$.

Ello será de particular ayuda para montar la función lagrangiana o bien la función hamiltoniana del sistema, de manera que los cálculos no salgan demasiado embrollados. En este artículo desarrollo los cálculos, que parten de obtener otra base ortonormal del plano vectorial apropiada —la base canónica no nos servirá en sí misma—, de manera que uno de los vectores (de la nueva base) apunte en la dirección de $\vec{r}$ y otro en la dirección perpendicular.

Consideremos el movimiento en un plano de una partícula de masa $m$, a la cual apunta en todo momento el vector de posición $\vec{r}=x\,\hat{i}+y\,\hat{j}=r\,\cos\,\theta\,\hat{i}+r\,\sin\,\theta\,\hat{j} \quad (1)$, siendo $r$ el módulo de dicho vector de posición y $\theta$ el ángulo (polar) que forma dicho vector de posición con el eje de abscisas del sistema de referencia cartesiano. Notemos que $\vec{r}=x\,\hat{i}+y\,\hat{j}=r\,\cos\,\theta\,\hat{e}_r+r\,\sin\,\theta\,\hat{e}_r$, donde $\{\hat{i}=(1,0),\hat{j}=(0,1)\}$ son los vectores de la base canónica.

Así, $\hat{e}_r=\dfrac{\dfrac{\partial\,\vec{r}} {\partial \,r}} {\left|\dfrac{\partial\,\vec{r}} {\partial \,r}\right|}$, puesto que el numerador es un vector tangente a la curva $\theta=$constante; por otra parte, un vector unitario y ortogonal a $\hat{e}_r$ es $\hat{e}_\theta=\dfrac{\dfrac{\partial\,\vec{r}} {\partial \,\theta}} {\left|\dfrac{\partial\,\vec{r}} {\partial \,\theta}\right|}$, habida cuenta de que el numerador es un vector tangente a la curva $r=$constante.

Estos vectores forman pues una (nueva) base ortonormal, y por tanto, también euclídea —distinta de la base canónica— que es apropiada para nuestro cometido: $\{\hat{e}_r,\hat{e}_\theta\}$. Procedo a calcularlos: $\dfrac{\partial\,\vec{r}} {\partial \,r}\overset{(1)}{=}\cos\,\theta\,\hat{i}+\sin\,\theta\,\hat{j}$, y como $\left| \sqrt{\cos^2\,\theta+\sin^2\,\theta} \right|=1$, resulta que $\hat{e}_r=\cos\,\theta\,\hat{i}+\sin\,\theta\,\hat{j} \quad (2)$; por otra parte, $\dfrac{\partial\,\vec{r}} {\partial \,\theta}\overset{(1)}{=}r\,(-\sin\,\theta\,\hat{i}+\cos\,\theta\,\hat{j})$, y como $\left|\dfrac{\partial\,\vec{r}} {\partial \,\theta}\right|= \sqrt{r^2(\cos^2\,\theta+\sin^2\,\theta)}=\sqrt{r\cdot 1}=r$, con lo cual $\hat{e}_\theta=-\sin\,\theta\,\hat{i}+\cos\,\theta\,\hat{j} \quad (3)$

***

Comprobamos que los vectores de la nueva base son ortogonales. En efecto, $\vec{e}_r \cdot \vec{e}_\theta = (\cos\,\theta\,\hat{i}+\sin\,\theta\,\hat{j})\cdot (-\sin\,\theta\,\hat{i}+\cos\,\theta\,\hat{j})=\cos\,\theta\,(-\sin\,\theta)\,\hat{i}\cdot \hat{i}+\cos\,\theta\,(\cos\,\theta)\,\hat{i}\cdot \hat{j}+$ $+\sin\,\theta\,(-\sin\,\theta)\,\hat{j}\cdot \hat{i}+\sin\,\theta\,(\cos\,\theta)\,\hat{j}\cdot \hat{j}=\cos\,\theta\,(-\sin\,\theta)+\sin\,\theta\,(\cos\,\theta)=0$, ya que $\hat{i} \perp \hat{j}$ y $|\hat{i}|=|\hat{j}|=1$.

***

Ahora, vamos a expresar $\hat{i}$ y $\hat{j}$ en función de los vectores de la nueva base (cambio de base): $\hat{e}_r$ y $\hat{e}_\theta$: multiplicando sendos miembros de (2) por $\cos\,\theta$ y los dos de (3) por $\sin\,\theta$, y sumando las dos igualdades que se obtienen, se llega a $$\hat{i}=\cos\,\theta\,\hat{e}_r-\sin\,\theta\,\hat{u}_\theta$$ y multiplicando los dos miembros de (2) por $\sin\,\theta$, y sendos miembros de (3) por $\cos\,\theta$, y sumando las dos igualdades resultantes, se llega a $$\hat{j}=\sin\,\theta\,\hat{e}_r+\cos\,\theta\,\hat{u}_\theta$$

Por consiguiente, ya podemos dar el vector de posición en coordenadas esféricas. Por lo dicho en el primer párrafo, $\vec{r}=r(\,\cos\,\theta\,\hat{i}+\,\sin\,\theta\,\hat{j})\overset{(2)}{=}r\,\hat{e}_r$

Expresemos ahora el vector velocidad en coordenadas esféricas. $$\vec{v}=\dfrac{d\vec{r}}{dt}=\dfrac{d\,(r\,\hat{e}_r)}{dt}=\dot{r}\,\hat{e}_r+r\,\dfrac{d\,\hat{e}_r}{dt} \quad (4)$$ donde $$\dfrac{d\,\hat{e}_r}{dt}=\dfrac{\partial\,\hat{e}_r}{\partial\,r}\,\dfrac{d\,r}{dt}+\dfrac{\partial\,\hat{e}_r}{\partial\,\theta}\,\dfrac{d\,\theta}{dt}=\vec{0}\,\dot{r}+(-\sin\,\theta\,\hat{i}+\cos\,\theta\,{j})\,\dot{\theta}\overset{(3)}{=}\dot{\theta\,}\hat{e}_\theta \quad (5)$$ con lo cual (4) nos queda: $$\vec{v}=\dot{r}\,\hat{e}_r+r\,\dot{\theta}\,\hat{e}_\theta \quad (6)$$

Y ahora, el vector aceleración:
$$\vec{a}=\dfrac{d\vec{v}}{dt}=\dfrac{d(\dot{r}\,\hat{e}_r+r\,\dot{\theta}\,\hat{e}_\theta)}{dt}=\ddot{r}\,\hat{e}_r+\dot{r}\,\dfrac{d\,\hat{e}_r}{dt}+\dot{r}\,\dot{\theta}\,\hat{e}_\theta=r\,\ddot{\theta}\,\hat{e}_\theta+r\,\dot{\theta}\,\dfrac{d\,\hat{u}_\theta}{dt} \quad (7)$$ donde $$\dfrac{d\,\hat{e}_\theta}{dt}=\dfrac{\partial\,\hat{e}_\theta}{\partial\,\theta}\,\dfrac{d\,\theta}{dt}+\dfrac{\partial\,\hat{e}_r}{\partial\,\theta}\,\dfrac{d\,\theta}{dt}=-(\cos\,\theta\,\hat{i}+\sin\,\theta\,{j})\,\dot{\theta}+\vec{0}\,\dot{\theta}\overset{(2)}{=}-\dot{\theta}\,\hat{e}_r \quad (9)$$ Así pues, agrupando términos con el correspondiente versor, (7) nos queda $$\vec{a}=\left( \ddot{r}-r\,(\dot{\theta)^2}\right)\,\hat{u}_r+\left(r\,\ddot{\theta}+2\,\dot{r}\,\dot{\theta}\right)\,\hat{u}_\theta \quad (10)$$

Y, para acabar, expresomos la energía cinética en coordenadas polares:
$T=\dfrac{1}{2}\,m\,(|\vec{v}|)^2=\dfrac{1}{2}\,m\,\vec{v}\cdot \vec{v}\overset{(4)}{=}\dfrac{1}{2}\,m\,\left( \dot{r}\,\hat{e}_r+r\,\dot{\theta}\,\hat{e}_\theta \right)\cdot \left( \dot{r}\,\hat{e}_r+r\,\dot{\theta}\,\hat{e}_\theta\right)\overset{\hat{e}_r \perp \hat{e}_\theta\,,\,|\hat{e}_r|=|\hat{e}_\theta|=1}{=}$
  $=\dfrac{1}{2}\,m\left(\,(\dot{r)^2}+(r\,\dot{\theta)^2}\right) \quad (11)$
$\diamond$

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Referencias:

  [1] M.R. Spiegel; L. Abellanas, Fórmulas y tablas de matemática aplicada, McGraw-Hill, Madrid, 1993.
  [2] M.R. Spiegel, Mecánica teórica, McGraw-Hill, Mexico, 1976.

El formalismo lagrangiano

¿Cómo encontrar las ecuaciones del movimiento de un sistema? Si bien esto puede hacerse aplicando sin más las ecuaciones de Newton, hay otras maneras de resolver el problema, más aficaces cuando la complejidad del problema aumenta. Estos formalismos matemáticos, como son, básicamente, el de Lagrange y el de Hamilton, son más sofisticados desde el punto de vista matemático, pero constituyen la base para tratar no sólo problemas de la mecánica clásica y de termodinámica sino que también son fundamentales para estudiar los problemas de la física cuántica, y de las teorías de campos (en física de partículas). Aquí trataremos del formalismo lagrangiano.

Coordenadas generalizadas

Al considerar un sistema de $N$ partículas, tendremos $N$ vectores de posición $\vec{r}_\nu=x_{\nu}\hat{i}+y_{\nu}\hat{j}+z_{\nu}\hat{k}$ (que, en general, dependen del tiempo), y por tanto, $3N$ coordenadas de posición, $\{x_{\nu}, y_{\nu}, z_{\nu}\}$, $\nu=1,2,\ldots,N$ en un espacio de 3 dimensiones; ahora bien, la libertad de las partículas suele estar restringida por un cierto conjunto de ligaduras, lo cual conduce a describir el sistema en función de $n$ coordenas efectivas, con $n\lt N$, a las que denominamos coordenadas generalizadas y representamos por $\{q_1,q_2,\ldots,q_n\}$. Utilizaremos el subíndice $\alpha$ para designar estas coordenadas generalizadas; así, escribiremos $q_\alpha$, $\alpha=1,2,\ldots,n$. El número, $n$, de coordenadas generalizadas representa el número de grados de libertad del sistema.

Así, podremos escribir las coordenadas de posición en función de las coordenadas generalizadas de la forma $\vec{r}_{\nu}=\vec{r}_{\nu}(q_1,q_2,\ldots,q_n,t)$ para $\nu=1,2,\ldots,N$ que, en la forma escalar, se expresa mediante el sistema de ecuaciones (las funciones del segundo miembro se suponen continuas y derivadas continuas): $$\left\{\begin{matrix}x_{\nu}=x_{\nu}(q_1,q_2,\ldots,q_n,t)\\y_{\nu}=y_{\nu}(q_1,q_2,\ldots,q_n,t)\\ z_{\nu}=z_{\nu}(q_1,q_2,\ldots,q_n,t)\end{matrix}\right.\;\text{para}\;\nu=1,2,\ldots,N$$

Sistema holónomos

Si las ligaduras de las que hemos hablado pueden expresarse de la forma $f(q_1,q_2,\ldots,q_n,t)=0$ y éstas son integrables, diremos que el sistema (de ligaduras) es holonómico (o holónomo). En tal caso, un sistema (holónomo) constará de $m$ ecuaciones de ligadura del tipo $\displaystyle \sum_{{\alpha}=1}^{n}\,A_{{\alpha},{k}}\,dq_{{\alpha}}+A\,dt=0\;,\;k=1,2,\ldots,m$ ( o bien de la forma $\displaystyle \sum_{{\alpha}=1}^{n}\,A_{{\alpha},{k}}\,\dot{q}_{{\alpha}}+A=0\;,\;k=1,2,\ldots,m$); siendo, el número de dichas ecuaciones de ligadura menor que el número de grados de libertad del sistema: $m\lt n$.

En el caso de aparecer ligaduras del tipo $f(q_1,q_2,\ldots,q_n,t) \begin{matrix}\lt \\ \gt \end{matrix} 0$, éstas, desde luego, no serían holonómicas. Véase el siguiente ejemplo.

En el caso de que todas las fuerzas actuantes sobre el sistema de partículas puedan obtenerse de una función potencial, $U$, entonces el sistema se denomina conservativo.

Denominamos velocidades generalizadas a las derivadas de $q_\alpha$, $\alpha=1,2,\ldots,n$ con respecto al tiempo $t$, y se designan por $\dot{q}_\alpha$, $\alpha=1,2,\ldots,n$.

Fuerzas generalizadas

A partir del trabajo total realizado sobre el sistema de partículas por las fuerzas $\{\vec{F}_{\nu}\}, \nu=1,2,\ldots, N$, podemos hablar de fuerzas generalizadas $\{\Phi_{\alpha}\},\alpha=1,2,\ldots,n$. Veamos cómo se definen de manera natural:
$dW\equiv\displaystyle \sum_{\nu=1}^{N}\,\vec{F}_{\nu}\cdot d\vec{r}_{\nu}=\displaystyle \sum_{\nu=1}^{N}\,\vec{F}_{\nu}\cdot \sum_{\alpha=1}^{n} \dfrac{\partial\,\vec{r}_{\nu}}{\partial\,q_{\alpha}}\,dq_{\alpha}=\sum_{\alpha=1}^{n} \left(\sum_{\nu=1}^{N}\, \vec{F}_{\nu} \cdot \dfrac{\partial\,\vec{r}_{\nu}}{\partial\,q_{\alpha}} \right)\,dq_{\alpha} \therefore$
    $\Phi_{\alpha}:=\displaystyle \sum_{\nu=1}^{N}\, \vec{F}_{\nu} \cdot \dfrac{\partial\,\vec{r}_{\nu}}{\partial\,q_{\alpha}}\,\text{para}\,\alpha=1,2,\ldots,n$

A partir de ahí, se puede demostrar que las fuerzas generalizadas de un sistema holonómico se relacionan con la energía cinética del sistema, $T$, y cumplen las siguientes $n$ ecuaciones, denominadas ecuaciones de Lagrange: $$\dfrac{d}{dt}\left( \dfrac{\partial\,T}{\partial\,\dot{q}}\right) - \dfrac{\partial\,T}{\partial\,q}=\Phi_{\alpha}\,,\,\alpha=1,2,\ldots,n$$ Además, si el sistema es conservativo, esas ecuaciones se escriben de la forma $$\dfrac{d}{dt}\left( \dfrac{\partial\,\mathcal{L}}{\partial\,\dot{q}}\right) - \dfrac{\partial\,\mathcal{L}}{\partial\,q}=0\,,\,\alpha=1,2,\ldots,n$$ siendo $\mathcal{L}(q_1,q_2,\ldots,q_n;\dot{q}_1,\dot{q}_2,\ldots,\dot{q}_n):=T-U$, y $U(q_1,q_2,\ldots,q_n)$ la función energía potencial del sistema.

Momentos generalizados

Denominamos momento generalizado (o momento conjugado), asociado a la coordenada generalizada $q_\alpha$, a $p_\alpha =\dfrac{\partial\,T}{\partial\,\dot{q}_\alpha}$ y, si el sistema es conservativo, se tiene que $q_\alpha$, a $p_\alpha =\dfrac{\partial\,\mathcal{L}}{\partial\,\dot{q}_\alpha}$

Extensión de las ecuaciones de Lagrange a sistemas no holonómicos

El formalismo lagrangiano se aplica no sólo a los sistema holonómicos (con un conjunto de restricciones o ligaduras integrables o holonómicas) sino también a sistemas no holonómicos, mediante el uso añadido de los multiplicadores de Lagrange, reemplezando las ecuaciones de Lagrange de las que hemos hablado antes por estas otras: $$\dfrac{d}{dt}\left( \dfrac{\partial\,T}{\partial\,\dot{q}}\right) - \dfrac{\partial\,T}{\partial\,q}=\Phi_{\alpha}+\lambda_1\,A_{\beta_{1}}+\lambda_2\,A_{\beta_{2}}+\ldots+\lambda_m\,A_{\beta_{m}}\,,\,\alpha=1,2,\ldots,n$$ donde $\lambda_1,\ldots,\lambda_m$ son dichos multiplicadores de Lagrange, siendo $m$ el número de restricciones o ligaduras no integrables.

Fuerzas de ligadura

Hay un multiplicador de Lagrange para cada ligadura no integrable, y cada uno de ellos está asociado a la correspondiente fuerza de ligadura, el conjunto de las cuales constriñen el sistema; por otra parte, los términos $\lambda_j\,A_{\beta_{j}}\,,\;j=1,2,\ldots,m$ se asocian a las correspondientes fuerzas de ligadura (o constricción).

Tendremos, en definitiva, un sistema de $n+m$ ecuaciones con $n+m$ incógnitas, que podremos integrar para llegar a las ecuaciones del movimiento.

Y, tal como se ha comentado antes, si el sistema es conservativo, podremos escribir: $$\dfrac{d}{dt}\left( \dfrac{\partial\,\mathcal{L}}{\partial\,\dot{q}}\right) - \dfrac{\partial\,\mathcal{L}}{\partial\,q}=\lambda_1\,A_{\beta_{1}}+\lambda_2\,A_{\beta_{2}}+\ldots+\lambda_m\,A_{\beta_{m}}\,,\,\alpha=1,2,\ldots,n$$ donde $\lambda_1,\ldots,\lambda_m$

Este resultado nos permitirá determinar las ecuaciones del movimiento (de sistema no holónomos). Un par de ejemplos:

1. ¿En qué punto de una esfera de radio $a$, fija, una esfera de radio $b\le a$, sometida a la acción de un campo gravitatorio y que rueda sin deslizar sobre la superficie (rugosa) de la primera esfera, fija, se separa de su superficie?
2. partícula de masa $m$ que se mueve sobre la superficie interna de un paraboloide de revolución, de ecuación $x^2+y^2=a\,z$, sometida a la acción de un campo gravitatorio en la dirección de $z$.

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Referencias:

  [1] K.R. Symon, Mecánica, Aguilar, Madrid, 1977.
  [2] M.R. Spiegel, Mecánica teórica, McGraw-Hill, Mexico, 1976.

Símil de bolas de colores para calcular el número de microestados compatibles con un cierto macroestado en la estadística de Boltzmann

¿De cuántas maneras podemos ordenar un conjunto formado por $3$ bolas rojas, $2$ bolas azules y $4$ bolas verdes (número de «microestados» $\Omega$ compatible con un cierto «macroestado»), atendiendo únicamente al color de las bolas?

Al no importar el orden de las bolas del mismo color dentro del grupo de dicho color, el número de maneras en las que podemos elegir $3$ bolas rojas entre un total de $3+4+2=9$ bolas es $\displaystyle \binom{9}{3}$; por otra parte, elegidas ya esas $3$ bolas rojas (nos quedan $9-3$ bolas por elegir), el número de maneras de elegir $4$ bolas verdes entre esas $9-3$ bolas es $\displaystyle \binom{9-3}{4}$, y, como ya hemos empleado $3+4$ bolas en esas dos primeras operaciones, el número de maneras de elegir $2$ bolas azules entre el remanente de bolas disponible $9-3-4$ es $\displaystyle \binom{9-3-4}{2}$. Empleando finalmente el principio de independencia combinatoria, el número de microestados (ordenaciones) es $$\Omega=\binom{9}{3}\cdot \binom{9-3}{4} \cdot \binom{9-3-4}{2}=\dfrac{9!}{3!\cdot 4!\cdot 2!}$$ que coincide con el resultado de aplicar directamente la fórmula de permutaciones con repetición que aparece en los libros de texto de matemáticas en la enseñanza secundaria: $PR_{n_1,n_2,\ldots,n_k}^{n_1+n_2+\ldots+n_k}:=\dfrac{(n_1+n_2+\ldots+n_k)!}{n_{1}!\cdot n_{2}!\cdot \ldots n_{k}!}$, que en nuestro caso se concreta en $PR_{3,4,2}^{3+4+2}=\dfrac{(3+4+2)!}{3!\cdot 4!\cdot 2!}$.$\diamond$

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Referencias:

  [1] M.W. Zemansky, Calor y Termodinámica, Aguilar, Madrid, 1973.
  [2] R. Feynman; R.B. Leighton; M. Sands, The Feynman Lectures on Physics, Mainly Mechanics, Radiations and Heat, Volume I; traducción al castellano, primera reimpresión. (Addison Wesley, Mexico, 1998).
  [3] J. Ortín; J.M. Sancho, Curso de física estadística, Edicions de la U.B., Barcelona, 2001.

Aplicación del formalismo de Lagrange al péndulo simple

Un cuerpo de masa $m$ está suspendido del techo mediante una cuerda de longituda $\ell$, de longitud constante (el sistema es escleronómico) y de masa despreciable (el sistema es holonómico) para poder oscilar en un mismo plano vertical, y se desprecia también el rozamiento. Nos proponemos encontrar la ecuación del movimiento, aplicando el formalismo de Lagrange.

Situaremos el origen de potencial gravitatorio en el punto más bajo de la trayectoria pendular, con lo que la energía potencial es $U=m\,g\,(\ell\,-\ell\,\cos\,\theta)$, siendo $\theta$ el ángulo que forma la cuerda con la vertical en una posición dada del péndulo. Por otra parte, la energía cinética de la masa que pende es $T=\dfrac{1}{2}\,m\,(\ell\cdot \dot{\theta})^2$. Con esto, podemos escribir ya la función lagrangiana $\mathcal{L}:=T-U$, que dependende únicamente de una variable (coordenada generalizada), $q\equiv \theta$: $$\mathcal{L}(\theta)=\dfrac{1}{2}\,m\,\ell^2\,\,\dot{\theta}^2-m\,g\,\ell\,(1-\cos\,\theta)$$

La ecuación de Lagrange (el sistema es conservativo) es $$\dfrac{d}{dt}\left( \dfrac{\partial\,\mathcal{L}}{\partial\,\dot{\theta}}\right)-\dfrac{\partial\,\mathcal{L}}{\partial\,\theta}=0 \quad \quad (1)$$

Calculemos los téminos de esta ecuación: $\dfrac{\partial\,\mathcal{L}}{\partial\,\dot{\theta}}=m\,\ell^2\,\dot{\theta} \,\therefore\, \dfrac{d}{dt}\left( \dfrac{\partial\,\mathcal{L}}{\partial\,\dot{\theta}}\right) = m\,\ell^2\,\ddot{\theta}$ y $\dfrac{\partial\,\mathcal{L}}{\partial\,\theta}=-m\,g\,\ell\,\sin\,\theta$

Entonces, sustituyendo en (1), encontramos la ecuación del movimiento: $$m\,\ell^2\,\ddot{\theta}+m\,g\,\ell\,\sin\,\theta=0$$ que, simplificada, queda $$\ell\,\ddot{\theta}+g\,\sin\,\theta=0$$

*** Nota (acerca de la tensión en la cuerda): Para encontrar la tensión de la cuerda, podemos aplicar directament las ecuaciones de Newton. Descomponiendo la fuerza que la gravedad ejerce sobre el péndulo en las direcciones tangencial y normal, vemos que esta última —que, por la condición de equilibrio, ha de ser igual a la tensión— es igual a $T=m\,g\,cos\,\theta$. Obsérvese que la tensión es máxima cuando $\cos\,\theta$ toma el valor máximo, y por tanto, cuando $\theta$ alcanza el valor $0$, esto es, cuando el péndulo pasa por el punto más bajo de su oscilación, situación en la cual $T_{\text{máxima}}=m\,g$. $\diamond$

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Referencias:

  [1] K.R. Symon, Mecánica, Aguilar, Madrid, 1977.
  [2] M.R. Spiegel, Mecánica teórica, McGraw-Hill, Mexico, 1976.

Breves notas sobre la medida de la radiactividad

Cualquier núcleo atómico, $X$, viene caracterizado por su número atómico (número de protones), $Z$, y su número másico (número de nucleones: neutrones y protones), $A$. Dicha información se nota de la forma $_{Z}^{A}X$. Si dichos núcleos no son estables, se ven sometidos a procesos de transformación a otros núcleos. En dichos procesos se emite radiación de tres posibles tipos: $\alpha$, $\beta$ y $\gamma$ — su actividad se detecta mediante aparatos específicos [5]—, mediante los siguientes procesos:

Procesos radiactivos

• Desintegración $\alpha$. Consiste en la transformación de un núcleo $X$ por emisión de una partícula $\alpha$, esto es $_{4}^{2}He$, para dar lugar a otro núcleo $Y$. El número atómico $Z$ del núclido resultante es el de $X$ disminuido en dos unidades, y su número másico $A$ disminuye en cuatro unidades: $_{Z}^{A}X \,\to\, _{4}^{2}He + _{Z-2}^{A-4}Y$. Así, por ejemplo, $_{92}^{238}U \to _{4}^{2}He + _{90}^{234}Th$
• Desintegración $\beta$ negativa. Consiste en la transformación de un núcleo $X$ por emisión de un electrón, $_{-1}^{\;\,0}e$, dando lugar a otro núcleo $Y$. El número atómico del núclido resultante es el de $X$ aumentado en una unidad, y su número másico permanece constante: $_{Z}^{A}X \,\to\, _{-1}^{\;\,0}e + _{Z+1}^{A}Y$. Por ejemplo, núclido de torio $_{90}^{234}Th$ se desintegra emitiendo un electrón y dando lugar a un núclido de protoactinio; así, $_{90}^{234}Th \to _{-1}^{0}e + _{91}^{234}Pa$.
• Desintegración $\beta$ positiva. Consiste en la transformación de un núcleo $X$ por emisión de un positrón (antipartícula del electrón), $_{0}^{1}e$, dando lugar a otro núcleo $Y$. El número atómico del núclido resultante es el de $X$ disminuido en una unidad, y su número másico permanece constante: $_{Z}^{A}X \,\to\, _{1}^{0}e + _{Z-1}^{\quad A}Y$.
• Captura electrónica. Consiste en la captura de un electrón cercano al núcleo por parte de éste (normalmente de la capa $K$). El electrón capturado se une con un protón del núcleo, dando lugar a un neutrón, $_{0}^{1}n$, y a un neutrino, $\nu_e$, originándose un estado excitado que tiende al estado fundamental por emisión de fotones de alta energía: $_{Z}^{A}X + _{-1}^{\;\,0}e \,\to\, _{Z-1}^{\quad A}Y + \nu_e$
• Desintegración $\gamma$. Consiste en la emisión de fotones de alta energía (radiación $\gamma$) al obtenerse (por diversos procesos de desintegración) núcleos en estados excitados, decayendo hacia el estado fundamental.

En todo proceso radiactivo, es necesario considerar no sólo la actividad de la muestra radiactiva sino también la exposición a la misma, el tiempo de exposición, la dosis absorbida y la dosis admisible; y ello, en especial, por lo que se refiere al daño biológico que la radiación pueda causar en la materia viva sobre la que incida. Veamos a continuación los distintos conceptos que intervienen en las magnitudes que se manejan.

Noción de actividad de una muestra radiactiva

La actividad de una muestra radiactiva se define como el número de desintegraciones por unidad de tiempo. En el SI, la unidad de actividad es el becquerel (Bq) y corresponde a 1 desintegración por segundo; sin embargo, se emplea todavía (por razones históricas) la unidad correspondiente a la actividad de 1 gramo de radio, a la que se le denominó curie (Ci), en honor de Pierre Curie: 1 Ci equivale a $3,7\times 10^{10}$ desintegraciones por segundo (Bq).

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Acerca de la datación cronológica de una muestra radiactiva

A partir de la actividad de una muestra radiactiva es posible realizar su datación en el tiempo. En efecto, en buena lógica podemos decir que la tasa instantánea en la que disminuye el número de núcleos es proporcional al número de núcleos presentes en cada instante de tiempo, es decir, $\Delta\,N(t) \propto -N(t)\,\Delta\,t$ (donde el signo negativo del segundo miembro da cuenta de la dismininución), y por tanto, llamando $\lambda$ a la constate de proporcionalidad (constante de desintegración), que lógicamente tendrá un valor negativo. Entonces, $\Delta\,N(t) = -\lambda\,N(t)\,\Delta\,t$, y pasando de incrementos finitos a diferenciales se llega a $dN(t) = -\lambda\,N(t)\,dt$, con lo cual podemos escribir $\dfrac{dN(t)}{dt}=-\lambda\,N(t)$. Esta ecuación diferencial ordinaria se integra fácilmente: $\displaystyle \int \dfrac{dN(t)}{dt}=\int -\lambda\,N(t)$, luego $\ln\,N(t)=-\lambda\,t+C$, y para determinar el valor de la constante de integración $C$, imponemos como codición inicial que en $t=0$, el número de núcleos sea igual a la cantidad inicial que denotaremos por $N_0$, es decir, $\ln\,N(0)=-\lambda\cdot 0+C$, por tanto $C=\ln\,N_0$; y, sustituyendo en la solución general, llegamos a $N(t)=-\lambda\,t+\ln\,N_0$, por tanto $\ln\,\dfrac{N(t)}{N_0}=-\lambda\,t \Rightarrow N(t)=N_0\,e^{-\lambda\,t}$.

El inverso de $\lambda$, $\dfrac{1}{\lambda}$, se conoce como vida media (de un isótopo radiactivo) y se denota por $\tau$; y, como vamos a ver a continuación, representa el tiempo medio que un núcleo de dicho isótopo radiactivo tarda en desintegrarse. Veamos que efectivamente así es: de la definición estadística de tiempo medio se tiene que $\displaystyle \langle t \rangle:=\dfrac{1}{N_0}\,\int_{0}^{\infty}\,t\,dN(t)$, y teniendo en cuenta la expresión deducida arriba para $N(t)$, ésto es igual a $\displaystyle \int_{0}^{\infty}\,-N_0\,t\,e^{-\lambda\,t}\,dt=\ldots=\dfrac{1}{\lambda}$; así que escribiremos, $\tau=\langle t \rangle=\dfrac{1}{\lambda}$. De ahí, surge de manera natural el significado de la constante de desintegración $\lambda$: probabilidad por unidad de tiempo de que se desintegre un núcleo de dicho isótopo.

Otro concepto relacionado con el de vida media y que por su nombre suele llevar a confusiones o a utilizar erróneamente uno por el otros es el de periodo de semidesintegración (semiperiodo, vida mitad o semivida), $T$, que representa el tiempo transcurrido hasta que el número original de núcleos, $N_0$, se reduce (por desintegración) a la mitad. Para calcular dicho periodo de semidesintegración hacemos pues $\dfrac{N_0}{2}=N_0\,e^{-\lambda\,T} \rightarrow T=\dfrac{\ln\,2}{\lambda}$, o lo que es lo mismo, $T=\tau \cdot \ln\,2$

Ejemplo 1 (datación de una muestra de torio-234): Consideremos una muestra de torio-234, $_{90}^{234}Th$, cuya vida media es de $\tau=24,1$ días. Nos preguntamos cuántos días han transcurrido para que el procentaje de la muestra que queda sin desintegrar sea del $30\,\%$. La constante de desintegración viene dada por $\lambda=\dfrac{1}{\tau}=\dfrac{1}{24,1}\,\text{días}^{-1}$. De (1), podemos escribir que $\displaystyle \dfrac{N(t)}{N_0}=e^{-\frac{1}{24,1}\,t}$, y con el dato del problema, $\displaystyle 0,3=e^{-\frac{1}{24,1}\,t}$, luego $t=-\dfrac{\ln\,0,3}{1/24,1}\approx 29\,\text{días}$.

Ejemplo 2 (datación por carbono-14):

En 1949, el químico Willard Libby desarrolló un método para poder datar los restos orgánicos (que contienen carbono) basados en la medida de la proporción de nucleos de carbono-14 (isótopo radioactivo del carbono) con respecto del número total de núcleos de carbono en una muestra dada. Expliquemos en qué consiste.

En las capas altas de la atmósfera, debido a la radiación de alta energía que proviene del espacio exterior, los neutrones que chocan con los átomos de carbono (de la molécula de dióxido de carbono) dan lugar (por las reacciones nucleares) a isótopos (de carbono) carbono-14 y, al no ser estos estables sus núcleos, estos se desintegran poco a poco: en $3972, se desintegra la mitad de una cierta cantidad de núcleos de carbono-14, parámetro al que denominamos período de semidesintegración (o semivida) y que se suele denotar por $T$.

Debido a los procesos metabólicos de los seres vivos, al formarse nuevas moléculas de dióxido de carbono en la atmósfera, éstas incorporan, dicho isótopo radioactivo en una cierta proporción (que conocemos) y, por consiguiente, considerando el ciclo del carbono (tan importante para la vida), también está presente este isótopo de carbono-14 en todos los seres vivos, en una proporción que se mantiene constante a lo largo de sus vidas, debido al intercambio continuo con el entorno que conlleva el metabolismo y que contrarresta las desintegraciones.

Cuando un ser vivo muere, el carbono-14 de sus estructuras continua desintegrándose, pero, lógicamente, ya no se renueva el contenido de carbono-14 en las mismas.

Consideremos que en un yacimiento arqueológico se ha hallado un hueso y se ha procedido a datarlo mediante la prueba del carbono-14. Para ello, en el laboratorio se ha medido una proporción $\dfrac{N(t)}{N_0}$ igual a $0,7$ (en un ser vivo, el valor de dicha proporción es $1$). ¿Cuál es el valor del tiempo radiológico transcurrido desde la muerte del ser vivo al que perteneció dicho hueso?

La constante de desintegración, que viene dada por $\lambda=\dfrac{1}{\tau}=\dfrac{1}{5730}\,\text{años}^{-1}$, y que como dato, para este caso del carbono-14, disponemos del valor de su vida media $\tau=5730$ años (el valor de la semivida es de $T=\tau\,\ln\,2\approx 3972$ años), se tiene que, como en el ejemplo anterior, a partir de (1), podemos escribir ahora que $\displaystyle \dfrac{N(t)}{N_0}=e^{-\frac{1}{5730}\,t}$, y con el dato del problema, $\displaystyle 0,7=e^{-\frac{1}{5730}\,t}$, luego deducimos de ésto que $t=-\dfrac{\ln\,0,7}{1/5730}\approx 2044\,\text{años}$

Observación:

En la datación es muy importante conocer el periodo de semidesintegración. Desde luego, es posible consultar la bibliografía especializada para saberlo, si conocemos la naturaleza de la muestra. Sin embargo, es conveniente saber cómo podemos determinar dicho periodo a partir de medidas experimentales sobre la actividad de la muestra. Consideremos, por ejemplo, una muestra de un cierto núclido en la cual se ha medido una actividad (inicial) igual a $A_0$ (medida en becquerels, o desintegraciones por segundo). Al cabo de un cierto tiempo, pongamos que al cabo de $1$ año, volvemos a tomar la medida de la actividad, resultando un valor de $A_1$ (medida en becquerels, o desintegraciones por segundo). Nos proponemos, con estos datos que entendemos como experimentales, calcular el periodo de semidesintegración de dicho núclido. Así pues, con la finalidad de determinar el periodo de semidesintegración, notemos que, en la práctica, $N(t)=N_0\,e^{-\lambda\,t}$ es difícil utilizarla, pues es muy difícil medir el número de núcleos sin desintegrar en cada instante de tiempo; sin embargo sí que podemos evaluar el número de desintegraciones por unidad de tiempo que se produce en un instante determinado, magnitud que también decrece exponencialmente, por lo que es razonable escribir que la actividad de la muestra en cada instante de tiempo, $A(t)$, sigue la misma ley que la del número de núcleos presentes en todo instante: $A(t)=A_0\,e^{-\lambda\,t}$, donde $A_0$ es la actividad de la muestra medida en el instante inicial. Entonces, con los datos (medidas) sustituidos en la expresión de la actividad: $A_1=A_0 \cdot e^{-1\cdot \lambda}$, siendo lógicamente $A_0 \gt A_1$, y despejando $\lambda$, se obtiene $\lambda=-\ln\,\dfrac{A_1}{A_0}=\ln\,\dfrac{A_0}{A_1}$. Y, conocido ya el valor de la constante de desintegración, podemos calcular el periodo de semidesintegración: $\displaystyle T=\dfrac{\ln\,2}{\lambda}=\dfrac{\ln\,2}{\ln\,\dfrac{A_0}{A_1}}=\dfrac{\ln\,2}{\ln\,A_0-\ln\,A_1}$

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Noción de exposición a la radiación

La exposición mide la ionización producida por la radiación. La unidad tradicional con la que se mide la exposición es el rötgen (R), y representa la cantidad de rayos X o gamma que debido a la ionización por parte de los electrones secundarios da lugar a 1 u.e.s. —unidad de carga eléctrica utilizada en el sistema cegesimal de unidades centímetro - gramo - segundo, (cgs) y en las unidades de Gauss. La ues de carga también se llama statocoulomb o franklin (Fr)— de carga de cada signo en $1\,\text{cm}^3$ de aire, que equivale a 2,58 coulombs (C) por kilogramo de aire. En el SI, la unidad empleada, es el C/kg (no tiene un nombre concreto).

Cabe decir que, para cuantificar los efectos biológicos que produce la radiación, suelen utilizarse otras magnitudes más específicas, como son la dosis absorbida y la dosis equivalente. Esta última tiene en cuenta la eficacia biológica de la materia receptora.

Noción de dosis absorbida de radiación

La dosis absorbida da cuenta de la energía entregada por la radiación a una cierta cantidad de materia. La unidad tradicional es el rad (rad); $1\,\text{rad} = 10^{-2}\,\dfrac{\text{J}}{\text{kg}}$ —en el aire, $1\,\text{rad}$ tiene prácticamente los mismos efectos que $1 \text{R}$—. En el S.I., la unidad es el gray (Gy): $1\,\text{Gy}=1\, \dfrac{\text{J}}{\text{kg}}$, siendo $1\,\text{Gy}=100\,\text{rad}$.

• Dosis equivalente
  • Para medir el efecto biológico de las radiaciones ionizantes hay que tener en cuenta que éste depende de la dosis absorbida y del tipo de radiación. A tal efecto, se habla de dosis equivalente, y se define de la manera siguiente:
    
    Dosis equivalente:=Dosis absorbida·Eficacia biológica relativa
    El segundo factor, el valor de la eficacia biológica relativa, se toma igual a: $1$ para los rayos X o gamma; $3$ en el caso de que la muestra biológica sea radiada con neutrones térmicos; $10$, para los neutrones rápidos, y $20$ para los núcleos pesados de retroceso.
  Si la dosis absorbida se expresa en rad, entonces la dosis equivalente se expresa en rem (unidad tradicional de esta magnitud), y si la dosis absorbida se expresa en gray (Gy), entonces la dosis equivalente se expresa en sievert (Sv). La equivalencia es la siguiente, $1\,\text{Sv}=100\,\text{rem}$.

Por término medio, la dosis equivalente (expresada en milirem, mrem) que recibimos anualemnte por diversas causas es de 100 a 200 mrem/año, esto es de $0,001$ a $0,002$ Sv/año (por rayos cósmicos —40 mrem/año (1 mrem más por cada 30 m de altura que subamos)—, y rayos X en las pruebas médicas (de 20 a 200 mrem/año), que supone alrededor de 10 rem, esto es $0,1$ Sv, a lo largo de toda la vida.

Dosis admisibles de radiación

Cabe distinguir entre irradiación externa e irradiación por ingestión. La segunda reviste mucha más gravedad que la primera en los daños biológicos.

En lo que se refiere la irradiación externa, se utilizan diversos tipos de dosímetros [4] que permiten conocer la dosis de radiación absorbida por personas en entornos de riesgo (biomedicina, centrales nucleares, emergencias nucleares, etcétera). Estas son algunos datos orientativos acerca de los límites admisibles: para la población en general, la dosis máxima admisible es de $5$ rem en $30$ años. Y para las personas que, por su profesión (industria nuclear, personal de radiología en medicina, etcétera), están expuestas, la dosis máxima admisible es de $5$ rem por año, a partir de los 18 años de edad, y, sin sobrepasar los $3$ rem en 13 semanas consecutivas.

Accidentes nucleares

En el caso accidental (nuclerar), con una irradiación repentina e intensa, la gravedad del daño es muchísimo mayor.

Para el caso de irradiación por ingestión (interna) —por la presencia de materiales radiactivos en el aire, que lleguen a los pulmones al respirarlos; o bien por la contaminación radiactiva de alimentos y bebidas—, y que, lógicamente, se considera un accidente, la gravedad de las consecuencias biológicas es muy grande. No me he informado lo suficiente acerca de cuáles son los límites permisibles. Durante una emergencia nuclear o por radiación, es posible que se liberen materiales radiactivos en el aire y que lleguen a los pulmones de las personas por medio de la respiración, o que se introduzcan en el cuerpo a través de las heridas abiertas.

Tratamientos de descontaminación

Para descontaminarse externamente, es conveniente que se elimine la radiación de las ropas (de ahí la necesidad de desprenderse de las ropas), de la piel (es conveniente ducharse en el caso de ser irradiado). Y, para descontaminarse internamente (por substancias radiactivas ingeridas o respiradas) de los contaminantes radiactivos [6], menor será el daño en el organismo. Para el caso de la contaminación interna, existen substancias (medicamentos) que facilitan la eliminación, por ejemplo: el ioduro potásico, el azúl de prusia, el pentaacetato de dietilentriamina (DTPA), y medicamentos como el Neupogen (r), que deben ser prescritos por un médico, teniendo en cuenta la gravedad, la naturaleza del accidente, y el tipo de contaminante radiactivo. $\diamond$

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Referencias:

  [1] C. Sánchez del Río et al., Física Cuántica, Pirámide, Madrid, 2008.
  [2] J. Dutreix et al., Física y biofísica: radiaciones, Editorial AC, Madrid, 1986.
  [3] M. Labajos, Iniciación al estudio de la Biofísica, Anaya, Madrid, 2005.
  [4] vv.aa., Dosímetros. Medición de la radiación absorbida: dispositivos personales empleados en protección radiológica. Wikipedia; [https://es.wikipedia.org/wiki/Dosímetro].
  [5] vv.aa., Contador Geiger-Müller. Detección de radiación ionizante, Wikipedia; [https://es.wikipedia.org/wiki/Tubo_Geiger-Müller].
  [6] vv.aa., Contaminación radiactiva. Contaminación externa e interna. Descontaminación., Wikipedia; [https://es.wikipedia.org/wiki/Contaminación_radiactiva].
  [7] vv.aa., Tabla periódica de los elementos, Wikipedia; [https://es.wikipedia.org/wiki/Tabla_periódica_de_los_elementos].

Razonamientos sobre la energía cinética de las cargas eléctricas en movimiento y el potencial eléctrico. Caso de un circuito de corriente continua

En el seno de un campo eléctrico, una carga testigo circula desde los puntos de mayor energía potencial (eléctrica) hacia los puntos de menor energía potencial. Veamos cómo justificar esta afirmación.

Consideremos un campo eléctrico y una pequeña carga testigo, que, en un principio se sitúa en un punto $A$. La carga testigo, viéndose sometida a la acción del campo eléctrico, se dirigirá a otro punto $B$, cambiando su estado de movimiento. Para ello, el sistema deberá aportar una energía (interna) $\Delta\,W$ que es igual a la variación de energía potencial de la carga testigo, $\Delta\,U$, entre los puntos $A$ y $B$. Por el principio de conservación de la energía, deberá cumplirse que $\Delta\,W+\Delta\,U=0 \,\therefore\, \Delta\,W=-\Delta\,U$. Por otra parte, la variación de energía potencial se traduce en la variación de energía cinética de dicha carga testigo, esto es, $\Delta\,W=\Delta\,T$, con lo cual se tiene $-\Delta\,U=\Delta\,T$, donde $\Delta\,T:=T_B-T_A$, en su camino desde el punto $A$ al punto $B$; y, como $T_B\gt T_A$ al ser mayor la velocidad de la carga testigo en el punto $B$ que en el punto $A$, es claro que $\Delta\,T\gt 0$, y por tanto, $-\Delta\,U\gt 0$, es decir, $\Delta\,U := U_B-U_A \lt 0\,\therefore\, U_A \gt U_B$. Nota: en el artículo usamos el Sistema Internacional de unidades.

Corriente eléctrica. Potencial eléctrico en un punto $A$, $V_A$. Diferencia de potencial eléctrico, $\Delta\,V_{BA}=V_B-V_A$, entre un punto $B$ y un punto $A$

Es bien sabido que, en un circuito eléctrico de corriente continua, los electrones (su carga eléctrica es negativa) libres, que son los portadores de carga eléctrica, circulan por el exterior del circuito impulsados por un generador —puede ser de diversos tipos: pilas, baterías, fuentes de alimentación (proporcionan corriente continua a partir de corriente alterna), células de combustible (reacción del hidrógeno con el oxígeno), células fotovoltaicas, etcétera— desde el borne negativo del generador eléctrico al borne positivo del mismo, dando lugar a una corriente eléctrica (de electrones). La velocidad media de los electrones en un conductor es del orden $1\,\dfrac{\text{mm}}{\text{s}}$; sin embargo, las señales eléctricas a través de un conductor viajan a velocidades del orden de la velocidad de la luz, y esa aparente contradicción se explica de la siguiente manera.

Acabamos de ver que toda carga eléctrica circula desde los puntos en los que su energía potencial (eléctrica) es mayor hacia los puntos en los que su energía potencial es menor. Se define ahora la diferencia de potencial eléctrico entre dos puntos de un circuito entre dos puntos $A$ y $B$ —suponemos aquí que la corriente va de $A$ a $B$—, como la variación de energía potencial eléctrica, $\Delta\,U_{BA}:=U_B-U_A$ proporcionada por el generador por unidad de carga eléctrica: $\Delta\,V:=\dfrac{\Delta\,U}{Q}$, donde $Q$ se mide culombios (C), esto es, $V_B-V_A:=\dfrac{1}{Q}\,(U_B-U_A)$, y tiene dimensiones de $\dfrac{\text{J}}{\text{C}}$, unidad a la que llamamos voltio (V). Pues bien, veremos a continuación, que dicha corriente eléctrica (corriente de electrones), lo hace de tal de modo que el potencial eléctrico (también llamado voltaje) en $A$, $V_A$, es menor que el potencial eléctrico (voltaje) en $B$, $V_B$. Usualmente, denominamos también caída de tensión eléctrica entre los puntos $B$ y $A$, y lo denotamos por $V_{BA}$.
    En efecto, hemos demostrado antes que $U_A-U_B\gt 0$, y por tanto $U_B-U_A\lt 0$; entonces, como $V_B-V_A\equiv\dfrac{U_B-U_A}{Q}\gt 0$ ya que $Q\lt 0$ (recordemos que estamos hablando de una corriente de electrones), por consiguiente $V_B \gt V_A$; y, como los electrones viajan desde el borne negativo al borne positivo del generador, se deduce de ello que el potencial eléctrico en el borne negativo del generador es menor que el del borne positivo del mismo, $V_{+} \gt V_{-}$.

Fuerza electromotriz (f.e.m.), $\mathcal{E}$, de un generador eléctrico

El generador eléctrico impulsa a los electrones por el circuito exterior, transfiriéndoles energía. Se denomina fuerza electromotriz de dicho generador a la cantidad de energía que suministra por unidad de carga eléctrica, esto es, como $\mathcal{E}:=\dfrac{W}{Q}$, donde $Q$ designa la cantidad de carga eléctrica, y se expresa en culombios (C). Nótese que, dimensionalmente, $[ \mathcal{E}]=[W/Q]=J/C=V$.

1. Circuito de c.c. compuesto de un generador y una resistencia externa conectados en serie

La corriente de electrones que circula por el circuito exterior del generador, atraviesa una resistencia ohmica $R$; además, debe haber también un movimiento de cargas eléctricas dentro del propio generador, entre el ánodo (+) y el cátodo (-), por lo que éste tiene también una resistencia ohmica, que designaremos por $r$, y que, a efectos de cálculo, la consideramos dispuesta en serie con la resistencia $R$. Entonces, en un incremento $\Delta\,t$, el generador, al mover una cantidad de carga $\Delta\,Q$, proporciona una cantidad de energía $\Delta\,W=\Delta\,Q\cdot\mathcal{E} \quad (1)$, lo cual viene de la definición $\mathcal{E}:=\dfrac{W}{Q}$. Por otra parte, podemos escribir que $\Delta\,Q=I\,\Delta\,t$, donde $I$ denota la intensidad de corriente, que se expresa en amperios (A): $[I]=\left[\dfrac{Q}{\Delta\,t}\right]=\text{C}/\text{s}=\text{A}$, por tanto, (1) nos queda $\Delta\,W=I\cdot \mathcal{E}\,\Delta\,t$. Y como las resistencias ohmicas disipan energía por medio de calor, dicha energía disipada es igual a $\Delta\,W_{\text{disipada}}=-(R+r)\,I^2\,\Delta\,t$; y, por el teorema de conservación de la energía: $\Delta\,W+\Delta\,W_{\text{disipada}}=0$, esto es $I\cdot \mathcal{E}\cdot \Delta\,t+(-(R+r)\,I^2\,\Delta\,t)=0\,\therefore\, \mathcal{E}=(R+r)\,I \Rightarrow I=\dfrac{\mathcal{E}}{R+r}$

Caída de tensión entre los extremos $L$ y $M$ de una resistenca externa $R$. Intensidad de corriente.

Para la resistencia $R$ (resistencia de carga del circuito), es evidente, que al ir la corriente de $L$ hacia $M$, se tiene que $V_{ML}\equiv V_M-V_L \lt \mathcal{E}\equiv V_{+}-V_{-}$. Como la intensidad de corriente que atraviesa $R$ es $I=\dfrac{\mathcal{E}}{R+r}$, la caída de tensión en $R$ es $$V_{ML}=I\,R=\dfrac{\mathcal{E}}{R+r}\,R \quad \quad (1)$$

Rendimiento de un generador al conectar (únicamente) una resistencia externa al circuito

La resistencia $R$ —la resistencia de carga del circuito, o resistencia externa se considera un receptor, que convierte energía eléctrica en calor; hay otros tipos de receptores: motores, células electroquímicas, zumbadores, lumínicos, etcétera—, es el elemento en el que nos centraremos para calcular el rendimiento del generador —veámosla como la resistencia de un calentador eléctrico—. Se define el rendimiento del generador como el cociente de energías, $\mu_{\text{generador}}:=\dfrac{P_{\text{útil}}}{P_{\text{entregada por el generador}}}$ ($P$ indica cantidad de energía por unidad de tiempo, potencia). En nuestro caso, la potencia útil corresponde aproximadamente —suponemos que $R$ es considerablemente mayor que $r$— a la disipación por calor en la resistencia de carga $R$, luego $P_{\text{útil}}=R\,I^2$, y $P_{\text{entregada por el generador}}=\mathcal{E}\,I$. Por consiguiente, $$\mu_{\text{generador}}=\dfrac{R\,I^2}{\mathcal{E}\,I}=\dfrac{R\,I}{\mathcal{E}}=\dfrac{V_{ML}}{\mathcal{E}}\overset{\text{por}\,(1)}{=}\dfrac{R}{R+r}$$

2. Circuito de c.c. compuesto por un generador, una resistencia externa y un motor eléctrico, conectados en serie

Fuerza contraelectromotriz de un motor, intensidad de corriente que circula, caída de tensión entre los bornes de un motor, rendimiento del motor, y rendimiento del generador

Otro tipo de receptor de corriente es el motor eléctrico, el cual convierte la la energía la suministrada por el generador en energía mecánica y, también, en calor (por efecto disipativo de los elementos que lo componen). Caracterizaremos un motor mediante una fuerza contraelectromotriz $\mathcal{E}'$, que se define como la energía eléctrica empleada por el motor por unidad de carga eléctrica, y una resistencia ohmica de resitencia $r'$, que disipa energía en forma de calor.

La intensidad de corriente, $I$, que circula por el circuito la podemos calcular de la siguiente manera. Como la potencia entregada por el generador es igual a $\mathcal{E}\,I$, ésta deberá ser igual a la suma de la potencial mecánica que entrega el motor y la energía disipada en forma de calor por las resistencias ohimicas $R$ (externa), $r$ (r. interna del generador) y $r'$ (r. ohmica del motor), luego por el principio de conservación de la enrgía: $$\mathcal{E}\,I=\mathcal{E}'\,I+(R+r+r')\,I^2\,\therefore\,I=\dfrac{\mathcal{E}-\mathcal{E}'}{R+r+r'}\quad \quad (2)$$

Calculemos ahora la caída de tensión entre los bornes del motor, $\Delta\,V_{\text{bornes del motor}}$, bornes que designamos, para mayor comprensión, por $M$ y $N$ —conectamos el motor a la derecha de la resistencia externa— (la corriente de electrones libres va de $M$ a $N$). Para calcular $\Delta\,V_{\text{bornes del motor}}=V_{NM}$ —recordemos, por cierto, la notación: $V_{NM}\equiv V_N-V_M$—, hay que tener en cuenta también la resistencia interna del motor, a través de la cual disipa parte de la energía que le llega en forma de calor. Como la potencia eléctrica entregada al motor (entre sus bornes), $V_{NM}\cdot I$, ha de ser igual a la transformación de la misma en: a) energía mecánica $\mathcal{E}'\cdot I$, y b) energía disipada por efecto Joule (calor) en la resistencia interna del mismo, $r'\,I^2$, podemos escribir: $$V_{NM}\cdot I=\mathcal{E}'\cdot I+ r'\, I^2\,\therefore\,\Delta\,V_{\text{bornes del motor}}=\mathcal{E}'+r'\,I\overset{\text{por}\,(2)}{=}\dfrac{\mathcal{E}'\cdot (R+r+r')}{\mathcal{E}'\cdot (R+r)+\mathcal{E}\,r'}$$

Finalmente, calculemos el rendimiento del motor. Como la potencia útil (mecánica) es $P_{\text{mecánica útil}}=I\,\mathcal{E}'$; y, por otra parte, la potencia disipada en él ha de ser igual a la caída de tensión entre sus bornes por la intensidad que pasa por él, se tiene que $\mu_{\text{motor}}=\dfrac{I\cdot \mathcal{E}'}{I\cdot \Delta\,V_{\text{bornes del motor}}}=\dfrac{\mathcal{E}'}{\Delta\,V_{\text{bornes del motor}}}=\dfrac{\mathcal{E}'}{\mathcal{E}'+r'\,I}$.

En cuanto al rendimiento del generador, $\mu_{\text{generador}}$, habría ahora que recalcularlo, siguiendo los mismos razonamientos que habíamos hecho en la sección anterior, pero teniendo en cuenta también el añadido del elemento motor, y podemos comprobar fácilmente que, ahora, es $$\mu_{\text{generador}}=\dfrac{R}{R+r+r'}\,\left(1-\dfrac{\mathcal{E}'}{\mathcal{E}}\right)$$

3. Circuito de c.c. compuesto por un generador, una resistencia externa y un celda electroquímica (c.e.), conectados en serie

Fuerza contraelectromotriz de una c.e., intensidad de corriente que circula, caída de tensión entre los bornes de la c.e., rendimiento de la c.e., y rendimiento del generador

Una celda electroquímica es un tipo de receptor de corriente que convierte la energía la energía eléctrica en energía química —un buen ejemplo es la carga de una batería mediante un generador—. Como en todo receptor, habrá una pérdida de energía en forma de calor (por efecto disipativo de los elementos que lo componen dicho dispositivo). Caracterizaremos una celda electroquímica mediante una fuerza contraelectromotriz $\mathcal{E}^{''}$, que se define como la energía eléctrica empleada por la c.e. por unidad de carga eléctrica, y una resistencia ohmica de resitencia $r''$ ohmica, que disipa energía en forma de calor. Hay que tener en cuenta que es importante respetar la polaridad de la celda: el ánodo debe ir conectado al borne positivo del generador, y el cátodo al borne negativo.

De manera análoga, repitiendo los pasos de la sección anterior, podemos comprobar fácilmente que la intensidad de corriente, $I$, que circula por el circuito es $$I=\dfrac{\mathcal{E}-\mathcal{E}''}{R+r+r''}$$ siendo la caída de tensión entre los bornes de la c.e.: $$\Delta\,V_{\text{c.e.}}=\mathcal{E}''+r''\cdot I$$ El rendimiento de la c.e. —pensando en términos análogos a los de las secciones anteriores— podemos entenderlo como el cociente entre diferencia de potencial entre el ánodo y el cátodo de la celda, $\Delta\,V_{AK}$, y la fuerza electromotriz $\mathcal{E}$ del generador.

Cálculo de la intensidad que circula por un circuito formado por la asociación en serie de más de un receptor, de más de un generador, y por una resistencia de carga $R$ (externa)

De todo lo dicho anteriormente en cuanto al cálculo de la intensidad de corriente, fácilmente podemos hacer la siguiente generalización, para el caso de tener $\mathcal{E}_i$ ($i=1,\ldots,n$) generadores (con sus respectivas resistencias internas, $r_i$), $\mathcal{E}_{j}^{'}$ ($j=1,\ldots,m$) receptores (con sus respectivas resistencias internas, $r_{j}^{'}$), y una resistencia $R$ (que puede también considerarse como otro recptor): $$I=\dfrac{\displaystyle \sum_{i=1}^{n}\,\mathcal{E}_{i} -\displaystyle \sum_{j=1}^{m}\,\mathcal{E}_{j}^{'} }{\displaystyle \sum_{i=1}^{n}\,r_{i}+\displaystyle \sum_{j=1}^{m}\,r_{j}^{'}+R}$$ El rendimiento del generador y de los receptores se calculan siguiendo los mismos razonamientos que los descritos para los casos de circuitos sencillos (con un sólo receptor y un sólo generador) pero teniendo en cuenta, desde luego, las asociaciones.

Observación: Los generadores conectados con la polaridad invertida con respecto a la establecida podemos considerarlos con fuerza electromotriz negativa. Esto es fácil de comprender si atendemos al hecho de que un circuito con dos generadores con polaridad inversa uno con respecto al otro equivale a tener efecto nulo a la hora de crear una corriente eléctrica, pues el campo eléctrico en el conductor es nulo, resultado de sumar los campos correspondiente a sendos gneradores: son de igual módulo pero de signo opuesto.

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Referencias:

  [1] S. Serra; M. Armengol; J. Mercadé, Física de Batxillerat; tomo I. McGraw-Hill, Madrid, 2008.
  [2] J. Fernández; M. Pujal, Iniciación a la Física; tomo II. Reverté, Barcelona, 1991.
  [3] vv.aa., Sistema Internacional de Unidades, Wikipedia [https://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_Internacional_de_Unidades]